Eloszlás (matematika)

A matematikai elemzésben az eloszlás (más néven általánosított függvény ) egy olyan objektum, amely általánosítja a függvény és a mérés fogalmát . Az eloszlás elmélete kiterjeszti a derivált fogalmát minden lokálisan integrálható és azon túli függvényre , és bizonyos parciális differenciálegyenletek megoldásainak megfogalmazására szolgál . Fontosak a fizikában és a mérnöki munkában, ahol sok megszakítás nélküli probléma természetesen differenciálegyenletekhez vezet, amelyek megoldásai eloszlások, nem pedig hétköznapi függvények.

Az elmélet eloszlások hivatalos alapját a francia matematikus Laurent Schwartz és elnyerte a Fields-érem az 1950 . Bevezetése a kettősség gondolatára összpontosító lineáris algebra és topológia fogalmait használja . Ennek az elméletnek az eredetét Heaviside (1894) és Poincaré (1912) szimbolikus számításában kell keresni , valamint a fizikusok által bevezetett „Dirac funkció” (1926) bevezetésében. A cél ezután a funkció fogalmának általánosítása, a matematikai értelem helyes megadása volt, amelyet a fizikusok manipuláltak, megtartva a további lehetőséget olyan műveletek elvégzésére, mint az elágazások , konvolúciók , Fourier-transzformációk vagy a Laplace . Jacques Hadamard , Salomon Bochner és Sergueï Sobolev voltak ennek a munkának az egymást követő kézművesei, amelynek utolsó része Laurent Schwartznak köszönhető. Ez az általánosítás a fogalom funkciót követett különböző irányokba, és különösen okot adó fogalmának túlműködés miatt Mikio Satō . Egy másik út a Colombeau (en) terjesztéséhez vezetett , amelyet maga Laurent Schwartz üdvözölt, mint a disztribúciók jó funkcionális nézőpontjának felfedezését . Különösen, ellentétben a Schwartz-disztribúciókkal, a szorzást végül teljesen meghatározzuk a Colombeau-disztribúciókon.  

A Dirac eloszlás az elosztás érdekes példája, mert nem függvény , hanem informálisan képviselhető egy degenerált függvénnyel, amely a 0 kivételével minden definíciós területén nulla lenne, és amelynek integrálja 1-et érne. A valóságban egészen szigorúan, ez a határ abban az értelemben, az eloszlások egy sor funkciót beépített 1 és egyenletesen konvergáló 0 bármilyen kompakt nem tartalmazó 0. egy ilyen matematikai objektum hasznos fizikai vagy jelfeldolgozó , de nem közönséges funkció ezeket a tulajdonságokat.

Alapvető ötletek

A függvényt általában úgy értékeljük, hogy kiszámoljuk annak értékét egy ponton. Ez a módszer azonban jelentős szerepet játszik a funkció szabálytalanságaiban (például megszakításokban). Az eloszláselmélet mögött az az elképzelés áll, hogy van egy jobb értékelési módszer: kiszámítani a függvény értékeinek átlagát egy egyre szűkebb tartományban a vizsgálati pont körül. A súlyozott átlagok figyelembevételével tehát a forma kifejezéseinek megvizsgálására késztetünk

énf(φ)=∫Rf(x)φ(x)dx{\ displaystyle I_ {f} (\ varphi) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x}

amelyben az értékelendő függvény egy lokálisan integrálható függvény és egy „ tesztfunkciónak ” nevezett függvény, korlátlanul megkülönböztethető és egy korlátlan halmazon kívül azonosan null . f:R→R{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}φ:R→R{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

Az integrál egy valós szám , amely függ a lineáris és folyamatos módon a Ezért látni, hogy mi lehet társítani integrálható függvény egy folytonos lineáris formában a tér vizsgálati feladatokat. Két lokálisan integrálható és ugyanazt a folytonos lineáris formát adó függvény szinte mindenhol egyenlő . Ez azt jelenti, hogy azonos az elenyésző halmaz kivételével vagy a kapcsolódó tesztfunkciók kiértékelésének lineáris formája. énf(φ){\ displaystyle I_ {f} (\ varphi)}φ.{\ displaystyle \ varphi.}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}f{\ displaystyle f}

Általánosabban, ha egy Borel mérték a valós számok egy teszt funkció, akkor az integrál μ{\ displaystyle \ mu}φ{\ displaystyle \ varphi}

énμ(φ)=∫Rφ(x)dμ(x){\ displaystyle I _ {\ mu} (\ varphi) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ varphi (x) \, \ mathrm {d} \ mu (x)}

egy valós szám, amely lineárisan és folytonos módon függ a méréstől . A mérések a függvényteszt területén folytonos lineáris formákkal is társíthatók. A „folytonos lineáris forma a tesztfunkciók térén” fogalmat tehát az eloszlások meghatározásaként használjuk. φ.{\ displaystyle \ varphi.}

Az eloszlásokat bármely valós számmal meg lehet szorozni és összeadni. Az eloszlások halmaza tehát valós vektorteret képez . A két eloszlás szorzatát általában nem lehet két függvény ponttermékének általánosításaként definiálni, de az eloszlásokat meg lehet szorozni korlátlanul differenciálható függvényekkel.

Tesztfunkciók területe

Ω egy nyitott nemüres ℝ N . A teszt funkció a Ω függvénye Ω a ℝ, végtelenségig differenciálható és kompakt támogatást .

Példa Ha Ω = ℝ N , a függvényx↦{exp⁡(-11-‖x‖2)ha ‖x‖<10ha nem{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} \ exp \ left (- {\ frac {1} {1- \ | x \ | ^ {2}}} \ right) & {\ text {si}} \ | x \ | <1 \\ 0 és {\ text {különben}} \ vég {esetek}}}jelentése C ∞ és alátámasztása a zárt labdát B (0, 1) a norma ║. Norme használt.

Jelöljük a vektor helyet a teszt funkciók Ω és ez biztosítja a következő topológia : a negyedek egy elem a tér - mint minden topológiai csoport - a fordította ezt az elemét szomszédságában 0, és egy sor van a null függvény szomszédsága, ha Ω bármely kompakt K esetén létezik olyan m > 0 egész szám , hogy V a következő halmazt tartalmazza: D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}V⊂D(Ω){\ displaystyle V \ subset {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

NÁL NÉLK,m: ={φ∈DK(Ω)|maxα∈NEMNEM|α|≤m‖∂αφ‖∞≤1/m},{\ displaystyle A_ {K, m}: = \ bal \ {\ varphi \ in {\ mathcal {D}} _ {K} (\ Omega) \ left | \ max _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {N} \ atop | \ alpha | \ leq m} \ | \ részleges ^ {\ alpha} \ varphi \ | _ {\ infty} \ leq 1 / m \ right. \ Right \},}

ahol azt a funkciókat jelöli, amelyeknek a támogatása szerepel a K-ban , és ‖ f ‖ ∞ az f normája az egységes konvergencia értelmében ( kompakt támogatással folytonos f esetén ez a | f | globális maximuma ). DK(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {K} (\ Omega)}D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

Más szóval, ha Ω az unió növekvő szekvenciájának kompaktok K n , egy bázis negyedek 0 alkotják , amikor áthalad a ( megszámlálhatatlan ) készlet szekvenciák értékek ℕ *. Vm: =∪nem∈NEMNÁL NÉLKnem,mnem{\ displaystyle V_ {m}: = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {K_ {n}, m_ {n}}}m=(mnem)nem∈NEM{\ displaystyle m = (m_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Ezzel a topológiával van ellátva, egy helyileg konvex tér, nem mérhető, mivel önmagában sovány és szekvenciálisan teljes (sőt teljes ). D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

A konvergencia irányába 0 sorozatából funkciók φ n eredményezi, hogy létezik egy kompakt K a Ω, tartalmazó hordozók az összes φ n egy bizonyos rangot, és olyan, hogy φ n, mint valamint az összes származékai általában 0 egyenletesen a K-n . D(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega),}

Elosztások

Meghatározás

A eloszlás egy folytonos lineáris formában a halmaza megoszlást tehát a topológiai kettős e ezért jelöljükΩ{\ displaystyle {\ mathcal {\ Omega}}} D(Ω).{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega).}Ω{\ displaystyle {\ mathcal {\ Omega}}}D(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega),}D′(Ω).{\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ Omega).}

Az egyik természetes topológia lokálisan konvex tér ezen kettős a gyenge- * topológia (azaz az egyszerű konvergencia on ). D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

Jellemzések

Egy lineáris formában T szóló folytonosságát 0 elég, hogy garantálja a teljes folytonosságot. D(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega),}

Definíció szerint a topológiája , T folytonos (a 0), ha és csak akkor, bármely kompakt K a Ω, D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

∃NEMK∈NEM∃VSK∈R∀φ∈DK(Ω)|T(φ)|≤VSKmaxα∈NEMNEM|α|≤NEMK‖∂αφ‖∞.{\ displaystyle \ létezik N_ {K} \ in \ mathbb {N} \ quad \ létezik C_ {K} \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} _ {K} (\ Omega) \ quad | T (\ varphi) | \ leq C_ {K} \ max _ {\ alfa \ in \ mathbb {N} ^ {N} \ atop | \ alpha | \ leq N_ {K}} \ | \ részleges ^ {\ alpha} \ varphi \ | _ {\ infty}.}

Sőt, ha T folytonos, akkor szekvenciálisan folytonos (0-nál), vagyis bármely funkciósorozatnálφnem∈D(Ω),{\ displaystyle \ varphi _ {n} \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega),}

φnem→0⇒T(φnem)→0.{\ displaystyle \ varphi _ {n} \ to 0 \ Rightarrow T (\ varphi _ {n}) \ to 0.}

De mivel ez egy bornológiai tér , ez a szükséges - sokkal kezelhetőbb - feltétel is elegendő . D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}

Értékelés

Ha egy elosztó és a teszt működése száma jelöljükT{\ displaystyle T}φ{\ displaystyle \ varphi}D(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega),}T(φ){\ displaystyle T (\ varphi)}⟨T,φ⟩.{\ displaystyle \ langle T, \ varphi \ rangle.}

Forgalmazás rendje

A T eloszlás Ω-on kisebb vagy egyenlő, mint a természetes p egész szám, ha Ω bármely kompakt K esetén

∃VSK∈R∀φ∈DK(Ω)|⟨T,φ⟩|≤VSKmaxα∈NEMNEM|α|≤o‖∂αφ‖∞,{\ displaystyle \ létezik C_ {K} \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} _ {K} (\ Omega) \ quad | \ langle T, \ varphi \ rangle | \ leq C_ {K} \ max _ {\ alfa \ mathbb {N} ^ {N} \ tetején | \ alpha | \ leq p} \ | \ részleges ^ {\ alfa} varphi \ | _ {\ infty},}

azaz, ha az N K a jellemzése folytonosságának T mindig hozni egyenlő p .

Természetesen azt mondják, hogy p sorrendű, ha annak értéke kisebb vagy egyenlő, mint p, de nem p - 1, és végtelen sorrendű, ha kisebb vagy egyenlő bármely egész számmal.

Példák

A ℝ végtelen sorrend-eloszlására példa az φ↦∑nem∈NEMφ(nem)(nem).{\ displaystyle \ varphi \ mapsto \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ varphi ^ {(n)} (n).}

A 0. sorrend eloszlásai azok, amelyek kiterjednek a Radon mértékekre ( aláírva ). Íme néhány példa:

• pozitív  eloszlások (in) , például a Dirac-eloszlás (0-ban) által meghatározott  ;δ0{\ displaystyle \ delta _ {0}}⟨δ0,φ⟩=φ(0){\ displaystyle \ langle \ delta _ {0}, \ varphi \ rangle = \ varphi (0)}
• bármilyen „szabályos” eloszlás, azaz bármely olyan T f eloszlás, amely egy lokálisan integrálható f függvénnyel társul :∀φ∈D(Ω)⟨Tf,φ⟩=∫Rf(x)φ(x)dx.{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega) \ quad \ langle T_ {f}, \ varphi \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x.}A lineáris (folyamatos) alkalmazása L 1 loc (Ω) az , hogy injektıv , mi megzavarhatja f és T f . A reguláris eloszlás híres példája a Heaviside függvényhez kapcsolódó, amelyet Y-vel vagy H-vel jelölünk , és amelyet a következők határoznak meg:D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ Omega)}
  ⟨Y,φ⟩=∫0+∞φ(x)dx.{\ displaystyle \ langle Y, \ varphi \ rangle = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x.}

Eloszlások levezetése

Hogy meghatározza a származéka, forgalmazás, hadd először azt az esetet egy szabályos eloszlás a ℝ, amelynek sűrűsége f található C osztály 1 . Vagy egy integrálás lehetővé teszi, hogy írják: φ∈D(R).{\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R}).}

∫Rf′(x)φ(x)dx=-∫Rf(x)φ′(x)dx,soént⟨Tf′,φ⟩=-⟨Tf,φ′⟩.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} f '(x) \ varphi (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) \ varphi' (x) \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ mathrm {vagy} \ qquad \ langle T_ {f '}, \ varphi \ rangle = - \ langle T_ {f}, \ varphi' \ rangle.}

Valójában, mivel a φ függvény nullára esik egy korlátozott halmazon kívül, az élek feltételei törlik egymást.

Ha ℝ n nyílt eloszlása , akkor ez a példa azt javasolja, hogy meghatározzuk k- edik részleges deriváltját : T∈D′(Ω){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ Omega)} ∂T∂xk{\ displaystyle {\ frac {\ részleges T} {\ részleges x_ {k}}}}

⟨∂T∂xk,φ⟩=-⟨T,∂φ∂xk⟩.{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ részleges T} {\ részleges x_ {k}}}, \ varphi \ jobb \ rangle = - \ bal \ langle T, {\ frac {\ részleges \ varphi} {\ részleges x_ {k}}} \ jobb \ rangle.}

Ez a definíció kiterjed a klasszikus fogalma származék: minden elosztó válik végtelenül differenciálható (lineáris is folytatódik , hogy önmagán belül), és a Leibniz szabály van jelölve (elosztó származó , a termék a T egy függvény ψ végtelenségig differenciálható), valamint az analóg az Schwarz tétele . Továbbá, ha T jelentése a rend p , akkor az a érdekében kisebb, mint vagy egyenlő p + 1. T↦∂T∂xk{\ displaystyle T \ mapsto {\ frac {\ részleges T} {\ részleges x_ {k}}}}D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ Omega)}φ↦⟨T,ψφ⟩{\ displaystyle \ varphi \ mapsto \ langle T, \ psi \ varphi \ rangle} ∂T∂xk{\ displaystyle {\ frac {\ részleges T} {\ részleges x_ {k}}}}

Például a derivált a Heaviside függvény eloszlásának értelmében a Dirac eloszlás 0-nál .

Alternatív módon és általánosságban a T vektor egy h vektorát követő származéka az alábbiak szerint határozható meg:

∂hT=limt→0t≠0τthT-Tt.{\ displaystyle \ részleges _ {h} T = \ lim _ {t \ to 0 \ atop t \ neq 0} {\ frac {\ tau _ {th} TT} {t}}.}

(A v vektorral történő fordítást az eloszlásokon határozzuk meg - ismét inspirációt merítve a reguláris eloszlások esetéből -, mint a - v transzláció átültetését a tesztfunkciókra : ⟨τvT,φ⟩: =⟨T,τ-vφ⟩, val vel τwφ(x): =φ(x+w).){\ displaystyle \ langle \ tau _ {v} T, \ varphi \ rangle: = \ langle T, \ tau _ {- v} \ varphi \ rangle, {\ text {with}} \ tau _ {w} \ varphi (x): = \ varphi (x + w).)}

Valójában minden tesztfunkcióhoz φ,{\ displaystyle \ varphi,}

⟨τthT-Tt,φ⟩=⟨T,τ-thφ-φt⟩⟶t→0t≠0⟨T,∂-hφ⟩=-⟨T,∂hφ⟩.{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ tau _ {th} TT} {t}}, \ varphi \ right \ rangle = \ left \ langle T, {\ frac {\ tau _ {- th} \ varphi - \ varphi} {t}} \ right \ rangle {\ underset {\ overset {t \ to 0 \ atop t \ neq 0} {}} {\ longrightarrow}} \ langle T, \ részleges _ {- h} \ varphi \ rangle = - \ langle T, \ részleges _ {h} \ varphi \ rangle.}

A Every minden T eloszlásának van primitívje (vagyis olyan eloszlás, amelynek deriváltja T ), és kettő állandóval különbözik.

Ahhoz, hogy a ℝ eloszlásának mértéke származékként szerepeljen, szükséges és elegendő, hogy függvény legyen, korlátozott variációval , bármely korlátozott intervallumon.

Ha F egy abszolút folytonos függvény az ℝ, származékos szinte mindenhol f , akkor a rendszeres elosztó T f a származék T F . Ezzel szemben, ha egy elosztó T van derivatív szabályos eloszlás T F , majd T = T F az F abszolút folytonos, határozatlan integrál az F  ; szinte minden ponton, és bármely ponton, ahol f folytonos, F differenciálható és származéka f .

Az L p térhez tartozó függvények eloszlásának értelmében vett derivált beavatkozik a Sobolev-terek meghatározásába .

Amikor a T eloszlás fizikai jelenséget modellez , a φ tesztfunkció mérőeszközként értelmezhető, 〈T , φ〉 az eredmény; a fenti definíció ekkor a T jelenség deriváltjának kísérleti mérését (legalábbis gondolatban ) képviseli a instrument eszköz segítségével.

Speciális disztribúciók

A véges sorrendű eloszlások két külön osztálya különösen hasznos (az elsőt a második tartalmazza):

Kompakt tartóadagolók

Jelöljük - vagy - a Fréchet függvényterét, amely határozatlanul differenciálható az Ω-on. A topológiai kett következőképpen azonosít a készlet kompakt támogató disztribúciók: folyamatos felvétel és sűrű kép indukál lineáris injekció , amelynek képe pontosan vektor altér disztribúciók T olyan, hogy supp ( T ) egy kompakt, supp kijelölő itt támogatása disztribúció . E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}VS∞(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ Omega)} E′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ Omega)}D(Ω)⊂E(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega) \ subset {\ mathcal {E}} (\ Omega),} E′(Ω)↪D′(Ω),S↦S|D(Ω),{\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ Omega) \ hookrightarrow {\ mathcal {D}}' (\ Omega), S \ mapsto S_ {| {\ mathcal {D}} (\ Omega)},}

Demonstráció

• Minden korlátozás, hogy egy folytonos lineáris formában S a kompakt támogatás: Valóban, minden elosztó T egy nem-kompakt támogatást, létezik egy sor teszt funkciók ellenőrzésére a következő két tulajdonsággal: D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}(φnem)nem{\ displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}
  • minden n esetében a támasz elszakad a
  B labdától (0, n ), tehát befelé és következésképpen  ;φnem{\ displaystyle \ varphi _ {n}}φnem→0{\ displaystyle \ varphi _ {n} \ to 0}E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}S(φnem)→0{\ displaystyle S (\ varphi _ {n}) \ to 0}
• T(φnem)=1.{\ displaystyle T (\ varphi _ {n}) = 1.}

Bármilyen elosztó T on Ω amelynek támogatására kompakt az a korlátozás, hogy a (egyedi) folytonos lineáris formában S on  : elegendő, hogy önkényesen válasszon egy funkciót egyenlő 1 a támogatására T és meg kell határozni az S általD(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}E(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ Omega)}χ∈D(Ω){\ displaystyle \ chi \ itt: {\ mathcal {D}} (\ Omega)}∀ψ∈E(Ω)⟨S,ψ⟩E′,E=⟨T,χψ⟩D′,D.{\ displaystyle \ forall \ psi \ in {\ mathcal {E}} (\ Omega) \ quad \ langle S, \ psi \ rangle _ {{\ mathcal {E}} ', {\ mathcal {E}}} = \ langle T, \ chi \ psi \ rangle _ {{\ mathcal {D}} ', {\ mathcal {D}}}.}

Mérsékelt eloszlások

A mérsékelt eloszlások olyanok, amelyek folyamatosan terjednek a Schwartz térre . Nagyon fontos szerepet játszanak, mert a Fourier-transzformáció fogalma kiterjeszthető az utóbbira.

Szerkezeti tételek

Az eloszlások helyi és globális struktúrájáról szóló tételek "nyilvánvalóan nagy elméleti és gyakorlati jelentőséggel bírnak", és "a gyakorlatban nagyon is használhatók a demonstrációjuk ismerete nélkül is" , ami nem elemi.

Helyileg az eloszlások nem mások, mint a folytonos függvények (az eloszlások értelmében és bármilyen sorrendben) „származékai”:

Tétel  - 

• Egy eloszlás lokális szerkezete - "A ℝ N eloszlása megegyezik a kompakt tapadás Ω N bármely nyitott Ω-jában egy folytonos függvény deriváltjával, amelynek támaszát tetszőleges Ω szomszédságában lehet megválasztani . "
• Edzett eloszlás szerkezete - Az ℝ N feletti eloszlást akkor és csak akkor mérsékeljük, ha ez egy lassan növekvő folyamatos függvény származéka, vagyis egy polinom szoros folytonos függvény szorzata .
• Kompakt alátámasztású eloszlás felépítése - „Bármely T [on Ω] eloszlás kompakt K támasztékkal végtelen sokféleképpen ábrázolható az ℝ N teljes térben a folytonosból származtatott véges szám összegével. funkciók, amelyek tartószerkezeteikre önkényesen környéken U a K . "

A kifejezés egy eloszlású kompakt támogatást, az összeg lehet , mint a mérsékelt eloszlások, csökkenthető egyetlen kifejezés integrálással, néha árán növekedése a sorrendben a deriválás (például ∂ (1, 0) A g + ∂ (0,1) h átalakulhat ∂ (1, 1) f ) értékűvé , de mindenekelőtt úgy, hogy elveszíti a függvény alátámasztásának kompakt tulajdonságát , "amely eltávolítana belőle minden érdeklődést" . Például a Dirac eloszlás nem egyetlen kompakt támogatással rendelkező folyamatos függvény iterált deriváltja.

A kompakt támogatási eloszlásokról szóló megállapításból levezethető egy analóg a „folyamatos funkciók” helyett „intézkedések”, amelyeket javíthatunk, ha K „elég szabályos”, azzal, hogy több „támaszt K önkényes szomszédságában” helyettesítünk „támaszokkal  ”. a K  ”. Rendszerességi feltételezés nélkül legalább azt mondhatjuk, hogy bármely kompakt K alátámasztású T eloszlás és bármely test tesztfunkció esetén a 〈T , φ〉 értéke csak a ≤ p of derivált származékai K korlátozásától függ , ahol p a T eloszlás rendje . Alkalmazásával az ingatlan, vagy pedig, hogy a rendszeresség feltételezés teljesül leghamarabb K jelentése domború , azt találjuk:

Pont által támogatott eloszlások  -  Legyen T egy szingulettben szereplő támogatási elosztás , és p annak sorrendje . Ekkor létezik egy véges multi-index-sorozatok a skalár olyan, hogy{x0}{\ displaystyle \ {x_ {0} \}}(nál nélα)α{\ displaystyle (a _ {\ alpha}) _ {\ alpha}}T=∑|α|≤onál nélα∂αδx0.{\ displaystyle T = \ sum _ {| \ alpha | \ leq p} a _ {\ alpha} \ részleges ^ {\ alpha} \ delta _ {x_ {0}}.}

Ez a skalár szekvencia egyedülálló, mivel a T bomlása magában foglalja:nál nélα=(-1)|α|α!⟨T,xα⟩.{\ displaystyle a _ {\ alpha} = {\ frac {(-1) ^ {| \ alpha |}} {\ alpha!}} \ langle T, x ^ {\ alpha} \ rangle.}

Egy egység partíciót , a szerkezet kompakt támogatott disztribúciók, megkönnyíti az adja, hogy bármely eloszlás:

Az eloszlás általános szerkezete  -  Bármely T eloszlás felosztható a folytonos függvények deriváltjainak konvergens végtelen összegére, amelyek támaszai kompaktak, korlátlanul eltávolodnak és a T támasz tetszőleges szomszédságában találhatók .

Eloszlások konvolúciója

Eloszlás konvolúciója tesztfunkcióval

A tesztfunkcióval történő konvolúció szorzata a lokálisan integrálható függvényektől az eloszlásokig terjed.

Meghatározás

Az eloszlás és a tesztfüggvény konvolúciója a C ∞ on ℝ N osztályfüggvény, amelyet az alábbiak határoznak meg: T∗φ{\ displaystyle T \ ast \ varphi}T∈D′(RNEM){\ displaystyle T \ itt: {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}φ∈D(RNEM){\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N})}

T∗φ:x↦⟨T,φ(x-⋅)⟩=⟨T,τ-xφ~⟩,{\ displaystyle T \ ast \ varphi: x \ mapsto \ langle T, \ varphi (x- \ cdot) \ rangle = \ langle T, \ tau _ {- x} {\ widetilde {\ varphi}} \ rangle,}

ahol a ANTIPODY a teszt-funkciókra a készítmény a dilatáció z ↦ - z  :~{\ displaystyle {\ widetilde {}}}

φ~(z)=φ(-z).{\ displaystyle {\ widetilde {\ varphi}} (z) = \ varphi (-z).} Példa

Ugyanis a Dirac eloszlása ​​benne van, vagyisT=δnál nél: =τ-nál nél(δ0){\ displaystyle T = \ delta _ {a}: = \ tau _ {- a} (\ delta _ {0})}

⟨δnál nél,φ⟩=φ(nál nél),{\ displaystyle \ langle \ delta _ {a}, \ varphi \ rangle = \ varphi (a),}

azt kapjuk :

δnál nél∗φ=τ-nál nélφ.{\ displaystyle \ delta _ {a} \ ast \ varphi = \ tau _ {- a} \ varphi.} Tulajdonságok

• A szabályossága a -ból származik, és deriváltjait az adjaT∗φ{\ displaystyle T \ ast \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}∂α(T∗φ)=(∂αT)∗φ=T∗(∂αφ).{\ displaystyle \ részleges ^ {\ alfa} (T \ ast \ varphi) = (\ részleges ^ {\ alfa} T) \ ast \ varphi = T \ ast (\ részleges ^ {\ alfa} varphi).}
• A konvolúció megőrzi tulajdonságát, hogy növelje a támogatást:supp(T∗φ)⊂suoo(T)+suoo(φ).{\ displaystyle {\ textrm {supp}} (T \ ast \ varphi) \ részhalmaz {\ rm {supp}} (T) + {\ rm {supp}} (\ varphi).}

Különösen, ha T- nek kompakt tartója van, akkor ez tesztfunkció, így a megfelelő közelítő egység által történő konvolúció „szabályos lineáris folyamatot ad számunkra az eloszlás közelítésére a végtelenül differenciálható függvények sorozatával” kompakt támaszokkal. T∗φ{\ displaystyle T \ ast \ varphi}

Ebben a konvolúcióban nem beszélhetünk kommutativitásról, sem asszociativitásról, mert a kapott funkciónak nem feltétlenül van kompakt támasza.

Eloszlás konvolúciója elosztással kompakt támogatással

Meghatározás

Az eloszlás konvolúciója és a kompakt támaszú eloszlás konvolúciója az ℝ N eloszlása : T∗S{\ displaystyle T \ ast S}T∈D′(RNEM){\ displaystyle T \ itt: {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}S∈E′(RNEM){\ displaystyle S \ itt: {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}

∀φ∈D(RNEM)⟨T∗S,φ⟩=⟨T,S~∗φ⟩,{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ langle T \ ast S, \ varphi \ rangle = \ langle T, {\ widetilde {S }} \ ast \ varphi \ rangle,}

ahol az eloszlásokon az antitest transzpozíciójaként definiálják a tesztfunkciókat:~{\ displaystyle {\ tilde {}}}⟨S~,φ⟩=⟨S,φ~⟩.{\ displaystyle \ langle {\ widetilde {S}}, \ varphi \ rangle = \ langle S, {\ widetilde {\ varphi}} \ rangle.}

Tulajdonságok

• Az in beiktatásával ez a konvolúció kiterjeszti az előzőt.D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}E′{\ displaystyle {\ mathcal {E}} '}
• Mindig megvan az a tulajdonsága, hogy növeli a támogatást:supp(T∗S)⊂suoo(T)+suoo(S).{\ displaystyle {\ textrm {supp}} (T \ ast S) \ subset {\ rm {supp}} (T) + {\ rm {supp}} (S).}Különösen a konvolúciós művelet tehát belső E′(RNEM).{\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).}
• A konvolúció kommutatív . Az eloszlás képlettel történő meghatározásávalS∗T{\ displaystyle S \ ast T}∀φ∈D(RNEM)⟨S∗T,φ⟩=⟨S,T~∗φ⟩E′,E{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ langle S \ ast T, \ varphi \ rangle = \ langle S, {\ widetilde {T }} \ ast \ varphi \ rangle _ {{\ mathcal {E}} ', {\ mathcal {E}}}}ígyT∗S=S∗T.{\ displaystyle T \ ast S = S \ ast T.}
• A konvolúció asszociatív . Legyen három eloszlás ℝ N-n , amelyek közül legalább kettő kompakt alátámasztással rendelkezik. ÍgyR,S,T{\ displaystyle R, S, T}R∗(S∗T)=(R∗S)∗T=R∗S∗T.{\ displaystyle R \ ast (S \ ast T) = (R \ ast S) \ ast T = R \ ast S \ ast T.}
• A konvolúciós termék levezetése a következő. Bármely többindexhezα∈NEMNEM,{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {N},}∂α(T∗S)=(∂αT)∗S=T∗(∂αS).{\ displaystyle \ részleges ^ {\ alfa} (T \ ast S) = (\ részleges ^ {\ alfa} T) \ ast S = T \ ast (\ részleges ^ {\ alfa} S).}
• A bilináris alkalmazás, amely a hozzá tartozó forgatónyomatékhoz folyamatos, ha az S- re korlátozódik, rögzített kompaktumban.S∈E′,T∈D′{\ displaystyle S \ in {\ mathcal {E}} ', T \ in {\ mathcal {D}}'}S∗T∈D′{\ displaystyle S \ ast T \ in {\ mathcal {D}} '}

Példa

Bármilyen eloszlása és bármilyen vektor egy a ℝ N ,T∈D′(RNEM){\ displaystyle T \ itt: {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}

T∗δnál nél=τnál nélT.{\ displaystyle T \ ast \ delta _ {a} = \ tau _ {a} T.}

Különösen (a a = 0 ), a Dirac eloszlás van semleges a konvolúciós, így a kommutatív gyűrű van egységes . (E(RNEM),+,∗){\ displaystyle ({\ mathcal {E}} (\ mathbb {R} ^ {N}), +, \ ast)}

Vektor eloszlások

Az eloszlás, amelynek értéke a values m vektortérben definiálható, mint a megfelelő termék topológiák elemei, vagy ekvivalens módon azok elemei . A második forma ez a meghatározás lehetővé teszi, hogy kifejezze nagyon egyszerűen a származékot üzemeltetők általánosan használt területén a parciális differenciál egyenletek a gyenge készítményben és a meghatározást az egyes Sobolev terek , különösen a gradiens ( ), divergencia ( ) és a forgási ( ) mikor  ; megjegyezve, és megvan a kapcsolatunk  : (D′(Ω))m{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {D}} ^ {\ prime} (\ Omega) \ right) ^ {m}}(D(Ω)m)′{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {D}} (\ Omega) ^ {m} \ right) ^ {\ prime}}∇{\ displaystyle \ nabla}∇⋅{\ displaystyle \ nabla \ cdot}∇×{\ displaystyle \ nabla \ times}nem=m=3{\ displaystyle n = m = 3}S∈D′(Ω){\ displaystyle S \ itt: {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} (\ Omega)}T∈(D(Ω)3)′{\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} \ balra ({\ mathcal {D}} (\ Omega) ^ {3} \ jobbra) ^ {\ prime}}∀φ∈D(Ω), ∀ϕ∈(D(Ω))3{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega), \ \ forall {\ boldsymbol {\ phi}} \ in \ balra ({\ mathcal {D}} (\ Omega) \ right ) ^ {3}}

⟨∇S,ϕ⟩=-⟨S,∇.ϕ⟩{\ displaystyle \ langle \ nabla S, {\ boldsymbol {\ phi}} \ rangle = - \ langle S, \ nabla. {\ boldsymbol {\ phi}} \ rangle}

⟨∇⋅T,φ⟩=-⟨T,∇φ⟩{\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {T}}, \ varphi \ rangle = - \ langle {\ boldsymbol {T}}, \ nabla \ varphi \ rangle}

⟨∇×T,ϕ⟩=⟨T,∇×ϕ⟩{\ displaystyle \ langle \ nabla \ times {\ boldsymbol {T}}, {\ boldsymbol {\ phi}} \ rangle = \ langle {\ boldsymbol {T}}, \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ phi}} \ rangle}

Amikor ezeket az eloszlásokat függvények határozzák meg, ezeknek a levezetéseknek az eredménye általában egy szabályos eloszlásból, valamint az egyes eloszlásokból áll, amelyeken a folytonosságok kifejeződnek és amelyek legalábbis akkor, ha ezek a támaszok felületek, a gradiens nyomára, a normális a divergencia és a rotációs tangenciális nyoma. Ezek a bontások Green képleteinek általános neve alatt ismertek.

Megjegyzések és hivatkozások

1. H. Poincaré, „A kvantumelmélet”, Journal of Elméleti és Alkalmazott Fizikai , 5 -én  sorozat, vol. 2. o.  5 −34 (6. fejezet).
2. Jean-Michel Kantor  (de) , "Matematika keletről nyugatra - elmélet és gyakorlat: az eloszlások példája", p.  33-43 és Adolphe P. Yuskevitch, „Néhány megjegyzés a részleges differenciálegyenletek és általánosított függvények általánosított megoldásainak elméletéhez], p.  44-50 , Gazette des mathématiciens , n o  100, 2004.
3. (en) Philippe Blanchard és Erwin Brüning , Matematikai módszerek a fizikában: disztribúciók, Hilbert Űrüzemeltetők és variációs módszerek , Springer ,2003, 471  p. ( ISBN  978-0-8176-4228-0 , online olvasás ) , p.  20.
4. A szigorú induktív határérték az  : N. Bourbaki , elemei Matematika  : topológiai vektor terek , Springer ,DK{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {K}}2006, 368  p. ( ISBN  3-540-34497-7 , online olvasás ) , p.  III.9-III.10.
5. (in) Abdellah El Kinani és Mohamed Oudadess, Theory and Applications Distribution , World Scientific ,2010( online olvasható ) , p.  19..
6. Laurent Schwartz , eloszláselmélet , Hermann ,1966( 1 st  ed. 1950-1951), p.  55.
7. Schwartz 1966 , p.  51.
8. Schwartz 1966 , p.  53.
9. Schwartz 1966 , p.  54.
10. Schwartz 1966 , p.  63.
11. (en) Robert S. Strichartz  (de) , Útmutató a disztribúcióelmélethez és a Fourier-transzformációkhoz , World Scientific,2003, 226  p. ( ISBN  978-981-238-430-0 , online olvasás ) , p.  85.
12. Schwartz 1966 , p.  82.
13. Schwartz 1966 , p.  239.
14. Schwartz 1966 , p.  91.
15. Strichartz 2003 , p.  84.
16. Schwartz 1966 , p.  92.
17. Schwartz 1966 , p.  99.
18. Schwartz 1966 , p.  93.
19. Schwartz 1966 , p.  100.
20. Schwartz 1966 , p.  96.
21. Schwartz 1966 , p.  166 (lásd még o.  75. ).
22. Schwartz 1966 , p.  157-158.

Laurent Schwartz , Matematikai módszerek a fizikai tudományokhoz , Hermann ,1965

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Schwartz-tér (általános)
• Hiperfunkció
• Cauchy fő értéke

Külső hivatkozás

[PDF] (en) Előadási jegyzetek a valós elemzésről ( Master 1 bevezetés az elosztásokhoz), Nicolas Lerner, Párizs professzora 6 .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">