Topológiai vektortér

A matematika , topológiai vektor terek az egyik alapvető struktúráinak funkcionális elemzés . Ezek olyan terek, amelyek topológiai szerkezettel rendelkeznek, amely a vektortér struktúrájához kapcsolódik, a két szerkezet közötti kompatibilitási viszonyokkal.

A topológiai vektorterek legegyszerűbb példái a normalizált vektorterek , többek között a Banach-terek , különösen a Hilbert-terek .

Meghatározás

A topológiai vektortér ("evt") egy E vektortér a K topológiai testen (általában a szokásos topológiájukkal R vagy C ), amely a vektortér struktúrájával kompatibilis topológiával rendelkezik , vagyis a következő feltételeket ellenőrzi:

• A összege két vektor egy folytonos térképet a E × E , hogy az E  ;
• A termék egy skalár egy vektor által egy folyamatos feltérképezése K × E in E .

A topológiai vektorterek kategóriáját a K topológiai mezőben TVS K vagy TVect K jelöléssel jelöljük, ahol az objektumok a K- topológiai vektorterek, a morfizmusok pedig a folytonos K- lineáris térképek.

Tulajdonságok

• Az evt E különösen egy topológiai csoport (az összeadáshoz). Mi levezetni két elválasztási kritérium  : E van elválasztva , ha, és csak akkor, ha az egyedüli csökken a nulla vektor 0 zárva . Ezenkívül csak akkor választjuk el E- t, ha a 0-os szomszédok metszéspontja {0} -ra csökken.
• Bármely fordítás (bármilyen vektor E ) egy homeomorfizmus a E in E  :
  a fordítás által x folytonos, mivel tagjai a szerelvény az alkalmazás, hogy kell a kapcsolódó ( x , y ), és annak a kölcsönös a fordítása által - x .
• Minden nem nulla arány skálázás is homeomorfizmus a E önmagában:
  A skálázás arány k folytonos, mivel tagjai a törvény által külső alkalmazás lehet kapcsolódó ( k , Y ), és annak fordítottja a homothety az arány 1 / k .
• Bármely lineáris, amely evt E- t alkalmaz egy F evt-ben, amely folytonos a 0 E pontban , egyenletesen folytonos E-n .
• Egy EVT, az adhéziós F bármely vektor altér F a vektoros altér (sőt, 0 ∈ F ⊂ F és van F + F ⊂ F + F ⊂ F , és bármilyen skalár k , k F ⊂ kF ⊂ F ) . (Egy része egy egy EVT E azt mondják, hogy a teljes a E , ha a vektor tér által generált A sűrű az E. )
• Egy igazi EVT, a markolat és a belsejében egy konvex rész van domború .

Mennyiségi tér

Hadd F legyen vektor altér egy EVT E , a hányados vektortér örököl hányados topológia  : legyen φ lehet kanonikus vetülete E on E / F , definíció szerint a topológia indukált hányadosa E / F a leginkább bírság φ folytonossá teszi. A nyitottak az E / F összes részei, amelyeknek rec által kölcsönös képe nyitott.

• Figyeljük meg, hogy φ tehát nem csak a folyamatos, de nyitott, azaz, hogy a kép V által φ minden nyitott U az E nyílt halmaz E / F .
  Valójában a φ −1 ( V ) az E nyíltja , mivel az U + x halmazok egyesülése, amikor x áthalad az F-n , amelyek nyitottak (mert a nyitott U képei fordítással).
• Az E / F így válik evt-vé, vagyis hányados topológiája kompatibilis a hányados vektor-térszerkezetével.
  Valójában legyen W nyitott E / F , mutassuk meg, hogy a V = + −1 ( W ) halmaz E / F × E / F nyitása , ahol + az E / F összeadást jelöli (+ jelölve az E-ben ). Az előző megjegyzés (és a termék topológiájának meghatározása ) szerint csak ellenőrizze, hogy V = (φ × φ) ( U ) E × E néhány nyitott U esetén . A legmegfelelőbb jelölt a nyitott U = (φ ∘ +) −1 ( W ), amely (a hányadosvektor térszerkezetének definíciója szerint ) egyenlő ( + ∘ (φ × φ)) −1 ( W ) = ( φ × φ) −1 ( V ). A ject szurzivitása révén tehát megvan (φ × φ) ( U ) = V , ami következtet. A külső szorzás érvelése analóg.
• Az I / F topológiája akkor és csak akkor különül el, ha F zárva van.
  Valójában az E / F nulla altere akkor és csak akkor záródik le, ha F zárva van E-ben (a komplementerek felé haladva és meghatározva a hányados topológiát).

Származási területek

Ebben a szakaszban a K topológiai mező egy "érték mező" (abban az értelemben, hogy abszolút értékkel rendelkezik ), nem különálló (pl. K = R vagy C ), és E a K evt .

Abszorbens készlet

Egy része U a E azt mondják, hogy abszorbens , ha:

∀v∈E∃α∈R+∗∀λ∈K|λ|≤α⇒λv∈U.{\ displaystyle \ forall v \ in E \ quad \ pastāv \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall \ lambda \ K \ quad | \ lambda | \ leq \ alfa \ Rightarrow \ lambda v \ U.}

Folyamatosság 0 térkép K in E  : λ ↦ λ v , van:

Tétel  :  Az eredet bármely szomszédsága elnyeli.

Ezzel ellentétben egyértelműen hamis, még véges dimenzióban is . Ugyanakkor bármely elnyelő zárt konvex az E , a készlet egy hordó , így szomszédságában 0, ha E egy hordós tér , definíció szerint. Most minden Banach-tér, vagy általánosabban a Fréchet , vagy a Fréchet-terek induktív határa , csöves. Így : VS{\ displaystyle C}VS∩-VS{\ displaystyle C \ cap -C}

A Fréchet térben vagy a Fréchet terek induktív határában minden elnyelő zárt domború az origó szomszédsága.

Véges dimenzióban eltekinthetünk a „zárt” hipotézistől, azóta minden nem üres konvex relatív belső térrel rendelkezik, mint tapadása.

Szimmetrikus készlet

Egy része U a E azt mondják, hogy szimmetrikus , ha:

∀v∈U-v∈U.{\ displaystyle \ forall v \ U \ quad -v \ -ban U.}

Egy alkatrész kiegyensúlyozott magja

Azt mondják, hogy az E U része kiegyensúlyozott (vagy körözött ), ha:

∀λ∈K∀v∈U|λ|≤1⇒λv∈U.{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K \ quad \ forall v \ in U \ quad | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda v \ U-ban}

Kiegyensúlyozott core N egy részének A az E az unió kiegyensúlyozott részek E tartalmazza A . Kiegyensúlyozott halmaz, mert a kiegyensúlyozott halmazok bármely találkozása kiegyensúlyozott. A kernel A jelentése legnagyobb kiegyensúlyozott csomag tartalmazza A .

Ez az N kernel csak akkor üres, ha A tartalmazza a nullvektort. Ebben az esetben N tartalmazza a nulla vektort is.

Mozgás  -  Legyen N kiegyensúlyozott magja az A- től E-ig , és v egy E- vektor . Ahhoz, hogy v N-hez tartozzon, szükséges és elegendő, ha bármely λ skalár kielégíti a | λ | ≤ 1 mi λ v ∈ A .

Valóban, v akkor és csak akkor tartozik N-hez, ha a v-t tartalmazó kiegyensúlyozott részek közül legalább az egyik szerepel A-ban , vagy ha a legkisebb közülük {λ v ; | λ | ≤ 1} szerepel az A-ban .

Tétel  :  A 0 bármely szomszédságának kiegyensúlyozott rendszermagja a 0 szomszédsága. Pontosabban, minden olyan nulla vektorot tartalmazó nyitott elem tartalmaz egy kiegyensúlyozott nyitot, amely tartalmazza a nulla vektort.

Legyen egy nyitott, amely a nullvektort tartalmazza. A külső szorzás folytonos, ezért a ponton folyamatos , létezik egy valós és nyitott W, amely a nullvektorot tartalmazza, például: O{\ displaystyle O}(0K,0E){\ displaystyle (0_ {K}, 0_ {E})}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

|λ|<αésy∈W⇒λy∈O.{\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha \; {\ text {and}} \; y \ W \ Rightarrow \ lambda y \ O.

A halmaz , amelyet az alábbiak szerint definiálunk, ekkor egy kiegyensúlyozott nyitott halmaz, amely a  következők közé tartozik : Ω{\ displaystyle \ Omega}O{\ displaystyle O}

Ω=⋃0<|λ|<αλW.{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {0 <| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}

Ráadásul ez az unió nem üres (és 0-t tartalmaz), mert K nem diszkrét.

Az alkalmazott alkalmazástól függően általában további korlátozásokat alkalmaznak a tér topológiai felépítésére. Az alábbiakban felsorolunk néhány olyan topológiai teret, amelyek nagyjából a "kedvességük" szerint vannak osztályozva.

• Helyileg konvex topológiai vektorterek  : ezekben a terekben bármely pont megengedi a domború szomszédságok alapját. A technika ismert néven Minkowski funkcionális , meg tudjuk mutatni, hogy a tér lokálisan konvex akkor és csak akkor topológia lehet meghatározni egy családja félig normák . A lokális konvexitás a minimálisan szükséges olyan geometriai argumentumokhoz, mint a Hahn-Banach-tétel .
• Hordóközök  : lokálisan domború terek, ahol minden hordó 0 környezete.
• Montel  száma: hordós terek, ahol minden zárt és korlátos a kompakt .
• Bornológiai  terek: lokálisan domború terek, ahol bármely olyan kiegyensúlyozott domború rész, amely elnyeli a határolt részeket, 0-os szomszédságú.
• LF szóközök  (de)
• F helyek  (be)
• Fréchet terek
• Schwartz szóközök
• Nukleáris terek
• Normalizált és félig-normált vektor terek  : lokálisan konvex terek, ahol a topológia lehet leírni egyetlen norma vagy félig-norma . Normalizált vektorterekben a lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos, ha korlátozott.
• Banach- terek  : teljes normalizált vektorterek . A legtöbb funkcionális elemzés a Banach-terek számára készült.
• Reflexív  terek: A Banach-terek izomorfak kettős kettősükkel. Egy fontos példa a nem reflexív tér L 1 , melynek kettős jelentése L ∞ de szigorúan szereplő kettős az L ∞ .
• Hilbert-szóközök  : ponttermékük van  ; bár ezek a terek végtelen dimenziójúak lehetnek, a véges dimenzióban ismert megszokott geometriai okfejtések nagy része is érvényes.
• Euklideszi vagy hermita terek  : ezek véges dimenziójú Hilbert-terek. Ezután létezik egy egyedi topológia, amely a normalizált vektortér állapotát adja egészének. Ezt a konfigurációt a véges dimenziós vektortér topológiája című cikk tanulmányozza .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  topológiai vektor tér  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

1. Lásd a Banach-tér esetét: (en) Robert E. Megginson, Bevezetés a Banach-űrelméletbe , coll.  "  GTM  " ( n o  183)1998( online olvasható ) , p.  22.vagy (en) Stephen Simons, Hahn-Banachtól a monotonitásig , Springer ,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  szerk. 1998) ( olvasható online ) , p.  61és önmagában egy nem sovány evt-re való általánosítás érdekében : (en) John L. Kelley és Isaac Namioka , Linear Topological Spaces , coll.  "GTM" ( n o  36)2013, 2 nd  ed. ( 1 st  szerk. 1963) ( olvasott sort ) , p.  104.

Lásd is

Bibliográfia

• N. Bourbaki A matematika elemei , EVT
• en en Alexandre Grothendieck , Topológiai vektorterek , New York, Gordon és Breach, 1973 ( ISBN  0677300204 )
• (en) Gottfried Köthe , Topológiai vektorterek , vol.  Én, New York, Springer , koll.  "  GMW  " ( n °  159)1969
• en) AP Robertson és WJ Robertson , topológiai vektorterek , CUP ,1980, 2 nd  ed. ( online olvasás )
• (en) Helmut H. Schaefer  (de) és Manfred P. Wolff , Topológiai vektorterek , Springer , coll.  "  GTM  " ( n o  3)1970( ISBN  0-387-05380-8 , online olvasás )
• en) François Trèves , Topológiai vektorterek , terjesztések és magok , Academic Press, 1967 ( ISBN  0486453529 )

Kapcsolódó cikkek

Baire Űr • Prehilbert tér

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">