A matematikában az átlag egy számítási eszköz, amely a numerikus értékek listáját egyetlen valós számba foglalja össze , függetlenül a lista megadásának sorrendjétől. Alapértelmezés szerint ez a számtani átlag , amelyet a listában szereplő kifejezések összegének és a kifejezések számának elosztásával számolunk. A kontextustól függően más átlagok lehetnek megfelelőbbek.
Az átlag a számok sorozatának egyik első statisztikai mutatója . Amikor ezek a számok az egyének között megosztott mennyiséget képviselik, az átlag azt az értéket fejezi ki, amely mindegyiknek lenne, ha a megosztás igazságos lenne.
Az az elképzelés átlagos kiterjed funkciók az átlagérték , a klasszikus geometria a barycenter és valószínűségszámítás az elvárás egy véletlen változó .
Az átlag fogalma történelmileg kapcsolódik a köztes értékhez, más néven mediációnak . Mivel a két szám a és b , hogyan kell választani egy értéket c úgyhogy a célja, hogy c , hogy c az, hogy b ? A válasz az egyes számok közötti váltáshoz választott művelettől függ.
Például a 2-ről 18-ra lépéshez hozzáadhatunk kétszer 8-at, 10-es lépéssel, vagy kétszer szorozzuk 3-mal, 6-os lépéssel. Az első eset egy számtani átlagot ír le , amelyet a frakcióval kapunk . A második eset egy geometriai átlag , amelyet a négyzetgyökkel kapunk .
A szokásos figyelemre méltó azonosságok lehetővé teszik annak gyors megmutatását, hogy két pozitív szám geometriai átlaga mindig kisebb, mint számtani átlaguk.
Két szám aritmetikai-geometriai egyenlőtlenségének igazolásaHa a és b két valós, így a < b , Legendre azonosságának
következtetünk
és a négyzetgyök függvény alkalmazásával zárunk le (amely szigorúan növekszik).
Ezen átlagok meghatározásának másik módja a kiválasztott számok felhalmozása, majd annak kiderítése, hogyan érhetjük el ugyanazt az eredményt ugyanazon érték többszörös felhalmozásával. Minden a kumulációs eljárástól függ. Összeadással 2 + 18 = 20-ot találunk, amelyet a 10 + 10 = 20 beállításával kaphattunk meg. Szorzással 2 × 18 = 36-ot találunk, amelyet 6 × 6 = 36-mal kaphattunk volna meg.
Két a és b szám kumulációjának egyéb eljárásai lehetővé teszik a harmonikus átlag és a másodfokú átlag meghatározását .
Ez a megközelítés lehetővé teszi a kettőnél több számot tartalmazó listák eszközének meghatározását.
Az átlagos is konkretizálódik az egyensúlyi állapot egy véges halmaza a pont tömegek mentén helyezkedik el a számot sorban , mint egy mobil .
Ez a megközelítés lehetővé teszi a súlyozott átlag fogalmának természetes bevezetését . Például azt szeretné, ha a középérték háromszor lenne közelebb az első értékhez, mint a másodikhoz. 7 és 19 között a 10-es szám valóban háromszor közelebb áll a 7-hez (3 különbséggel), mint a 19-hez (9 különbséggel). Ezután azt mondjuk, hogy 10 a 7 és 19 számok súlyozott átlaga a 3 és 1 együtthatókkal. Ezt a súlyozott összeg kiszámításával kapjuk meg, amelyet elosztunk az együtthatók összegével .
Bármely valós számok listájára ( x 1 , ..., x n ) meghatározzuk aritmetikai átlagát a képlettel , amely nem függ a kifejezések sorrendjétől, és mindig a minimális és maximális értéke között van. lista.
Ez az átlag lineáris , azaz a lista értékeinek állandójával való összeadás vagy szorzás átlagosan ugyanazt a műveletet eredményezi.
Egy olyan lista átlagának kiszámításához, amelyben sok érték megismétlődik, felírhatjuk ( x 1 , ..., x k ) az értékek listáját (ismétlés nélkül) és ( n 1 , ..., n k ) a tényleges lista (ahányszor az egyes értékek megjelennek a kezdeti listában). Ezután megírják az átlagot .
Megtaláljuk a súlyozott átlag fogalmát , amelyben az n i tényezők nem feltétlenül jelentenek számokat, hanem súlyoknak nevezett együtthatókat , például egy jelentéskártya azon jegyeinek átlagának kiszámításához , amelyekben bizonyos tudományágaknak vagy bizonyos tudományágaknak nagyobb jelentőséget szeretnénk tulajdonítani. hozzárendeléseket, nagyobb együtthatót rendelve hozzájuk, mint a többiek.
A számtani átlag szintén kumulatív, vagyis ha a listát több allistára osztják, akkor a globális lista átlaga az allisták átlagának súlyozott átlaga, az egyes allisták együtthatóival együtthatóként. Felsorolja a számot érintett kifejezések.
Adott egy pozitív valós (vagy akár a harmonikus középértékre nézve szigorúan pozitív ) lista ( x 1 , ..., x n ) , esetleg egy listával ( w 1 , ..., w n ) a társított súlyokkal, pozitív és nem mind nulla, a következő szokásos átlagokat határozzuk meg.
Vezetéknév | Bruttó átlag | Súlyozott átlag |
---|---|---|
számtani átlag | ||
harmonikus középérték | ||
geometriai középérték | ||
négyzetes közép |
Ezek az átlagok a számtani átlag bizonyos tulajdonságait veszik fel:
Ezenkívül ezeket az eszközöket mindig a következő egyenlőtlenségek rendezik, amelyek meghosszabbítják a számtani-geometriai egyenlőtlenségeket :
Mindezek az átlagok ebben a formában kifejezések formájában vagy korlátokként vannak megkapva, és az általánosított átlag meghatározásába tartoznak . Pontosabban:
Az energiaátlagot a következőképpen definiálhatjuk :
Ez az decibelben megadott értékek átlaga , amelyet például az akusztikában használnak .
Ez az átlag nem homogén, de kumulatív marad, a maximum és a minimum keretbe foglalva. Ez része a család a kvázi-számtani átlagok vannak írva a formájában , ahol f jelentése folytonos valós függvény , és szigorúan növekvő több mint egy intervallumot a következő értékeket tartalmazza a lista, és az f -1 van a kölcsönös funkcióját . Különösen homogén átlagokat találunk a teljesítményfüggvényekkel vagy a logaritmusfüggvényekkel . Az energiaátlagot a függvénnyel kapjuk meg .
Tól két szám a és b , a számtani átlaga, és a geometriai átlag biztosító két új szám, és mi is iterálni előállítására szolgáló eljárás két szomszédos szekvenciák , amelyek konvergálnak felé egy közbenső valós (néha jegyezni M ( a , b ) ) nevű számtani-mértani középérték és amely összefügg az ellipszis hosszával .
Ez a meghatározás azonban nem kumulatív, ezért nem terjed ki kettőnél több értékre.
Adott egy lista ( a 1 , ..., a n ) a valós számok, és egy lista ( x 1 , ..., x n ) a szigorúan pozitív valós számok, a egy -mean az X egyenlő a számtani átlaga egytagú az űrlap x 1 egy σ (1) × ⋯ × X n jelentése σ ( n ) , ha σ leírja az permutációinak ⟦1, N ⟧ .
Ez az átlag akkor homogén, ha az a i kitevők összege egyenlő 1-vel, és ebben az esetben Muirhead-átlagnak nevezzük .
Az n = 2 speciális esetben ezt az átlagot Heinz-átlagnak nevezzük .
Az átlagot sokat használják az iskolai értékelésnél . Sok iskolai rendszerben a tanulói értékelés egy része például numerikus pontszámot eredményez
Ezután kiszámíthatjuk egy tantárgy osztályjegyeinek átlagát, vagy egy tantárgy tanulóinak átlagát. Ezeknek az átlagoknak különböző jelentése van:
Ezekben a példákban az átlag az értékek simítása . Természetesen megkérdezhetjük, hogy az átlag releváns kiválasztási kritérium-e (lásd Összefoglaló értékelés ); általában nem ez az egyetlen szempont, amelyet figyelembe vesznek, kivéve bizonyos vizsgákat és versenyeket.
Az átlag az az egyedi érték, amelynek a populációban (vagy mintában ) minden egyénnek rendelkeznie kell ahhoz, hogy az összértékük változatlan maradjon. Ez a helyzet kritériuma .
A legtöbb esetben a teljes alakult ki az egyént a lakosság az összeg az értékeket . Az átlag ekkor a számtani átlag . De ha a teljes képviselő populáció vagy a minta nem összegével értékek, a vonatkozó átlag már nem lesz a számtani átlaga.
Ha például az egyének halmazának összértéke az értékeik szorzata, akkor geometriai átlagukat kell kiszámítani .
Az átlag tehát csak kvantitatív változó esetén képzelhető el . Nem adhatja össze egy kategorikus változó értékeit . Ha a változó rendes , akkor a mediánt részesítjük előnyben .
A sík vagy az affin tér véges pont-halmazának (esetleg pozitív vagy negatív súlyokkal ellátott ) baricentrumát vektorkapcsolat határozza meg, és lényegében megfelel a tömegközéppont fizikai fogalmának .
Ennek a barycenternek a referencia-keretben a derékszögű koordinátáit a különböző pontok koordinátáinak súlyozott számtani átlaga adja meg.
A Cesàro lemma biztosítja, hogy bármely következő u konvergálás esetén a részleges átlagok követése is ugyanahhoz a határhoz konvergáljon.
Ez az eredmény lehetővé teszi a határ fogalmának kiterjesztését divergens szekvenciákra, de amelyeknél a parciális szekvenciák konvergálnak, például például ((−1) n ) n ⩾0 szekvencia , amelynek parciális átlaga 0 felé hajlik, vagy részleges átlagok sorozata - társított sorozatok , az úgynevezett Grandi sorozatok , amelyeknek ezután az 1/2 határt tulajdonítjuk .
Ezt a módszert alkalmazzák például a Fejér összeg meghatározásában .
A empirikus várható egy mintát a valódi véletlen változók ( X 1 , ..., X n ) egyszerűen a számtani átlaga ezeket a változókat, jegyezni vagy . Ez egy olyan változó, amelynek várakozásai megegyeznek az X i változókkal, de szórása elosztva n-vel (létfeltétel mellett). Különösen a várakozás (statisztikai) becsléseként használják.
A különböző fizikai mennyiségek megőrzési szabályai különböző eszközök használatához vezetnek.
Így az átlagos villamos teljesítmény a kondenzátorok a sorozat a harmonikus átlag képességeik, mint a közepes ellenállás (villamos) A ohmos vezetők a párhuzamos .
Mivel kinetikus energia lineárisan függ a téren a sebesség , az átlagos sebessége egy sor termikusan keverjük részecskék a négyzetes középértéke az egyes sebességek.
A jelentés korábbi definícióin túl vannak még ennél is szélesebb körű megközelítések ehhez a fogalomhoz:
A csúszó átlag egy statisztikai fogalom, ahol az átlagot n fix értékre számítva n egymást követő „csúszó” értékre számítják .
Ezt a típusú számítást az adatfeldolgozás során is használják, hogy minimalizálják a köztes értékek tárolásához szükséges memória méretét. Különböző képletek vannak a csúszó átlagokhoz, például az n periódus csúszó átlagához :
(a 0. periódus csúszó átlaga csak egy kifejezést vesz igénybe) ( megismétlődési képlet )A csonka átlag egy számtani átlagszámítás, amelyet az adatok legkülső értékeinek figyelmen kívül hagyása után alkalmazunk. A csonkítás, egy olyan művelet ötlete, amelynek eredményét az adatkészlet csonkolásának nevezik, nem veszi figyelembe a legtávolabbi értékeket, amelyeket aztán kiugrónak tekintenek, és így az úgynevezett átlagos csonka esetén , csak az adatok "központi" részhalmazán, a csonkoláson kell kiszámítani. Vegye figyelembe, hogy ez az eljárás általánosítható más központi becslőkre is.
A csonka statisztikákat, az angol trimmed becslőket (in) találták ki a kiugró értékekkel szembeni statisztikai érzékenység leküzdésére, az úgynevezett statisztikai robusztusságnak . Előnyük a mediánnal és a számtani átlaggal szemben az, hogy a medián robusztusságát kombinálják a számtani átlag "kollektív" meghatározásával, a számítási képlet szorosan hasonlít e számtani átlaghoz, pszichológiai előnyt biztosítva azzal a mediánnal szemben, amelynek fő értéke A hibát (!) nem egyszerűen számtani képlettel kell írni.
Történelmileg ez a technika a XX . Század első felében élte fénykorát, mint "korrekciós" módszer, és különösen az első számítógépek megjelenésével a robusztusság fogalmának jobb megértését célzó legújabb munkához ( Peter Rousseeuw (en) ).
A súlyozott átlagot a geometriában a sokszög baricentrumának felkutatására , a fizikában a súlypont meghatározására vagy a statisztikában és a várakozás kiszámításához használt valószínűségre használják. A következőképpen számoljuk ki:
Általános esetben a w i súly az x i elem hatását jelenti a többiekhez képest.
Vegye figyelembe, hogy ez a számtani súlyozott átlag. Vannak más átlagok súlyozott változatai is, például a súlyozott geometriai átlag és a súlyozott harmonikus átlag .
Bármely folytonos függvény f egy szegmens [ a , b ], amely nem degenerált ( azaz b > a ) vagy még általánosabban integrálható a ] egy , b [ , a középérték az F a [ a , b ] az igazi által meghatározott :
.Az egyenlőtlenség az átlagos lehetővé teszi, hogy a keret ezt az átlagos értéket határait a funkciót. Ha a függvény folytonos, az átlagos tétel akkor is biztosítja, hogy létezik egy valódi c ] egy , b [ úgy, hogy m = f ( c ) .
Ez a fogalom általánosítja a véges számú valós átlagának átlagát azzal, hogy végtelen számú értékre alkalmazza egy integrálható függvény által. Például a periodikus függvény Fourier-sorozatának lebontásában használják: ez az állandó komponens. A jelfeldolgozásban periodikus jeleknél ez a DC komponens ( eltolás ).
A véges számú valós szám súlyozott átlagának analógiájához szigorúan pozitív együtthatót is rendelhetünk „a függvény által vett egyes értékekhez”. Ezután használja hívjuk súly függvény
( w a súly kezdőbetűje , angolul "weight"):
.Ez a folyamat nyitott vagy félig nyitott, de korlátozott intervallumokban is alkalmazható ( azaz egyik határa sem végtelen), ahol a ƒ × w függvény integrálható. Idézhetjük a klasszikus példát, amely a csebisev-polinomok családjának ortogonalitását mutatja :
ahol a T n × T p függvény folytonos a zárt [0,1] felett, és ahol a súlyfüggvény
integrálható [0,1 [felett, és amelynek integrálja .
Megjegyzés: Ha a függvény periodikus a T periódussal , akkor ugyanaz az átlagos értéke bármely periódusban [ a , a + T ]. Ezt a közös értéket hívjuk a függvény átlagértékének. A koszinusz-függvénynek tehát nulla, négyzetének értéke pedig 1/2.