A matematikában a Schwartz-tér ( a kifejezés általános értelmében ) a lokálisan konvex topológiai vektortér egy olyan típusa, amellyel gyakran találkozunk az elemzés során, és amelynek figyelemre méltó stabilitási tulajdonságai vannak. Ez a név Grothendieck miatt maga Schwartz jóváhagyását kapta .
Egy lokálisan konvex térben különálló E egy Schwartz helyet, ha bármely szomszédos lemez ( azaz a d. Kiegyensúlyozott és zárt ) U a származási létezik egy szomszédságában disked V származási amely precompact topológia által meghatározott félig szabvány által meghatározott U . Ez azt jelenti, hogy a 0 bármely U szomszédságára tekintettel van egy olyan V szomszédság, amelynek értéke 0, így bármely ε> 0 esetén V- t lefedhetjük az ε U összes lefordított befejezett számával .
A szükséges és elégséges feltétele a helyi konvex teret, hogy egy Schwartz teret, hogy legyen kvázi normable és hogy minden korlátos része ezt a helyet is precompact .
A tér a csökkenő funkciók felett ℝ n egy Schwartz tér, mint a kettős , azaz a tér mérsékelt disztribúció .
Legyen an n nyitott halmaza, vagy általánosabban a véges dimenziójú parakompakt differenciál sokasága . A klasszikus megjegyezte terek (tere a végtelenségig differenciálható függvények a ) kettős (terében eloszlású kompakt támogatás a ), (tere a végtelenségig differenciálható függvények kompakt támogatás a ) és kettős (tér eloszlása a ) a Schwartz terek.
Legyen an n nyitott halmaza, vagy általánosabban a véges parakompakt dimenzió komplex változata . A tér a Holomorf funkciók közé egy Schwartz helyet.
A Schwartz-terek a következő figyelemre méltó tulajdonságokkal rendelkeznek: a Schwartz-tér hányadosa vagy altere Schwartzé. A Schwartz terek bármely családjának terméke a Schwartz. A Schwartz-terek sorozatának induktív (nem feltétlenül szigorú) határa egy Schwartz-tér.
Ezért aztán lehet egy kompakt a (ill. ). Tér (ill. ), A terek induktív határa (ill. ) , Schwartz-tér.
Ezenkívül minden gyenge topológiával ellátott tér Schwartz-tér. Az erős kettős egy metrizálható Montel tér egy Schwartz helyet. Bármely Fréchet -Schwartz szóköz - rövidítéssel, szóköz (FS) ; ez a helyzet , a és - úgy Fréchet-Montel, és ezért reflexív ; ráadásul elválasztható . Általánosságban elmondható, hogy a Fréchet-Schwartz tér hányadosa egy zárt altér részével egy Fréchet-Montel tér (míg a Fréchet-Montel tér hányadosa egy zárt altérrel nem feltétlenül tükröződik, és a fortiori nem lehet Montel tér) ). Egy térben (FS) a szekvencia konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele az, hogy gyengén konvergens.
Minden nukleáris tér egy Schwartz-tér. A fent említett összes tér nukleáris; Ugyanez vonatkozik a tér a hivatalos sorozat az n változók komplex együtthatók, látva a topológia egyszerű konvergencia az együtthatók (ami egy Fréchet tér), valamint a tér a polinomok n változók komplex együtthatók, szigorú induktív határ topológiájával rendelkezik a k- nál kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinomokból álló terek (a véges dimenziók, ezért egy tér (LF), a Fréchet-terek szigorú induktív határa); azonosul a kettővel . De lehet, hogy egy Fréchet-Schwartz tér nem nukleáris.
A Fréchet-Schwartz tér erős kettősét rövidítéssel szóköznek (DFS) vagy Silva térnek nevezzük . Egy ilyen tér tükröződik. A tér (DFS) hányadosa egy zárt altér által egy tér (DFS), a tér zárt altere (DFS) pedig egy tér (DFS). Egy tér (DFS) egy teljes monteli tér ; sőt, mivel ez egy elválasztható Fréchet-Montel tér kettőse, szublinikus . A tér erős kettője (DFS) egy tér (FS), ezért a Fréchet-Montel. Például a kompaktan támogatott eloszlások tere és az analitikai funkcionálok tere benne , a mérsékelt égbolt eloszlásának tere, a helyileg holomorf funkciók tere a kompakt K- on tér (DFS).
A teljes nukleáris tér erős kettőssége, amely a Fréchet-terek sorozatának induktív határa (nem feltétlenül szigorú), nukleáris, ezért egy Schwartz-tér (ez különösen vonatkozik rá , amely azonban nem az (DFS)).
Másrészt a Schwartz-tér erős kettőssége általában nem Schwartz-tér (mint ahogy az atomtér erős kettősje sem lehet nukleáris). Például a Fréchet-Montel tér E erős kettős E ' része, amely nem Schwartz-tér, Schwartz-tér, de erős kettősje, amely ismét E , nem Schwartz-tér. A teljes különálló Schwartz-tér reflexív és erős kettősje ultrabornológiai (míg egy majdnem teljes nukleáris tér félreflexív ); Ahhoz, hogy egy Schwartz-tér reflexív legyen, meg kell (mint bármely más helyileg domború tér esetében), hogy szinte teljes legyen.
Vagy E és F a Frenchet terek és u folyamatos feltérképezése S az F . A következő feltételek egyenértékűek:
(a) u szigorú morfizmus (régi terminológia: homomorfizmus), amikor E és F fel vannak ruházva a kezdeti topológiákkal.
(b) u szigorú morfizmus a legyengült topológiákra és .
(c) Az u kép F-ben zárva van .
(d) A transpose egy szigorú morfizmus a a a gyenge topológiák és .
(e) A kép van zárva felruházva a gyenge topológia .
Ha ráadásul E és F Fréchet-Schwartz szóköz, akkor a fenti feltételek ekvivalensek
(f) egy olyan szigorú morfizmus a a a erős topológiák és (az erős topológiák hogy topológiákat egyenletes konvergenciája a határolt részek ).
A fentiek fontos következményekkel járnak a pontos következmények vonatkozásában . Legyen E , F és G három lokálisan konvex szóköz, és vegyünk figyelembe egy szekvenciát
(S):hol és folytonos lineáris térképek vannak. Azt mondják, hogy (algebrai) egzakt , ha és (szigorúan) pontos , ha az (algebrai) pontos, és ha és szigorú morfizmusok. Vagy a "kettős szekvencia"
(S ') .A következő eredményt kaptuk:
Ha (S) algebrailag pontos, és ha szigorú morfizmus (amikor F és G egyaránt fel vannak ruházva kezdeti vagy gyengített topológiákkal), akkor (S ') algebrailag pontos.
Ha E , F és G jelentése Fréchet terek és (S) szigorúan pontos (ha az E , F és G mindegyike a három felruházva vagy kezdeti topológia), majd (S „) is pontos , ha , és mind a három gyenge topológiák .
Ha E , F és G jelentése Fréchet-Schwartz terek, majd (S) szigorúan pontos (ha F és G mindegyike a három felruházva a kezdeti topológiák), ha, és csak akkor, ha (S „) szigorúan pontos, ha , és mind három erős topológiával.