Borel-Lebesgue tétel

A topológia a ℝ n , a tétel a Borel - Lebesgue vagy Heine -Borel létrehozza a egyenértékűségét két következő tulajdonságok egy sor Egy a vektorok  :

• Egy van zárva , és korlátos ( A van határolt , ha létezik egy pozitív valós szám növekszik a norma minden eleme A );
• A jelentése kompakt , azaz, hogy ellenőrzi a Borel-Lebesgue tulajdonság: bármely átfedés a A által nyílások a ℝ n tudjuk kivonat egy véges alulfedezettségének .

A tétel lényege:

closed n bármely zárt kerete kompakt

mert a fordított azonnali.

Ez a tétel bármely véges dimenziós normált ℝ-vektor térre általánosít, de nem érvényes a végtelen dimenzióban.

Demonstráció

• A szegmens [ a , b ] kompakt
  Legyen ( U i ) egy nyitott fedelet a szegmens [ a , b ]. Az [ a , b ] x pontok F halmazát úgy tekintjük , hogy az [ a , x ] véges számú U i nyílás borítja . Mivel F nemüres (ez tartalmaz egy ), és tartalmazza a [ a , b ], hogy van egy felső határa m ∈ [ a , b ]. Ez a megkötött m egy U i-hez tartozik . Ekkor létezik ε> 0 oly módon, hogy az V = [ m - ε, m + ε] ∩ [ a , b ] = [ c , d ] szakasz beletartozik az U i-be . Mivel m jelentése adherens a F , V találkozik F , egy ponton x . Ha U i- t adunk az [ a , x ] véges burkolatához, akkor [ a , d ] véges burkolatot kapunk , tehát d ∈ F , ezért m ≥ d = min ( m + ε, b ), ezért b = d ∈ F .
• A szegmensek készterméke kompakt.
  Ezt az eredményt a tubus lemmából vezetik le , amely szerint a tömörítések minden készterméke kompakt.
• A ℝ n bármely korlátos zárt tömör .
  Valójában ez egy szegmens szorzatának zárt, ezért egy kompakt, vagy egy kompakt tömör .

Ellenpélda végtelen dimenzióban

Tekintsük a valós együtthatókkal rendelkező polinomok space [ X ] vektorterét . A polinom normájának vesszük az együtthatók megfelelő abszolút értékeinek maximumát. Legyen B a zárt egységgömb. Egyértelműen zárt és korlátozott. Azonban, az elemek X n a B jelentése a távolból 1 egymástól, ezért alkotnak szekvencia nélkül konvergens alszekvencia tehát itt nélkül adhéziós értéket , amely megakadályozza, hogy a B attól, hogy kompakt .

Bibliográfia

• (en) NR Andre, SM Engdahl, AE Parker, „  A Heine-Borel-tétel első bizonyításainak elemzése  ” , a www.maa.org oldalon ,2013 augusztus(elérhető : 2021. július 9. )

Megjegyzések

1. Ezt a tételt követve sok szerző inkább closed n tömörítését határozza meg zárt és korlátozott vektorhalmazként. Ebben az esetben a tétel így hangzik: ℝ n részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha rendelkezik Borel-Lebesgue tulajdonsággal. Egy másik megközelítés az, ha a tömörítéseket ℝ n- ben szekvenciálisan tömör részekként definiáljuk  : az a tény, hogy ezek a részek pontosan a zárt, korlátos részek , elemi.
2. Pontosabban: A- t kvázi kompaktnak mondják, ha kielégíti a Borel-Lebesgue tulajdonságot, és kompaktnak, ha ráadásul el van választva , de ℝ n-ben, amely elválik, ez a két fogalom ekvivalens.
3. Egy külön teret , minden kompakt zárva , és egy metrikus tér , akkor is csak azért, mert precompact .
4. A bizonyítéka az ingatlan és annak következményei a topológia ℝ n az S. Lang , a Real elemzés , Párizs, InterÉditions 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , p.  33 .
5. A Tychonov-tétel , amely sokkal nehezebb, azt mutatja, hogy minden kompakt termék kompakt.

Kapcsolódó cikkek

• Unokatestvérem lemma
• Montel tér