Üzemeltetői szabvány

A matematikában , és különösen a funkcionális elemzésben , az operátornorma vagy az alárendelt norma olyan norma , amelyet a két normált vektortér közötti korlátozott operátorok tere határoz meg . Két ilyen tér között a határolt operátorok nem mások, mint folytonos lineáris térképek .

A testen K "érték" ( abszolút értékkel megadott értelemben ) és nem diszkrét (általában K = R vagy C ) E és F két normált tér, amelyek a ‖ ‖ 1 és a ‖ ‖ 2 szabványokkal vannak ellátva .

Hadd f egy lineáris leképezését E in F . Fontolja meg . ${\ displaystyle N: = \ sup _ {v \ neq 0} {\ frac {\ | f (v) \ | _ {2}} {\ | v \ | _ {1}}}}$

Ha N < $+ \infty$ , akkor azt mondjuk, hogy N az f operátor normája , alárendelve a ‖ ‖ 1 és ‖ ‖ 2 értékeknek .

Tulajdonságok

N akkor és akkor véges, ha léteznek olyan C valós számok , amelyek minden v ∈ E esetén ‖ f ( v ) ‖ 2 ≤ C ‖ v ‖ 1 (más szavakkal: olyanok, hogy f értéke C - Lipschitz-féle ), és ebben az esetben N egyenlő a tényleges C közül a legkisebbel .
Ha N véges, akkor F jelentése N - Lipschitzian és így egyenletesen folytonos , tehát a folyamatos, ezért továbbra is a 0. Ezzel szemben, ha az f folytonos 0, akkor N véges (a bizonyíték, a klasszikus a K = R vagy C , jelentése általánosítja ).
N akkor és csak akkor véges, ha az E bármely korlátozott részének (vagy egyszerűen: az egységgömbnek) az f képe határolt. Ez megmagyarázza a behatárolt operátorok nevét, amelyek szintén folyamatosan lineárisan leképezik E- t F-be .
Az E- től F- ig terjedő lineáris térképek térében tehát a folytonosak altere felruházható az alárendelt normával. Tehát a bilináris alkalmazás folyamatos. ${\ displaystyle L (E, F)}$ $\ mathcal L (E, F)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F) \ szorozza meg E \ -et F-ig, (f, v) \ mapsto f (v)}$
Ha E jelentése a véges dimenzióban, bármely lineáris leképezése E in F folytonos: . ${\ displaystyle L (E, F) = {\ mathcal {L}} (E, F)}$
ha K = R vagy C , akkor N is egyenlő ${\ displaystyle \ sup _ {\ | v \ | _ {1} = 1} \ | f (v) \ | _ {2} = \ sup _ {\ | v \ | _ {1} \ leqslant 1} { \ frac {\ | f (v) \ | _ {2}} {\ | v \ | _ {1}}}.}$ Végtelen dimenzióban ez a felső határ nem mindig érhető el (vö. „ Hölder egyenlőtlenségének rendkívüli esete ”).

Mély elemzés

Az üzemben norma megfelel az axiómák a norma, hogy a tér korlátos lineáris operátorok ettől E figyelembe F maga egy normált teret. Ez teljes , ha F befejeződött.

Két külön szabály vesz részt itt: az E-n és az F-ben . Még ha E = F is , két különböző normát lehet figyelembe venni ezeken a tereken. Különösen az E azonosító operátora két normának ‖.‖ és |||. ||| az E -n van operátori normája, E-ről ‖.‖-vel || ||. || || -re halad , csak akkor, ha létezik olyan állandó C , amely minden v esetében ||| v ||| < C ‖ v ‖. Ha E véges dimenzióval rendelkezik K = R vagy C értéknél , akkor ez a tulajdonság garantált: például E = R 2 esetén a ‖ v ‖ = 1 és ||| feltételek v ||| = 1 megadhat egy téglalapot és egy ellipszist, amelyek középpontja 0. Bármi legyen is az arányuk és az orientációjuk, a téglalapot megnövelhetjük úgy, hogy az ellipszis a megnövelt téglalap belsejébe illeszkedjen, és fordítva . Ez azonban egy jelenség, amely a véges dimenzióhoz és a K teljességéhez kapcsolódik, mivel egy ilyen mező véges dimenziójában az összes standard egyenértékű . Ez magában foglalja többek között topológiai egyenértékűségüket: az összes szabvány ugyanazt a topológiát , ugyanazokat a nyílásokat határozza meg.

Abban az esetben, K = R vagy C , és E = K n , lehetséges, hogy azt mutatják, hogy közvetlenül az N véges. Valójában (bármely ‖.‖ 1 norma esetén ) az E → R , v ↦ ‖ f ( v ) ‖ 2 függvény folyamatos és az egységgömb (az 1. norma v vektorainak halmaza ) kompakt , zárt részként és behatárolt. Az f operátor normája megegyezik ennek a gömbnek a térkép felső határával. Ebben az esetben a tömörség kedvéért ezért véges. De végtelen dimenzióban ez nem igaz. Ez látható például a trigonometrikus polinomok D derivált operátorának figyelembevételével. A négyzet középértékének négyzetgyökét vehetjük normának: mivel D (e i nx ) = i n e i nx , a H Hilbert H tér véges dimenziójú tereire alkalmazott D normák nincsenek korlátozva. Lehet, hogy egy olyan egyszerű operátor, mint a D , nem rendelkezik operátor standarddal. Egy alaptétel Baire tételével mutatja be, hogy ha A tartományának és képének Banach-területe van , akkor A korlátos. A most bemutatott példa esetében a D nem határozható meg az összes Fourier integrálható négyzet sorozatra. Valójában tudjuk, hogy képesek folyamatos funkciókat képviselni, de sehol sem különböztethetők meg. Az az intuíció, hogy ha A egyes vektorok normáit annyira megnöveli, amennyit csak akarunk, akkor lehetséges a szingularitások sűrítése - válasszon egy v vektort, amely a többi összege, és amelyre nem lehetne ‖ L ( v ) ‖ kész - ami azt mutatja, hogy a terület egy nem lehet H .

Az endomorfizmus normája

Abban az esetben, ha E = F , általában választani kell (még akkor is, ha ez nem kötelező) ‖ ‖ 1 = ‖ ‖ 2 .

A szokásos normákhoz gyakorlati képleteink vannak: vegyük E = R n és f ∈ L ( E ) értékeket . Tartalmazza a vektor egyik R n és a mátrix F a kanonikus alapján . Ezután: ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ pontok, x_ {n})}$ $A = (a _ {{ij}})$

Ha (norm index index végtelen, vagy végtelen norma), akkor az f normája megéri: ${\ displaystyle \ | x \ | = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$

{\ displaystyle \ max _ {1 \ leq i \ leq n} \ sum _ {1 \ leq j \ leq n} | a_ {ij} |}

;

Ha (normindex 1), akkor f normája : ${\ displaystyle \ | x \ | = \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$

{\ displaystyle \ max _ {1 \ leq j \ leq n} \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} | a_ {ij} |}

;

Ha (euklideszi norma, a kanonikus skaláris szorzathoz társítva ), akkor f normája az f * ∘ f négyzetgyöke , ahol f * az f segédjét jelöli . Bármely g szimmetrikus endomorfizmus esetén (különösen g = f * ∘ f esetén ) g normája megegyezik spektrális sugárával, amely a sajátértékeinek abszolút értéke közül a legnagyobb. Az f normája tehát a legnagyobb egyes értéke . Ez általánossá teszi, ha R n bármely Hilbert szóközzel helyettesítjük . ${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {1 \ leq i \ leq n} x_ {i} ^ {2}}}}$

Bármilyen norma N on ℒ ( E ) alárendelve norma ‖.‖ on E egy algebra norma , a mellett:

N (id E ) = 1 és
minden egység vektor és mindent , (a Hahn-Banach-tétel ). $X_ {0}$ $x$ ${\ displaystyle \ | X \ | = \ inf _ {AX_ {0} = X} N (A)}$

E második feltétel nélkül az ellenkezője hamis.

Valóban, ha kérdezzük

{\ displaystyle N {\ elején {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = \ max (| a | + | c |, 2 | b | + | d |) \ quad {\ text {and}} \ quad X_ {0} = {\ elején {pmatrix} 1 \\ 0 \ vége {pmatrix}} ~,}

ellenőrizzük az összes várható tulajdonságát , de az előző folyamat normaként adja meg a klasszikus normát , amelynek az alárendelt norma (vö. fent) nem . $NEM$ ${\ displaystyle \ | X \ | = \ inf _ {AX_ {0} = X} N (A)}$ ${\ displaystyle \ | \ | _ {1}}$ $NEM$

Kettős szabvány

Abban az esetben, ha F = R az abszolút értékkel normalizálva, ha E valós vektortér (vagy F = C a modulussal normalizálva, ha E komplex vektortér), az E minden egyes normájára a folytonos lineáris formák tere A topológiai kettősnek nevezett E -nek tehát normát lehet biztosítani.

Kapcsolódó cikkek