A matematika , a topológia egy véges dimenziós vektortér egy mező K jelentése, bizonyos feltételek mellett, adott esetben normált tér topológia . A prototípust R n tartalmazza azzal a normával, amely ezen n valós abszolút értéke közül a legnagyobbat egy n valós számmal társítja .
Az N véges dimenziójú E vektortér a K mező felett (például a valós számok R mezője ) mindig azonosítható K n- nel, ha tetszőlegesen választunk egy izomorfizmust e két vektortér között (vagy ami egyenértékű E bázis kiválasztása ). Minden az alábbi állításokat vonatkozó K n kiterjeszteni ipso facto olyan E (amely a topológia közvetített származó, hogy a K- n ilyen izomorfizmus).
Itt a figyelembe vett K mező elsősorban a valósok vagy komplexek mezője lesz, amelyekre az összes említett hipotézis igazolható. Ezért ki lehet cserélni az egész következő K által R vagy C . Azt is helyettesítheti topológiai vektor tér mindenütt a normált tér , ami egy kevésbé általános fogalom.
A főbb eredményeket: a R n és a C n , mind a normák egyenértékűek ; e normák bármelyike esetében a tér teljes (ezért zárt minden olyan normált vektortérben, amelynek altere), és a kompakt részek a korlátozott zárt részek.
Ha K (akárcsak R és C ) külön topológiai test , akkor K n természetesen egy (külön) termék topológiával van ellátva, ami topológiai vektortérré teszi (vagyis az összeadás és a skalárral való szorzás két folyamatos alkalmazás).
Most vegye észre, hogy ha K teljes (ill .: lokálisan kompakt), akkor K n is teljes lesz.
A termék topológiájának meghatározása szerint a következőkkel is rendelkezünk:
Állítás - Egy térkép f egy topologikus tér M a K n akkor folyamatos, ha, és csak akkor, ha a n komponensek f 1 , ..., f n (a M a K ) vannak folyamatos .
A K n-n definiált (több) lineáris térképek folyamatosak, különösen a skaláris szorzat, minden bilináris vagy kvadratikus forma, a determináns vagy a tenzor szorzat:
Tétel : Bármely K- topológiai vektortérre E ,
bármely lineáris térkép K n- től E-ig egyenletesen folytonos, és minden p -linear térképet a E folyamatos.Valóban, a folytonosságát egy lineáris térkép K n azonnal adódik az a tény, hogy az E egy topológiai vektor teret , és az egységes folytonossági ezután automatikus (mint az a folyamatos morfizmus a topológiai csoportok ). Ami a p- lineáris térkép folytonosságát illeti, következtetni lehet a K n- ben megadott kanonikus p- lineáris térkép n- re n értéke, amely megegyezik az n k szorzatával : ez utóbbi az előző tétel szerint folytonos, mert összetevői polinomok.
Ha ráadásul a K topológiája abszolút értékből származik (mint R és C esetében ) , akkor ezt a K n-n előállított topológiát egy norma indukálja : ez a végtelen normának nevezett norma egy vektorral társul, amelynek legnagyobb abszolút értéke elérhetőségeit. K n- t normalizált vektortérré teszi .
Itt feltételezzük, hogy K (mint R és C ) teljes, nem diszkrét „ értékelt test ” (abban az értelemben: abszolút értékkel van ellátva ) . A helyzet ekkor rendkívül egyszerű: a K n-n előállított topológia valójában „az egyetlen ésszerű”.
Tétel - Ha K egy teljes, nem-diszkrét „értékű mező”, akkor, bármilyen K- vektortér E véges dimenzióban, csak egy van topológia T úgy, hogy ( E , T ) egy különálló topológiai vektor helyet .
Megjegyzés: az elkülönítés feltétele elengedhetetlen. Ebből a tételből könnyen arra következtethetünk, hogy az E-n lévő topológiák (a különálló és a többiek ), amelyek kompatibilisek a két művelettel, bijektációban vannak az E vektor-alterekkel (a különálló a nulla altérnek felel meg, a durva pedig a altér E ).
A K- vektor térben bármely norma külön topológiai vektortér struktúráját indukálja. Két szabvány akkor és akkor egyenértékű, ha ugyanazt a topológiát indukálják. Ezért az előző tételből azonnal következtetünk:
Következmény - Ha K egy teljes, nem diszkrét „érték mező”, akkor a véges dimenziójú K vektortéren E minden norma egyenértékű.
Ennek következtében az n dimenzió csak egy K- normált vektortérje van , egy bi-egyenletesen folytonos izomorfizmusig .
Megjegyzés: A fenti tétel és a következmény K = R esetében klasszikusan bebizonyosodik a tömörség argumentumokkal, amelyek valójában feleslegesek: K nem biztos, hogy lokálisan kompakt. A mező teljessége viszont elengedhetetlen: például a (2-es dimenzió, a racionálisok mezején lévő) vektorteret több, nem ekvivalens normával látják el, például és .
A topológia ezen „egyediségéből” (különösen a norma egyediségétől az egyenértékűségig), amely a korábban említett K n teljességéhez kapcsolódik , a funkcionális elemzés során nagyon hasznos következtetésre jutunk :
Következmény - Ha K egy teljes nem diszkrét „értékelt mező”, akkor
Erre azt használjuk, hogy az elválasztott tér bármely teljes része zárt legyen (ami a metrikus keretben jól ismert, de az egységes keretig terjed ), és (hogy a vektoros alterekről az affin alterekre jusson), hogy minden fordítás homeomorfizmus.
A véges dimenziójú K normált vektortérek itt teljesek, és a folytonos lineáris térképek terei értékekkel teljes értékben öröklődnek e teljességtől (a Normalizált vektortér cikkben bemutatott tulajdonság ) következtetésre jutunk a teljességre:
Tétel - Ha K nem diszkrét teljes „érték mező”, akkor
a véges dimenziójú K- vektortérben a K- normalizált vektortér folytonos lineáris térképeinek területe teljes az operátor normájához .
Tegyük hozzá azt a hipotézist (amelyet R és C ismét igazolt ), hogy a K mező („értékelt” és nem diszkrét) nemcsak teljes, de lokálisan is kompakt. Ezután megkapjuk a Borel-Lebesgue-tétel természetes általánosítását :
Borel Lebesgue tétele (általánosítva) - Ha K helyileg kompakt, nem diszkrét „értékelt mező” és
ha E egy véges dimenziójú K- normált vektortér, akkor E kompakt részei a zárt, korlátozottak, és E helyileg kompaktak.
Ez a tulajdonság csak akkor igaz, ha E véges méretű. Egyébként a zárt egységgömb nem kompakt: ez az eredmény egy Riesz-tétel .
Nincs homeomorfizmus között R n és R p , ha n és p különböző. A bizonyítás a Luitzen- tartomány invarianciatételén, az Egbertus Jan Brouwer-n alapul , amelyet más néven nyílt labda tételnek neveznek:
Brouwer domain invariancia tétel - Let U legyen nyílt halmaza R n és φ folytonos és injektıv térképet U és R n . Ezután megnyílik az U képe .
Közvetlen következménye, hogy a φ homeomorfizmus.
Az R feletti véges dimenziós vektortér topológiája sok tétel tárgya. Mindannyian figyelemre méltó tulajdonsággal bírnak: kifejezéseik egyszerûek és intuitívak, másrészt bemutatóik nehézkesek és sokféle eszközt igényelnek.
Idézzük először a domain invarianciatétel egyik ősét :
Jordan-Brouwer-tétel - Legyen φ folyamatos és injektív térkép, az S n-1-től (az R n egységgömbjétől) az R n-ig . Ekkor R n- ben a φ kép komplementere ( S n-1 ) két összekapcsolt komponensből áll, amelyek közül az egyik korlátos, a másik pedig nem. Mindkettő szegélye az S n-1 képe.
Ezt a tételt Camille Jordan a második dimenzióban mutatja be, és csak 1912-ben általánosítja Brouwer bármely véges dimenzióra.
Az utóbbi bizonyult egy másik figyelemre méltó tétel, mely lehet levezetni a haj labda tétel :
Brouwer fixpont-tétele - R n egységgömbjének bármely folytonos térképeönmagában rögzít legalább egy pontot.
Egy másik tétel kissé hasonlít rá. Ez lehetővé teszi annak kimutatását, hogy az n dimenziós euklideszi térben, n korlátozott és mérhető szilárd anyag bármely halmazához létezik egy hipersík, amely mindegyik szilárd anyagot azonos térfogatú két részre vágja. Ezt az eredményt sonkás szendvics-tételként ismerjük, és azt állítjuk, hogy mindig lehetséges késsel vágni a szendvicset, hogy a két kenyérdarab és a sonkaszelet felosztása igazságos legyen.
Borsuk-Ulam tétel - Bármely folyamatos térképet S n-1 (az egység gömb R n ) a értékek R n-1 , van két antipód csúcsa van, amelynek ugyanaz a kép.
Végül a sok technikai eredmény közül, amely lehetővé teszi a függvény közelítését, idézzünk itt egy híres tételt:
Weierstrass approximációs tétele - Legyen K lehet egy kompakt az R n . Bármilyen folyamatos térképet K és R jelentése egységes határa K polinom térképeket.