Csoportképviselet

A matematikában a csoportábrázolás úgy ír le egy csoportot , hogy egy vektortérre lineáris módon hat . Más szavakkal, megpróbáljuk a csoportot mátrixok csoportjának tekinteni , ezért a reprezentáció kifejezés . Így a vektortér automorfizmusainak csoportjának viszonylag jól ismert tulajdonságaiból arra juthatunk, hogy a csoport néhány tulajdonságát levezetjük.

Ez az ábrázoláselmélet egyik fontos fogalma .

Definíciók

Vagy G csoport, K egy kommutatív mező és V egy vektortér K felett . Hívjuk képviseletét a csoport G egy lineáris akció a G a V , más szóval egy morfizmus csoportok a G a lineáris csoport GL ( V ) . Pontosabban kifejezve, ez egy alkalmazás

ρ : G→GL(V)mint példáulρ(g1)∘ρ(g2)=ρ(g1g2).{\ displaystyle \ rho ~: ~ G \ to \ mathrm {GL} (V) \ quad {\ text {például, hogy}} quad \ rho (g_ {1}) \ circ \ rho (g_ {2}) = \ rho (g_ {1} g_ {2}).}

Ahhoz, hogy egy térképet ρ a G a térben a endomorfizmusok a V kielégítő ρ ( g 1 ) ∘ρ ( g 2 ) = ρ ( g 1 g 2 ) valójában a értékek GL ( V ), elegendő, ha az A ρ ( g ) egyike automorfizmus.

Ahhoz, hogy a csoport g elemének a műveletét a vektortér v elemére írjuk a ρ ábrázoláson keresztül, néha jelöljük ρ ( g ) ( v ), ρ ( g ). v vagy akár gv, ha nincs kétértelműség. Néha jelölünk egy ábrázolást ( V , ρ). Néha azt is mondják (és helytelenül), hogy V G ábrázolása .

A morfizmus ábrázolások G , vagy „interleaving üzemeltető”, egy reprezentációját ( V , ρ) egy reprezentációját ( W , σ), egy K -linear map φ a V , hogy W úgy, hogy minden g tartozó G mi van

φ∘ρ(g)=σ(g)∘φ.{\ displaystyle \ varphi \ circ \ rho (g) = \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

Φ mondják azt is, hogy akkor egy morfizmus G -équivariant a V a W .

Fontos eset, hogy ahol φ izomorfizmus  : a ( V , ρ) és ( W , σ) reprezentációkat izomorfnak vagy ekvivalensnek mondjuk, ha van V- ről W-ra izomorfizmus , amely G -változó, azaz - azaz amely kielégíti a G-hez tartozó bármely g esetében  :

ρ(g)=φ-1∘σ(g)∘φ.{\ displaystyle \ rho (g) = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ sigma (g) \ circ \ varphi.}

V és W ekkor azonos dimenzióval rendelkeznek .

Példák

• A ábrázolása egység a G a jobb oldali vektor K egyike, hogy bármely eleme G társítja a személyazonosságát a K .
• Ha G a GL n ( K ) alcsoportja , G természetesen K n-re hat . A társított ábrázolást szokásos reprezentációnak nevezzük.
• Ha G jelentése a ciklusos csoport kész ℤ / n ℤ, az adatok egy ábrázolása G a V egyenértékű kiválasztása egy elemet F GL ( V ) úgy, hogy az F n = id V .
• Egy cselekvési G egy sor X , tudjuk meg egy ábrázolása G a tér K X a térképek X a K , pózol:(ρ(g)(f))(x)=f(g-1.x){\ displaystyle \ left (\ rho (g) (f) \ right) (x) = f (g ^ {- 1} .x)}és különféle stabil alterekre korlátozza , például:
  • A altér K ( X ) a véges támogatás leképezések, amelynek kanonikus alapján (δ x ) x ∈ X (ahol δ jelöli a Kronecker szimbólum  : δ x ( y ) egyenlő 1 y = x , és egyenlő a 0 mások y ∈ X ) a csoport minden egyes elemével permutálódik: ρ ( g ) (δ x ) = δ gx . A bal hatását G önmagára, a megfelelő ábrázolása G a K ( G ) az úgynevezett bal rendszeres képviseletét a G  ;
  • Az altér folytonos függvények X , ha G egy topologikus csoport és X egy topologikus tér , és ha a kereset folyamatos vagy akkor is, ha már csak, minden g ∈ G , folytonosság a térkép X → X , x ↦ gx .

A reprezentációk szószedete

• Mint minden csoportos kereset, az ábrázolás azt mondják, hogy hű  (in) , ha a morfizmus ρ az injektív . Ez a fogalom különbözik attól a hű modulus  : a K- vektortér a képviselet a modulus a algebra K [ G ] A csoport G ( vö infra ), ha ez a modulus hű akkor a ábrázolása G hű , de fordítva hamis.
• Az ábrázolást mátrixnak mondjuk, ha az V tér egy bizonyos n természetes számra K n alakú , ebben az esetben a (GL ( V ), ∘) csoportot kanonikusan azonosítjuk a négyzet GL n ( K ) csoportjával . mátrixok d „érdekében n a invertálható együtthatók K (más szóval: a nem nulla meghatározó ), feltéve, a mátrix termék . Via ez az azonosítás, a két mátrix reprezentációk R és S egyenértékűek, ha, és csak akkor, ha létezik olyan invertálható mátrix P olyan, hogy minden eleme g a G , R g = P -1 S g P .
• A dimenzió a V nevezzük mértékben az ábrázolás. Ha V jelentése a véges dimenzióban n (amely mindig feltételezünk implicit a elmélet ábrázolása egy véges csoport ), a képviselet egyenértékű egy mátrix reprezentációja, keresztül tetszőleges választott izomorfizmus φ a K n a V .

Részletek

Legyen (e i ) i = 1, ..., n a K n kanonikus alapjának by képe . Az adatok ezen adatbázis a V lehetővé teszi, hogy társítani egyes endomorphism egy a V négyzetes mátrix a rend n , akinek együtthatók egy ij azok az elemek, K meghatározását a következő egyenletek:

∀j∈[[1;nem]]nál nél(ej)=∑én=1nemnál nélén,j⋅eén{\ displaystyle \ forall j \ in [\! [1; n] \!] \ quad a (e_ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} \ cdot e_ {én}}

Az alkalmazás, amely egy endomorphism egy társult a mátrix korábban megadott egy izomorfizmus gyűrűk , a gyűrű L ( V ) a endomorfizmusok a V , hogy, M n ( K ), a négyzet alakú mátrixok érdekében n együtthatók a K . Ez a morfizmus csoportos izomorfizmust indukál e két gyűrű invertálhatatlan csoportjai: a GL ( V ) és a GL n ( K ) csoportok között. A kompozíciót ez a csoport izomorfizmus, bármilyen ábrázolása G a V ekvivalens egy mátrix reprezentációja, a φ egybefonó izomorfizmus.

• Egy alulreprezentáltak a ( V , ρ ) a reprezentáció ( W , σ) kapott restrikciós egy altér W állandósult hatására G .

Részletek

Azt feltételezzük, hogy bármely elem g a G , W stabil által ρ ( g ). Ezután definiálhatjuk W egyes σ ( g ) endomorfizmusait ρ ( g ) W-re való korlátozásként . A σ ( g ) ellenőrzi, σ ( g 1 ) ∘σ ( g 2 ) = σ ( g 1 g 2 ), és a képet σ a semleges elem a G a korlátozás W az identitás a V , ezért W azonossága , amely W automorfizmusa . Az elégséges feltételek teljesülnek, így σ egy ábrázolása G a W .

• A nulla fok nélküli ábrázolást visszavonhatatlannak mondjuk, ha nem ismer be más részábrázolást, csak önmagát és a nulla fok ábrázolását, más szavakkal, ha V-nek nincs stabil megfelelő altere G hatására . Matrikus értelemben ez azt jelenti, hogy nem lehet olyan alapot találni, amelyben a G ábrázolását olyan mátrixok adják meg, amelyek mindegyike azonos felső háromszög alakú blokkszerkezettel rendelkezik (legalább két átlós blokkkal).
• A közvetlen összege egy család reprezentációk ( V i , ρ i ) a G a képviselete ρ a vektor helyet közvetlen összege a V i által meghatározott: ρ ( g ) = ⊕ i ρ i ( g ). Mátrixban ez azt jelenti, hogy a V i bázisainak egymás melletti egymáshoz viszonyításával a közvetlen összegük alapja képződik, a ρ ábrázolást átlós mátrixok alkotják blokkokra, amelyek mindegyike a ρ i ábrázolások egyikének felel meg .
• Az ábrázolás akkor mondható teljesen redukálhatónak, ha a redukálhatatlan ábrázolások közvetlen összege.
• Két reprezentációról azt mondják, hogy nem különülnek el, ha nincsenek közös redukálhatatlan komponensük , vagy ha nincs közöttük nulla nélküli morfizmus.
• Ha V egy Hilbert-tér, amelynek skaláris szorzata invariáns G hatására , akkor azt mondjuk, hogy az ábrázolás egységes  (in) .
• Ha G egy topológiai csoport , és V jelentése egy topológiai vektor teret , ρ egy folyamatos lineáris reprezentáció a G , ha a térkép G × V → V , ( g , v ) ↦ GV van folyamatos .

Kapcsolat a K [ G ] -modulokkal

A K -algebra a G , jelöljük K [ G ], és áll véges lineáris kombinációi formai elemek G a együtthatók K egy K asszociatív algebra amelynek szorzás természetesen kiterjed a törvény a csoport G .

Ezután egyedülálló módon kiterjeszthetjük a ρ reprezentációt a K -algebras K [ G ] -től ( V ) -ig ( V ) morfizmusában , beállítva

ρ(∑g∈Gnál nélgg)=∑g∈Gnál nélgρ(g).{\ displaystyle \ rho \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g).}

Ezáltal V a K [ G ] - modulus . Azt is mondják, hogy V egy G- modul  (en) .

Ezzel szemben egy K [ G ] -modul megadja a G-t .

Ezen a "szótáron" keresztül:

• a reprezentációk morfizmusa megfelel a K [ G ] -modulok morfizmusának ;
• a szabályos ábrázolás (vö. fenti „Példák” szakasz) megfelel K [ G ] természetes szerkezetének, amelyet önmagában baloldali modulusnak tekintenek;
• reprezentációját ( V , ρ) irreducibilis, ha, és csak akkor, ha V jelentése egyszerű , mint a K [ G ] -module;
• ez teljesen redukálható akkor és csak akkor V jelentése félig egyszerű .

Irreducibilitás

A visszavonhatatlan reprezentációk figyelembe vétele lehetővé teszi bizonyos érvelések jelentős egyszerűsítését: Schur lemma szerint például két egyszerű modul közötti morfizmus nulla vagy megfordíthatatlan.

Gyakran elhozhatja a G reprezentációinak tanulmányozását annak redukálhatatlan reprezentációinak tanulmányozásához: ha V nem redukálhatatlan, akkor mindig figyelembe vehetjük egy V alterét , amely stabil G-ben . Ha valaha V véges dimenziójú, akkor végül megtalálhatunk egy egyszerű almodult.

Maschke-tétel  -  Ha G egy véges csoport , amelynek érdekében nem osztható a jellemző a K , akkor bármely K [ G ] -module félig egyszerű (vagy ezzel egyenértékűen: bármely ábrázolása G egy K , vektor tér teljesen redukálható) .

Ez a tétel részben általános a kompakt csoportok folyamatos ábrázolására .

Ha G egy véges csoport, bármilyen bonyolult redukálhatatlan ábrázolása (véges fok) G ekvivalens egy alulreprezentáltságának rendszeres ábrázolás.

Lásd is

• Projektív ábrázolás
• Affin képviselet  (in)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">