Általánosított átlag

A matematikában az általánosított átlagok egy olyan függvénycsalád , amely egy számhalmaz jellemzésére szolgál, közöttük számolva az átlagos számtani , geometriai és harmonikus eseteket . Hölder Otto szerint beszélhetünk átlagos teljesítményről , p- sorrend átlagáról vagy Hölder átlagáról is .

Definíciók

Rendelési átlag p

Legyen p nem nulla valós szám. Az x 1 , ..., x n pozitív valósok p sorrendjének átlagát a következőként definiáljuk :

Mo(x1,...,xnem)=(1nem∑én=1nemxéno)1o{\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = \ balra ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

Ha p = 0, akkor azt geometriai átlagnak vesszük fel (amely megfelel a 0-hoz közeledő sorrendátlagok határértékének):

M0(x1,...,xnem)=∏én=1nemxénnem{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}.

A pozitív és a negatív végtelen kitevő a maximálisnak és a minimumnak felel meg, a klasszikus és a súlyozott esetekben (ami megfelel a végtelenhez közelítő sorrendátlagok határesetének is):

M∞(x1,...,xnem)=max(x1,...,xnem)M-∞(x1,...,xnem)=min(x1,...,xnem){\ displaystyle {\ begin {aligned} M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ max (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \\ M_ {- \ infty} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) & = \ perc (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) \ vég {igazítva}}}

Súlyozott változatok

Azt is meghatározza a súlyozott átlagai érdekében p egy sorozat A pozitív súlyok w i ellenőrzése a ∑wén=1{\ displaystyle \ sum w_ {i} = 1}

Mo(x1,...,xnem)=(∑én=1nemwénxéno)1oM0(x1,...,xnem)=∏én=1nemxénwén{\ displaystyle {\ begin {aligned} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ { i} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) és = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ end {igazítva}}}

A klasszikus eset a súlyok egyenlő eloszlásának felel meg: w i = 1 / n .

Alapvető tulajdonságok és megjegyzések

• Figyeljük meg a hasonlóságot a szabványok rend p .
• Mint a legtöbb eszközzel, a hatványközép egy homogén függvény az x 1 , ..., x n . Tehát, ha b pozitív valós, akkor a bx 1 , ..., bx n számok p sorrendjének általánosított átlaga megegyezik b-vel, szorozva x 1 , ..., x n általánosított átlagával .
• A kvázi aritmetikai átlaghoz hasonlóan az átlag kiszámítása azonos méretű részblokkokra bontható.

Mo(x1,...,xnem⋅k)=Mo(Mo(x1,...,xk),Mo(xk+1,...,x2⋅k),...,Mo(x(nem-1)⋅k+1,...,xnem⋅k)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n \ cdot k}) = M_ {p} (M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {k}), M_ {p} (x_ {k + 1}, \ pontok, x_ {2 \ cdot k}), \ pontok, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ pontok, x_ {n \ cdot k}))}.

Különleges esetek

M-∞(x1,...,xnem)=limo→-∞Mo(x1,...,xnem)=min{x1,...,xnem}{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ perc \ {x_ {1}, \ pontok, x_ {n} \}}	minimális
M-1(x1,...,xnem)=nem1x1+⋯+1xnem{\ displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + \ pont + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}	harmonikus középérték
M0(x1,...,xnem)=limo→0Mo(x1,...,xnem)=x1⋅⋯⋅xnemnem{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot \ dots \ cdot x_ {n}}}}	geometriai átlag
M1(x1,...,xnem)=x1+⋯+xnemnem{\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = {\ frac {x_ {1} + \ pontok + x_ {n}} {n}}}	számtani átlag
M2(x1,...,xnem)=x12+⋯+xnem2nem{\ displaystyle M_ {2} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}} {nem}}}}	négyzetes közép
M+∞(x1,...,xnem)=limo→∞Mo(x1,...,xnem)=max{x1,...,xnem}{\ displaystyle M _ {+ \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ { n}) = \ max \ {x_ {1}, \ pontok, x_ {n} \}}	maximális

Ennek igazolása (geometriai átlag)limo→0Mo=M0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} = M_ {0}}

Átírjuk az M p definícióját az exponenciális függvénnyel

Mo(x1,...,xnem)=exp⁡(ln⁡[(∑én=1nemwénxéno)1/o])=exp⁡(1oln⁡(∑én=1nemwénxéno)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left ({\ frac {1} {p}} \ ln \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ right)}}

Mert p → 0, mi vonatkozik L'Hospital-szabály  :

limo→01oln⁡(∑én=1nemwénxéno)=limo→0∑én=1nemwénxénoln⁡xén∑én=1nemwénxéno=∑én=1nemwénln⁡xén=ln⁡(∏én=1nemxénwén){\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {1} {p}} \ ln \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p } \ right) = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}} } {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ { i}} = \ ln {\ balra (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ jobbra)}}

Az exponenciális függvény folytonosságával megkapjuk

limo→0Mo(x1,...,xnem)=exp⁡(ln⁡(∏én=1nemxénwén))=∏én=1nemxénwén=M0(x1,...,xnem).{\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)} \ right)} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}).} Bizonyíték arra, hogy éslimo→∞Mo=M∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}limo→-∞Mo=M-∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} = M _ {- \ infty}}

Feltételezzük, hogy még ha a feltételek átrendezését is jelenti, akkor x 1 ≥ ... ≥ x n . Így

limo→∞Mo(x1,...,xnem)=limo→∞(∑én=1nemwénxéno)1/o=x1limo→∞(∑én=1nemwén(xénx1)o)1/o=x1=M∞(x1,...,xnem).{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ jobbra) ^ {1 / p} = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ balra (\ sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} \ balra ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ jobbra) ^ {p} \ jobbra) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}).}

Az M -∞ esetében elegendő ezt észrevenniM-∞(x1,...,xnem)=1M∞(1/x1,...,1/xnem).{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1 / x_ {1}, \ pöttyök, 1 / x_ {nem})}}.}

Az általánosított eszközök egyenlőtlensége

Államok

Általában megvan

ha p < q , akkorMo(x1,...,xnem)≤Mq(x1,...,xnem){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n})}

és akkor van egyenlőség, ha x 1 = x 2 = ... = x n .

Az egyenlőtlenség igaz p és q valós értékeire , valamint pozitív és negatív végtelenekre.

Arra következtetünk, hogy valódi p esetén

∂∂oMo(x1,...,xnem)≥0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges p}} M_ {p} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) \ geq 0}

amely Jensen egyenlőtlenségének felhasználásával mutatható ki .

Különösen az {−1, 0, 1} p értéke esetén az általánosított eszközök egyenlőtlensége egyenlőtlenséget jelent a pitagorai eszközökön  (en), valamint a számtani-geometriai egyenlőtlenségeken .

Bizonyíték

Itt fogunk dolgozni az általánosított súlyozott eszközökön, és feltételezzük:

wén∈[0;1]∑én=1nemwén=1{\ displaystyle {\ begin {aligned} w_ {i} \ in [0; 1] \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 \ end {aligned}}}

Az általánosított átlag igazolását w i = 1 / n felvételével kapjuk meg .

Az ellentétes jelek eszközei közötti egyenlőtlenségek egyenértékűsége

Tegyük fel, hogy igaz az egyenlőtlenség a p és q sorrend általánosított eszközei között :

∑én=1nemwénxénoo≥∑én=1nemwénxénqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ összeg _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Tehát különösen:

∑én=1nemwénxénoo≥∑én=1nemwénxénqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {p}}}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {q}}}}}}

A számok inverzét vesszük, amely megváltoztatja az egyenlőtlenség irányát, mert az x i pozitív:

∑én=1nemwénxén-o-o=1∑én=1nemwén1xénoo≤1∑én=1nemwén1xénqq=∑én=1nemwénxén-q-q{\ displaystyle {\ sqrt [{- p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- p}}} = {\ sqrt [{p}] { \ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {p}}}}}}} \ leq {\ sqrt [{q }] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {q}}}}}} = {\ sqrt [ {-q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}}}

amely megadja az eredményt a rendezettség általánosított eszközeire - p és - q . Megtehetjük a reciprok számítást, bemutatva ezzel az egyenlőtlenségek ekvivalenciáját, ami később hasznos lesz.

Geometriai átlag

Minden q > 0 esetén megvan

∑én=1nemwénxén-q-q≤∏én=1nemxénwén≤∑én=1nemwénxénqq{\ displaystyle {\ sqrt [{- q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}} Demonstráció

A Jensen egyenlőtlenség alkalmazni a logaritmus függvény, ami homorú:

napló⁡(∏én=1nemxénwén)=∑én=1nemwénnapló⁡(xén)≤napló⁡(∑én=1nemwénxén){\ displaystyle \ log \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } \ log (x_ {i}) \ leq \ log \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} \ right)}

Az exponenciális irányba jutva eljutunk

∏én=1nemxénwén≤∑én=1nemwénxén{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}}

és az x i q- hatványainak felvételével megkapjuk az egyenlőtlenség kívánt eredményét a pozitív q-val . A negatív esetet hasonló módon kezelik.

Két súlyozott átlag közötti egyenlőtlenség

Még bizonyítani kell, hogy ha p < q , akkor:

∑én=1nemwénxénoo≤∑én=1nemwénxénqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ összeg _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Ha p negatív és q pozitív, használhatjuk az előző eredményt:

∑én=1nemwénxénoo≤∏én=1nemxénwén≤∑én=1nemwénxénqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ { n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}} }

Most tegyük fel, hogy p és q pozitív. Meghatározzuk az f  : R + → R + függvényt . f egy teljesítményfüggvény, kétszer differenciálható: f(x)=xqo{\ displaystyle f (x) = x ^ {\ frac {q} {p}}}

f″(x)=(qo)(qo-1)xqo-2{\ displaystyle f '' (x) = \ balra ({\ frac {q} {p}} \ jobbra) \ balra ({\ frac {q} {p}} - 1 \ jobbra) x ^ {{\ frac {q} {p}} - 2}}

ami pozitív az f definíciós területén , mert q > p , így f konvex.

By Jensen-egyenlőtlenség , van:

f(∑én=1nemwénxéno)≤∑én=1nemwénf(xéno){\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i} f (x_ {i} ^ {p})}

az:

∑én=1nemwénxénooq≤∑én=1nemwénxénq{\ displaystyle {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}

amelyet egyszer az 1 / q teljesítményre emelve (növekvő függvény, mert az 1 / q pozitív), megkapjuk a kívánt eredményt.

A negatív p és q esete ebből az eredményből származik, helyettesítve őket - q és - p-vel .

Kvázi számtani átlag

Az általánosított átlag a kvázi aritmetikai középértékek speciális eseteként tekinthető  :

Mf(x1,...,xnem)=f-1(1nem⋅∑én=1nemf(xén)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ balra ({{\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f (x_ {i})}} \ jobbra}}

Például a geometriai átlagot úgy kapjuk meg, hogy f ( x ) = log ( x ) , a p rendű átlagot pedig f ( x ) = x p-vel .

Alkalmazások

A jelfeldolgozásban

Az általánosított átlag nemlineáris mozgó átlagként szolgál, amely kiemeli a p kicsi kis értékeit, és a p nagy nagy értékeket felerősíti .

Lásd is

• Számtani átlag
• Számtani-geometriai átlag
• Geometriai átlag
• Harmonikus átlag
• Gém átlaga  (in)
• Számtani-geometriai egyenlőtlenség
• Lehmer jelentése  (in) , egy másik jelentés, amely magában foglalja a hatalmakat
• Négyzetes közép
• Maximálisan rendszeresítve
• Kvázi számtani átlag

Külső linkek

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  hatványközép  ” ( lásd a szerzők listáját ) .
• (en) Eric W. Weisstein , „A  hatalom jelentése  ” , a MathWorld- on
• Példák az általánosított átlagra
• A bizonyíték a hatványközép a PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">