Ellipszis (matematika)

A geometria , egy ellipszis egy zárt síkgörbe kapott metszéspontja egy kúp a forradalom egy síkban, feltéve, hogy az utóbbi metszi a forgástengelye a kúp vagy henger: ez egy kúpos excentricitás szigorúan 0 és 1 közötti. Ugyancsak meghatározható azoknak a pontoknak a helye, amelyekben a két rögzített ponthoz, fókusznak nevezett távolság összege állandó (a kertész módszerével történő felépítése nagyon egyszerű).

A mindennapi életben, az ellipszis alakja van, hogy érezzük által nézett körbe a szempontból , vagy a szám által alkotott az árnyék egy lemezt egy sík felületre .

Azt is láthatjuk, mint első közelítésben ellipszis a pályákat az égitestek ( bolygók , üstökösök vagy mesterséges holdak ) a pályára körül csillag vagy egy másik bolygón . A Föld megközelítőleg egy ellipszist halad át, amelynek középpontjában a Nap áll.

Az ellipszis különböző definíciói bizonyos szélsőséges esetekben egy pont, egy szegmens vagy egy kör felépítéséhez vezethetnek , amelyeket degenerált ellipszisnek tekintenek anélkül, hogy minden geometriai tulajdonságot megadnának.

Geometriai meghatározások

Kúp metszete

Az ellipszis egy síkgörbe , amely a kúpok családjába tartozik . Úgy kapjuk meg a kereszteződés egy síkban a kúp a forradalom (nem degenerált vonal vagy sík), amikor ez a sík keresztezi egészen a kúp.

A kör ekkor az ellipszis speciális esete (amikor a metszetsík merőleges a kúp tengelyére, de nem halad át annak csúcsán).

Igazgató és otthon

A keret a 2. dimenzió affinális euklideszi tere. Legyen ( d ) egyenes , F egy pont, amely nem tartozik a ( d ) ponthoz , e a real in ] 0,1 [ . Legyen P a ( d ) által meghatározott affin sík, és F-t jobboldali ellipszis- rendezőnek ( d ) nevezzük , az F fókusz és az e excentricitás P sík összes M pontjának úgy, hogy:

d⁡(M,F)d⁡(M,(d))=e{\ displaystyle {\ frac {\ operátornév {d} (\ mathrm {M}, \ mathrm {F})} {\ operátornév {d} (\ mathrm {M}, (d))}} = e}

ahol d (M, F) intézkedések a távolságot a M pont F pontjához és d (M, ( d )) = d (M, H) , hogy az M, hogy a vonal ( d ).

A két távolság arányosságának állandó e- je, amelyet az ellipszis excentrikájának nevezünk , dimenzió nélküli; jellemző az ellipszis alakjára, függetlenül izometriájától (transzlációjától és / vagy forgásától) vagy homotéziájától (nem nulla arányú) az affin síkban, és ennélfogva az orthonormális koordinátarendszer tetszőleges megválasztását ehhez a síkhoz; meghatározza az ellipszison mért összes többi távolságarányt (és az összes szögkülönbséget).

Jelöljük K-vel F ( d ) -re merőleges vetületét . A vonal (KF) ekkor egyértelműen a fókusztengelynek nevezett ellipszis szimmetriatengelye . Az ellipszis fókusztengelyével való metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. Az a szegmens merőleges felezője, amelynek a vége ez a két csúcs, az ellipszis szimmetriatengelye is, amelyet az ellipszis melléktengelyének nevezünk .

Egy ilyen ellipszisnek tehát két irányvonala van, amelyek az ellipszis kistengelyéhez képest szimmetrikusak egymással, és két kapcsolódó góc szintén szimmetrikus a kistengelyhez képest.

Az ellipszist teljesen meghatározza a fókuszok helyzete és az excentricitása, vagy akár az irányító vonalak helyzete (egymással párhuzamosan) és az excentricitása is.

Az euklideszi geometriában az ellipszis ezen meghatározása kizárja a kört, a vonalszakaszt és a pontot.

Az ellipszis bifokális meghatározása

Legyen F és F 'két különböző pont a síkon. F és F 'fókusz ellipszisének nevezzük, a sík M pontjának halmazát, amely kielégíti a következő tulajdonságot:

d⁡(M,F)+d⁡(M,F′)=2nál nél=2vs.2+b2,nál nél∈R+∗,b∈R+∗{\ displaystyle \ operátornév {d} (\ mathrm {M}, \ mathrm {F}) + \ operátornév {d} (\ mathrm {M}, \ mathrm {F} ') = 2a = 2 {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}, \ quad a \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ quad b \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} }

ahol 2 a hossza a nagytengely, 2 c = d (F, F „) , és 2 b jelentése a hossza a kisebb tengely (merőleges a fő tengellyel). Ez a kapcsolat azt fejezi ki, hogy az M ponttól a gócokig terjedő távolságok összege állandó és egyenlő a fő tengely hosszával.

Az ellipszis ezen meghatározása lehetővé teszi az a sugarú kör megrajzolását a két góc összevonásakor, de fókusztengelyről vagy melléktengelyről már nem beszélhetünk. Azt is lehetővé teszi, hogy dolgozzon egy vonalszakaszt, amikor 2 egy = 2 c .

A Dandelin-tétel geometrikusan elhelyezhető az ellipszis két fókusza, amelyet egy kör alakú kúp síkkal történő metszetével kapunk, két, a kúpba beírt és a metszősíkot érintő gömböt használva. Hasonló okfejtés lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy a henger vagy a hiperboloid lapnak a tengelyét metsző sík szakasza szintén ellipszis, amelynek gócai a forradalom felületébe beírt és a gömbök érintési pontjai. a terv.

Egy kör képe affinitás alapján

Legyen (C 1 ) O központú és b sugárú kör , (C 2 ) O középpontú és a ( b < a ) sugarú kör , amelyet fõkörnek nevezünk , és ( xx ') egy O-n áthaladó egyenes. az O középponttal, az a-féltengellyel és a b - féltengellyel ellátott ellipszist a kör (C 2 ) képének a tengely ( xx '), az ( xx ') merőleges irányának és a jelentésnek az affinitása alapján kérib/nál nél.

Az ellipszis M pontjának , a nagy kör M 2 pontjának képének felépítéséhez felépítjük az [OM 2 ] -en elhelyezkedő kör (C 1 ) M 1 pontját . M 2-vel merőlegest vezetünk ( xx ') -re, M 1-vel pedig párhuzamosan ( xx '). A vonalak M.-n keresztezik egymást. Valóban, ha m az M 2 merőleges vetülete ( xx '), akkor Thales-tétel szerint:

mMmM2=OM1OM2=bnál nél{\ displaystyle {\ frac {m \ mathrm {M}} {m \ mathrm {M} _ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {OM} _ {1}} {\ mathrm {OM} _ { 2}}} = {\ frac {b} {a}}}

Az ellipszis ilyen meghatározása lehetővé teszi egy kör megrajzolását, amikor az affinitás arány 1, vagy egy szegmenst, amikor az affinitás arány 0.

Ha A az érintési pont az ellipszis és a nagy kör között, akkor a szöget excentrikus anomáliának nevezzük, és egyszerű paraméterként használható az ellipszis paraméterezett egyenletében . NÁL NÉLOM^1=NÁL NÉLOM^2{\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {AOM}}} _ {1} = {\ widehat {\ mathrm {AOM}}} _ {2}}

Építés rendező kör által

Legyen F és F 'két különböző pontban, (C) a kör közepén F' és 2-es sugár a (2 a > FF).

Hívunk egy ellipszist, amelynek irányítóköre (C) és F-fókusza van. A körök középpontjának halmaza belül érintkezik (C) és átmegy F-n.

Az ellipszis M pontjának felépítéséhez, a (C) -t érintő kör középpontját m- ben megrajzoljuk az [F m ] szakasz merőleges felezőjét: ez a merőleges felező M-ben találkozik az [F ' m ] sugárral ( az érintő kör közepe); ez a merőleges felező egyben az ellipszis M érintője is. Az ellipszist hajtogatással is megkaphatjuk: egy papírlapra felhívjuk az irányító kört és az F fókuszt, és összehajtjuk a papírlapot úgy, hogy a kör egy pontja egymásra kerüljön az F fókusszal, a kapott hajtások halmazával. felhívja az érintők sugarát az ellipszisre.

A kapott ábra szimmetrikus az [FF '] szakaszhoz képest. Az ellipszis tehát van egy másik irányító kör közepén az F és 2-es sugár a .

Ha a két pont F és F „azonos, ez a meghatározás lehetővé teszi, hogy dolgozzon egy kör közepén F és a sugár egy . Amikor az irányító kör sugara pontosan megegyezik az FF 'távolsággal, a konstrukció az [FF'] szakasz rajzához vezet: amikor az m pont F-nél van, a belső érintő körök (C) középpontjai leírják szegmens [FF '], ha m különbözik F-től, az egyetlen (C) érintő és az F-en áthaladó kör maga a kör (C), középpontja pedig F'.

Azt is észre, hogy a fókusz F előrejelzések merőlegesen a tangens M egy ponton m „tartozó főbb kör az ellipszis (az O középpontú kör sugara és a ). Pontosabban a készlet előrejelzések F érintők az ellipszis felhívja a fő kör az ellipszis, ami a legfontosabb kör a lábát az ellipszis tekintetében a hangsúly, és az ellipszis l „anti-podaire fő kör a kandallóhoz viszonyítva.

Hypotrochoid

Ha úgy gördülünk, hogy nem csúsztatunk egy R sugarú O 'középpontú kört az O középpontú és a 2R sugarú kör belsejébe, akkor a lokusz áthalad egy O' középponttól d távolságra elhelyezkedő, a kis körrel integrált M ponttal ellipszis. Középpontja O, féltengelyei R + d és | R - d | Az ellipszis tehát a hipotrochoid speciális esete.

Geometriai tulajdonságok

A szimmetria elemei

A „fókusztengely” (FF '), más néven „főtengely”, amely átmegy a gócokon és merőleges az iránymutatásokra, az ellipszis szimmetriatengelye; ugyanez vonatkozik a „másodlagos tengelyre”, amely merőleges a fókusztengelyre, és áthalad az „ellipszis közepén” a „gyújtószegmens” [FF '] közepén.

A fókusztengely és a szekunder tengely metszéspontja, az ellipszis közepén, szintén szimmetriaközpont.

A metszéspontja az ellipszis annak fokális tengelye nevezzük fő csúcsai , ezek az ellipszis és annak másodlagos tengelyével a másodlagos csúcsok .

Az átmérőjű szegmenst, amely az ellipszis közepén haladva egyesíti a fő csúcsokat (vagy másodlagosakat), „főtengelynek” („melléktengelynek”) nevezzük, ahogyan annak bármely hosszmérőjét is, amint rögzítette az önkényes hosszegységet.

Érintő és felező

Legyen egy ellipszis, amelynek fókusza F és F '. Ezen ellipszis M pontján vegyük figyelembe a szögszektor felezőjét (FMF '). Ezután ez a felező merőleges az M érintőjére.

Ezt a tulajdonságot, amelyet „reflexivitás tulajdonságának” is neveznek, a geometriai optikában használják az elliptikus tükrökben  : egy fénysugár, amely az egyik fókuszponton áthalad, amikor visszaverődik, áthalad a másik fókuszponton. Így, ha egy izzót egy elliptikus tükör egyik fókuszpontjába helyezünk, a fénysugár a másik fókuszpontra összpontosul. Konvergáló lencséhez társított fényszóró-reflektor építésénél is használják.

Az akusztikában találjuk meg: egy ellipszis alakú helyiségben az egyik gócba helyezett ember könnyen hallja, amit a másikba helyezett ember suttog. Valójában, ha a hang forrása az egyik fókuszponton van, ez a tulajdonság biztosítja, hogy az összes visszavert hang összpontosuljon a másik fókuszpont felé, kompenzálva a megtett távolság miatti hangenergia-veszteséget a a több visszavert gerenda ugyanazon pontja. A térbeli konvergencia ezen tulajdonsága azonban nem elegendő annak biztosításához, hogy az észlelt hang megegyezzen a forrás fókuszpontjában kibocsátott hanggal, mert ehhez a különböző utakat követő jeleknek fázisban kell érkezniük a másik fókuszpontba. Ha a közeg jellege homogén (például a környezeti levegő), akkor a hang terjedési sebessége állandó, akkor a jeleknek fázisban konvergálniuk kell, hogy a különböző utak mentén megtett távolságok azonosak legyenek. Az ellipszis egy pontjától a fókuszig terjedő távolságok összege azonban bármely ponton állandó, ami biztosítja a jelek időbeli konvergenciáját. Az ellipszis ezen két tulajdonságának kombinációja teszi lehetővé mind a másikban elhangzott szavak megértését az egyik fókuszpontban (a jeleket fázisban tartó utak azonos hosszúsága), mind pedig akkor is, ha nem csak morgolódnak (a jelek energiáját összpontosító utak konvergenciája). Ez az akusztikus tulajdonságú elliptikus boltívek legalább a XVII .  Század óta ismertek . Ebből származik a visszhangszobák, a leprások gyónása és a párizsi metróállomások hangminőségét. Ilyen galériák például a washingtoni Capital Building Rotunda és a Salt Lake City-i Mormon Tabernacle.

Ezt a tulajdonságot a testen kívüli litotripereknél az urológiában is használják  : az ellipszis egyik gócán kibocsátott lökéshullámok koncentrálódnak, miután ellipszoid reflektoron tükröződtek, a másik fókusz pedig megfontoltan a megsemmisítéskor a kalkulusra került.

Ortoptikus kör

Az M pontok halmaza, amelyek derékszögben "néznek" az ellipszisre, vagyis ahonnan az ellipszisre merőleges két érintő távozik, az ellipszissel megegyező középpontú és sugarú kört rajzol , amelyet az ellipszis. nál nél2+b2{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

A mennyiségek közötti összefüggések

Az ellipszis méretei (geometriai vagy numerikus):

• a fő sugár (vagy fél-fő tengely) hossza, általában a  ;
• a kis sugár (vagy félig kisebb tengely) hossza, általában b  ;
• az ellipszis középpontját és az egyik gócot elválasztó távolság, általában c  ;
• a távolság, amely elválasztja az F fókuszt a társított direktomattól ( d ), általában h jelöléssel  ;
• az ellipszis középpontját és két irányvonalának egyikét elválasztó távolság, amelyet általában f jelez  ;
• az ellipszis excentricitása (szigorúan 0 és 1 között), általában e  ;
• az ellipszis "paramétere", amelyet általában a p jelöl , a fél latus rectum (a direktikkel párhuzamos és a fókuszon áthaladó akkord).

Kapcsolatok vannak ezek között a mennyiségek között:

• ha az ellipszist e excentricitása, valamint az F fókusz és a direktrix ( d ) közötti f távolság határozza meg , akkor: nál nél=eh1-e2,b=eh1-e2,vs.=e2h1-e2,f=h1-e2,o=eh;{\ displaystyle a = {eh \ over 1-e ^ {2}}, \, b = {eh \ over {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}, \, c = {e ^ {2 } h \ over 1-e ^ {2}}, \, f = {h \ over 1-e ^ {2}}, \, p = eh \,;}
• ha az ellipszist a és b sugara adja meg, ahol a > b  : vs.=nál nél2-b2,h=b2nál nél2-b2,f=nál nél2nál nél2-b2,e=nál nél2-b2nál nél,o=b2nál nél;{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}, \, h = {b ^ {2} \ over {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} }}}, \, f = {a ^ {2} \ felett {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}, \, e = {{\ sqrt {a ^ {2} - b ^ {2}}} \ a} felett, \, p = {b ^ {2} \ a} felett \,;}
• ha tudjuk, hogy a nagy sugarú egy , a különcség e  : b=nál nél1-e2,vs.=nál néle,h=nál nél(1-e2)e,f=nál néle,o=nál nél(1-e2).{\ displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}, \, c = ae, \, h = {a (1-e ^ {2}) \ over e}, \, f = {a \ over e}, \, p = a (1-e ^ {2}) \,.}
• Végül, a bifokális meghatározása az ellipszis, ahol a hossza 2 egy , és a távolság 2 C közötti gócok ismertek: b=nál nél2-vs.2,e=vs.nál nél,h=nál nél2-vs.2vs.,f=nál nél2vs.,o=nál nél2-vs.2nál nél.{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}, \, e = {\ frac {c} {a}}, \, h = {a ^ {2} -c ^ {2} \ over c}, \, f = {a ^ {2} \ over c}, \, p = {a ^ {2} -c ^ {2} \ over a} \,.}

Jellegzetes egyenletek

Derékszögű egyenlet

Az ellipszis fél- és fél-melléktengelye által meghatározott koordinátarendszerben az egyenlete (ha a fókusztengely x ):

(xnál nél)2+(yb)2=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1} ;

azzal a > b > 0 . Az ellipszis közepétől az egyik góc távolsága:

vs.=nál nél2-b2{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}

és ezért az excentricitás megéri:

e=vs.nál nél=1-(bnál nél)2{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {1- \ balra ({\ frac {b} {a}} \ jobbra) ^ {2}}}}

Ha a fókusztengely y, akkor a és b megfordul.

Ha az ellipszis nem a koordinátarendszer kezdőpontjában van, de annak fő tengelye és melléktengelye párhuzamos marad a koordinátatengelyekkel, akkor a következő egyenlettel határozható meg:

(x-u)2nál nél2+(y-v)2b2=1{\ displaystyle {\ frac {(xu) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(yv) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

ahol az u és v paraméterek az ellipszis középpontjának koordinátái.

Abban az esetben, ha az ellipszis tengelyei már nem egyeznek a sík tengelyeivel, hanem the szöget zárnak be a kezdeti koordinátarendszerhez képest, a következő derékszögű egyenletet kapjuk:

[(x-u)kötözősaláta⁡θ+(y-v)bűn⁡θ]2nál nél2+[(x-u)bűn⁡θ-(y-v)kötözősaláta⁡θ]2b2=1{\ displaystyle {\ frac {[(xu) \ cos \ theta + (yv) \ sin \ theta] ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {[(xu) \ sin \ theta - (yv) \ cos \ theta] ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

Mint minden kúp , az ellipszisnek is van egy formája:

NÁL NÉLx2+Bxy+VSy2+Dx+Ey+F=0{\ displaystyle \ mathrm {A} x ^ {2} + \ mathrm {B} xy + \ mathrm {C} y ^ {2} + \ mathrm {D} x + \ mathrm {E} y + \ mathrm {F } = 0}

a B² - 4AC <0 korlátozással . Mivel B valós, azonnal arra a következtetésre jutunk, hogy A és C nem nulla, és ugyanaz a jelük van ( AC> (B / 2) ² ≥ 0 ).

Ezután megvan a kapcsolat:

• u=2VSD-BEB2-4NÁL NÉLVS{\ displaystyle u = {\ frac {2CD-BE} {B ^ {2} -4AC}}}
• v=2NÁL NÉLE-BDB2-4NÁL NÉLVS{\ displaystyle v = {\ frac {2AE-BD} {B ^ {2} -4AC}}}

A B együttható 0-val egyenlő , ha az ellipszis tengelyei párhuzamosak a koordinátákéval. Ezután:

NÁL NÉLx2+VSy2+Dx+Ey+F=0{\ displaystyle \ mathrm {A} x ^ {2} + \ mathrm {C} y ^ {2} + \ mathrm {D} x + \ mathrm {E} y + \ mathrm {F} = 0}

az arányossági együttható kivételével:

• A = 1 / a 2  ;
• C = 1 / b 2  ;
• D = –2 u / a 2  ;
• E = –2 v / b 2  ;
• F = u 2 / a 2 + v 2 / b 2 - 1 .

Ezzel szemben a forma egyenlete

NÁL NÉLx2+VSy2+Dx+Ey+F=0{\ displaystyle \ mathrm {A} x ^ {2} + \ mathrm {C} y ^ {2} + \ mathrm {D} x + \ mathrm {E} y + \ mathrm {F} = 0}

amelyben A , C és ugyanaz a jele van, az az ellipszis egyenlete, amelyre K=D24NÁL NÉL+E24VS-F{\ displaystyle \ mathrm {K} = {\ frac {\ mathrm {D} ^ {2}} {4 \ mathrm {A}}} + {\ frac {\ mathrm {E} ^ {2}} {4 \ mathrm {C}}} - \ mathrm {F}}

• nál nél=K/NÁL NÉL{\ displaystyle a = {\ sqrt {\ mathrm {K} / \ mathrm {A}}}} ;
• b=K/VS{\ displaystyle b = {\ sqrt {\ mathrm {K} / \ mathrm {C}}}} ;
• u=-D/2NÁL NÉL{\ displaystyle u = - \ mathrm {D} / {2 \ mathrm {A}}} ;
• v=-E/2VS{\ displaystyle v = - \ mathrm {E} / {2 \ mathrm {C}}}.

Mátrix forma

A derékszögű egyenletet mátrix formában fejezhetjük ki:

txNÁL NÉLx+tbx+vs.=0{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {x} \ mathbf {A} \ mathbf {x} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b} \ mathbf {x} + c = 0}

vagy

• x=(xy){\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ kezdés {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}} ; az x átültetése  ;tx{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {x}}
• NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathbf {A}}egy pozitív definit valós szimmetrikus mátrix 2 × 2  ,;NÁL NÉL=(NÁL NÉLB/2B/2VS){\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {A} & \ mathrm {B} / 2 \\\ mathrm {B} / 2 & \ mathrm {C} \ end {pmatrix}}}
• b=(DE){\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {D} \\\ mathrm {E} \ end {pmatrix}}} ; átültetése  ;tb{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b}}b{\ displaystyle \ mathbf {b}}
• c = F .

Elvégezhetjük a Q mátrix forgatását és a t mátrix fordítását a koordináták megváltoztatásával:

x=Qx¯+t{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {Q} {\ bar {\ mathbf {x}}} + \ mathbf {t}}

az egyenlet:

tx¯(tQNÁL NÉLQ)tx¯+(2ttNÁL NÉL+tb)Qx¯+ttNÁL NÉLt+tbt+vs.=0{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} {\ bar {\ mathbf {x}}} (^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {Q} \ mathbf {A} \ mathbf {Q}) ^ {\ mathrm {t}} {\ bar {\ mathbf {x}}} + (2 ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {t} \ mathbf {A} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b }) \ mathbf {Q} {\ bar {\ mathbf {x}}} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathrm {t} \ mathbf {A} \ mathbf {t} + ^ {\ mathrm {t} } \ mathbf {b} \ mathbf {t} + c = 0}.

Kérdéssel:

NÁL NÉL¯=tQNÁL NÉLQ{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {A}}} = ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {Q} \ mathbf {A} \ mathbf {Q}} b¯=(2ttNÁL NÉL+tb)Q{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {b}}} = (2 ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {t} \ mathbf {A} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b}) \ mathbf {Q}} vs.¯=ttNÁL NÉLt+tbt+vs.{\ displaystyle {\ bar {c}} = ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {t} \ mathbf {A} \ mathbf {t} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b} \ mathbf {t} + c}

megkapjuk az egyenletet

tx¯NÁL NÉL¯x¯+tb¯x¯+vs.¯=0{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} {\ bar {\ mathbf {x}}} {\ bar {\ mathbf {A}}} {\ bar {\ mathbf {x}}} + ^ {\ mathrm { t}} {\ bar {\ mathbf {b}}} {\ bar {\ mathbf {x}}} + {\ bar {c}} = 0}.

Ezután kiválaszthatjuk a Q-t , vagyis egy átlós mátrixot NÁL NÉL¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {A}}}}

NÁL NÉL¯=(λ100λ2){\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {A}}} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}}}

és így nulla. Ezután a derékszögű egyenletet írjuk fel t{\ displaystyle \ mathbf {t}}b¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {b}}}}

λ1x¯2+λ2y¯2+vs.¯=0{\ displaystyle \ lambda _ {1} {\ bar {x}} ^ {2} + \ lambda _ {2} {\ bar {y}} ^ {2} + {\ bar {c}} = 0}.

Az ellipszis középpontjának ekkor t koordinátái vannak , a fő- és melléktengely pedig egyenlő:

nál nél=-vs.¯/λ1{\ displaystyle a = {\ sqrt {- {\ bar {c}} / \ lambda _ {1}}}} ; b=-vs.¯/λ2{\ displaystyle b = {\ sqrt {- {\ bar {c}} / \ lambda _ {2}}}}. Demonstráció A Q mátrix megléte

Egy pozitívnak határozott, létezik egy ortogonális mátrix Q olyan, hogy t QAQ diagonális. Mivel Q merőleges, forgásmátrixként értelmezhető.

Q meghatározása

A forgásmátrix fel van írva

Q=(kötözősaláta⁡φ-bűn⁡φbűn⁡φkötözősaláta⁡φ){\ displaystyle \ mathbf {Q} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}}.

A termékfejlesztés ad

NÁL NÉL¯(1,2)=NÁL NÉL¯(2,1)=B2(kötözősaláta2⁡φ-bűn2⁡φ)+(VS-NÁL NÉL)kötözősaláta⁡φbűn⁡φ{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {A}}} (1,2) = {\ bar {\ mathbf {A}}} (2,1) = {\ frac {\ mathrm {B}} {2} } (\ cos ^ {2} \ varphi - \ sin ^ {2} \ varphi) + (\ mathrm {C} - \ mathrm {A}) \ cos \ varphi \ sin \ varphi}

Meg akarjuk határozni φ-t, hogy A (1, 2) = 0. Klasszikus trigonometriai képletek segítségével átírhatjuk

B2kötözősaláta⁡(2φ)+VS-NÁL NÉL2bűn⁡(2φ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {B}} {2}} \ cos \ bal (2 \ varphi \ jobb) + {\ frac {\ mathrm {C} - \ mathrm {A}} {2}} \ sin \ bal (2 \ varphi \ right) = 0}

Rajzolunk

φ=12arctan⁡(BNÁL NÉL-VS){\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {\ mathrm {B}} {\ mathrm {A} - \ mathrm {C}}} \ jobb)}

A t meghatározása

A Q mátrix nem nulla. Tehát ahhoz, hogy b nulla legyen, ez szükséges és elegendő

2ttNÁL NÉL+tb=0{\ displaystyle 2 ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {t} \ mathbf {A} + ^ {\ mathrm {t}} \ mathbf {b} = 0}.

Pózoljunk

t=(xvs.yvs.){\ displaystyle \ mathbf {t} = {\ begin {pmatrix} x _ {\ mathrm {c}} \\ y _ {\ mathrm {c}} \ end {pmatrix}}}

ez az állapot válik

{2NÁL NÉLxvs.+Byvs.+D=0Bxvs.+2VSyvs.+E=0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} 2 \ mathrm {A} x _ {\ mathrm {c}} + \ mathrm {B} y _ {\ mathrm {c}} + \ mathrm {D} = 0 \ \\ mathrm {B} x _ {\ mathrm {c}} +2 \ mathrm {C} y _ {\ mathrm {c}} + \ mathrm {E} = 0 \ vége {igazítva}} \ jobbra. }

van

{xvs.=2VSD-BEδyvs.=2NÁL NÉLE-BDδ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} x _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {2 \ mathrm {C} \ mathrm {D} - \ mathrm {B} \ mathrm {E}} {\ delta}} \\ y _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {2 \ mathrm {A} \ mathrm {E} - \ mathrm {B} \ mathrm {D}} {\ delta}} \ vége {igazítva}} \ jobbra.}

δ = B 2 - 4AC-val (ellipszis esetén nem nulla).

Paraméteres egyenlet

Az affin sík ortonormális koordinátarendszerében, amelynek irányvektorai párhuzamosak az ellipszis tengelyével, és ahol ( x C , y C ) az ellipszis középpontjának koordinátái, az ellipszis lehetséges paraméterezése :

{x=xVS+nál nélkötözősaláta⁡ty=yVS+bbűn⁡tt∈R{\ displaystyle {\ begin {esetben} x = x _ {\ mathrm {C}} + a \ cos t \\ y = y _ {\ mathrm {C}} + b \ sin t \ end {esetek}} \ quad t \ in \ mathbb {R}}

Ez a paraméterezés periodikus, 2π periódusú , ami azt jelenti, hogy korlátozható egy félig nyitott intervallumra is, amelynek minimális hossza megegyezik ezzel az időszakkal, például . A paraméter bármilyen korlátozása rövidebb hosszúságú zárt intervallumra azt eredményezi, hogy zárt ív haladja meg az ellipszis csak egy részét. t∈[0,2π[{\ displaystyle t \ in [0,2 \ pi [}

Ehhez a beállításhoz a görbületi sugara r pontjában M paraméter t adják

r(t)=nál nél2b(1-e2kötözősaláta2⁡t)3/2t∈R{\ displaystyle r (t) = {\ frac {a ^ {2}} {b}} \ bal (1-e ^ {2} \ cos ^ {2} t \ jobb) ^ {3/2} \ qquad t \ in \ mathbb {R}}

Ezért különösen a csúcstalálkozókon:

• r(0)=b2nál nél{\ displaystyle r (0) = {\ frac {b ^ {2}} {a}}}
• r(π/2)=nál nél2b{\ displaystyle r (\ pi / 2) = {\ frac {a ^ {2}} {b}}}

Ez a két görbületi sugár lehetővé teszi az ellipszis hozzávetőleges felépítését 4 körív felhasználásával.

Ha dolgozunk a komplex síkban, a parametrikus reprezentáció az ellipszis középső C és félig tengelyek egy és b van

z=zVS+nál nél+b2eént+nál nél-b2e-éntt∈R{\ displaystyle z = z _ {\ mathrm {C}} + {\ frac {a + b} {2}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} + {\ frac {ab} {2 }} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t} \ quad t \ in \ mathbb {R}}

Ha most az ellipszis tengelyei már nem egyeznek a sík tengelyeivel, hanem an szöggel forognak, akkor a parametrikus egyenletet úgy kapjuk meg, hogy a koordinátákat a középponthoz képest megszorozzuk a forgási mátrixszal:

(kötözősaláta⁡θ-bűn⁡θbűn⁡θkötözősaláta⁡θ)×(nál nélkötözősaláta⁡tbbűn⁡t)=(nál nélkötözősaláta⁡θkötözősaláta⁡t-bbűn⁡θbűn⁡tnál nélbűn⁡θkötözősaláta⁡t+bkötözősaláta⁡θbűn⁡t){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} a \ cos t \\ b \ sin t \ end {pmatrix}} = {\ elején {pmatrix} a \ cos \ theta \ cos tb \ sin \ theta \ sin t \\ a \ sin \ theta \ cos t + b \ cos \ theta \ sin t \ end {pmatrix}}}

és a paraméteres egyenlet azzá válik

{x=xVS+nál nélkötözősaláta⁡θkötözősaláta⁡t-bbűn⁡θbűn⁡ty=yVS+nál nélbűn⁡θkötözősaláta⁡t+bkötözősaláta⁡θbűn⁡tt∈R{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x _ {\ mathrm {C}} + a \ cos \ theta \ cos tb \ sin \ theta \ sin t \\ y = y _ {\ mathrm {C}} + a \ sin \ theta \ cos t + b \ cos \ theta \ sin t \ end {esetek}} \ quad t \ in \ mathbb {R}}

hogy azt is megjegyezhetjük:

{x=xVS+nál nélxkötözősaláta⁡t+bxbűn⁡ty=yVS+nál nélykötözősaláta⁡t+bybűn⁡tt∈R{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x _ {\ mathrm {C}} + a_ {x} \ cos t + b_ {x} \ sin t \\ y = y _ {\ mathrm {C}} + a_ {y} \ cos t + b_ {y} \ sin t \ end {esetek}} \ quad t \ in \ mathbb {R}}

val vel

• a x = a cos θ;
• egy y = a sin θ;
• b x = - b sin θ;
• b y = b cos θ.

Poláris egyenlet

A fókusz és a fókusztengely által meghatározott koordinátarendszerben, a direktrix oldalán lévő szögek eredetét figyelembe véve, az ellipszis a és b féltengellyel való poláregyenlete :

[3nál nél]r1(θ)=o1+ekötözősaláta⁡θθ∈R.{\ displaystyle [3a] \ qquad r_ {1} (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos \ theta}} \ qquad \ theta \ in \ mathbb {R}.}

Megjegyzés: ha az eredete a szögek venni a szemközti oldalon a direktrix ( , c pedig a félig közötti távolság a fókuszok). r1(θ)=o1-ekötözősaláta⁡θ {\ displaystyle \ qquad r_ {1} (\ theta) = {\ frac {p} {1-e \ cos \ theta}} \ qquad ~}r1(0)=nál nél+vs.{\ displaystyle r_ {1} (0) = a + c}

Emlékeztető: az ellipszis "paramétere", amelyet általában a p jelöléssel jelölünk, a fél latus végbelet ábrázolja (a direktikkel párhuzamos és a fókuszon áthaladó akkord).

A középpont és a fókusztengely által meghatározott referenciakeretben ez az egyenlet:

[3b]r22(θ)=b21-e2kötözősaláta2⁡θθ∈R.{\ displaystyle [3b] \ qquad r_ {2} ^ {2} (\ theta) = {\ frac {b ^ {2}} {1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} \ qquad \ theta \ in \ mathbb {R}.}

Az ellipszis paraméterei

Az ellipszis beállítása a regressziós vagy mintafelismerő algoritmusok fontos pontja. Az ellipszist öt paraméter írja le.

Az ellipszis paraméterezése

Meghatározás	Beállítások	Részletek
Fókusz, rendező és különc	x , y , a , b , e	F koordinátái ( x , y ), a derékszögű egyenletből érkező egyenes paraméterei - meredekség és koordináták a normál egyenlet eredeténél ( a , b ) - vagy máshol - (ρ, θ) - és az excentricitáson e .
Fókuszok és fő tengely	x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , a	Koordináták ( x 1 , y 1 ) F 1 , ( x 2 , y 2 ) F 2 és hossza a félig-nagytengely egy .
Derékszögű egyenlet	B, C, D, E, F vagy A, B, D, E, F	az A x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F = 0 másodfokú egyenlet határozza meg az ellipszist; A és C nem nulla, így az egyenletet eloszthatjuk a kettő egyikével, hogy normalizáljuk: x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F = 0 vagy A x 2 + B xy + y 2 + D x + E y + F = 0.
Paraméteres egyenlet	x , y , a , b , θ vagy x , y , a x , a y , b x , b y	A C középpont koordinátái ( x , y ), az a és b féltengelyek hossza , a fő tengely θ dőlése az x tengelyhez képest . A paraméteres egyenlet is írt egy x = a cos θ, egy y = b sin θ, b x = - b sin θ és b az y = b cos θ.

Körméret

A számítás a hossza ív az ellipszis fél-nagytengely egy , félig-kistengely b és excentricitás e , benne az első negyedben vezet kiszámításához

L(B,M)=nál nél∫0x/nál nél1-e2u21-u2du{\ displaystyle L (B, M) = a \ int _ {0} ^ {x / a} {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2} u ^ {2}}} {\ sqrt {1- u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u}

vagy az

L(B,M)=nál nél∫0θ1-e2bűn2⁡tdt{\ displaystyle L (B, M) = a \ int _ {0} ^ {\ theta} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t }

a B (0, b ) pont és a pont közötti ív hosszához. Ezeket az integrálokat azonban nem klasszikus függvények (algebrai, trigonometrikus, logaritmusos vagy exponenciális függvények) fejezik ki . Ez a korrekció, amely a XVIII .  Század elejétől kezdődött a végtelenül kis számítás létrehozása után, valamint a lemniscate Bernoulli javítása, az integrálok új osztályához vezetett. Az ilyen integrált a második fajta hiányos elliptikus integrálnak nevezzük . M(x=nál nélbűn⁡(θ),y=bkötözősaláta⁡(θ)){\ displaystyle M (x = a \ sin (\ theta), y = b \ cos (\ theta))}

Az ellipszis kerületét, vagyis annak kerületét vagy pályáját azután egész alakban fejezzük ki

L=4nál nél∫011-e2u21-u2du{\ displaystyle L = 4a \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2} u ^ {2}}} {\ sqrt {1-u ^ {2}}} } \ mathrm {d} u}

vagy

L=4nál nél∫0π/21-e2bűn2⁡tdt=4nál nélE(e){\ displaystyle L = 4a \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \ mathrm {d} t = 4a {\ rm {E (e)}}}

ahol E a teljes elliptikus integrál függvény a második fajta.

A végeredménynek nincs egyszerű kifejezése, de többé-kevésbé gyors konvergenciájú sorozatos fejlesztések, amelyek közül az első Colin Maclaurin 1742-es vagy Euler 1749-es és 1773-as munkája, valamint közelítések, beleértve Johannes Kepler 1609-es, Giulio Fagnano 1750 munkáit Ramanujan a XX .  század elején .

Soros fejlemények

Az első soros fejlesztést Colin Maclaurin-nak tulajdonítják, de az egyik bizonyítékot is talál rá az Euler-ben 1749-ben. Ezt úgy kapják meg, hogy x- nél kisebb az 1-nél kisebb soros kiterjesztése, majd indukciós kifejezésekkel integrálják, mint az Euler-hez, vagy jól használják a Wallis integrálokat , ha a trigonometrikus forma előnyösebb. Ezt fejezik függvényében egy , félig-nagytengely és e excentricitás által: (1-x)1/2{\ displaystyle (1-x) ^ {1/2}}∫01u2nem1-e2u2du{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {u ^ {2n}} {\ sqrt {1-e ^ {2} u ^ {2}}}} \ mathrm {d} u}

L=2πnál nél∑nem=0+∞[(2nem)!(2nem⋅nem!)2]2-e2nem2nem-1=2πnál nél[1-(12)2e2-(1⋅32⋅4)2e43-(1⋅3⋅5.2⋅4⋅6.)2e6.5.-⋯]=2πnál nél[1-14e2-364.e4-5.256e6.-17516384e8.-44165536e10.⋯]{\ displaystyle {\ begin {aligned} L & = 2 \ pi a \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ left [{\ dfrac {(2n)!} {(2 ^ {n} \ cdot n!) ^ {2}}} \ right] ^ {2} {\ frac {-e ^ {2n}} {2n-1}} \\ & = 2 \ pi a \ left [1- \ left ( {\ dfrac {1} {2}} \ right) ^ {2} e ^ {2} - \ left ({\ dfrac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} { \ dfrac {e ^ {4}} {3}} - \ balra ({\ dfrac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ jobbra) ^ {2} {\ dfrac { e ^ {6}} {5}} - \ cdots \ right] \\ & = 2 \ pi a \ left [1 - {\ dfrac {1} {4}} e ^ {2} - {\ dfrac {3 } {64}} e ^ {4} - {\ dfrac {5} {256}} e ^ {6} - {\ dfrac {175} {16384}} e ^ {8} - {\ dfrac {441} { 65536}} e ^ {10} \ cdots \ right] \ end {aligned}}}

Ezt a következőkkel is kifejezhetjük:

L=2πnál nél⋅2F1(-12,12;1;e2){\ displaystyle L = 2 \ pi a \ cdot {} _ {2} {\ rm {F}} _ {1} \ balra (- {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} { 2}}; 1; e ^ {2} \ jobbra)},

hol van a Gauss hipergeometrikus sorozat . 2F1{\ displaystyle {} _ {2} {\ rm {F}} _ {1}}

A fenti sorozat fő hátránya, hogy konvergenciája nagyon lassú az 1-hez közeli excentricitásoknál, vagyis a lapított ellipsziseknél. Elméleti szinten azonban továbbra is hasznos, mert lehetővé teszi a többi képlet összehasonlítását, amelyek közelítenek a kerülethez, mivel mindig kialakíthatjuk őket Taylor-sorok formájában, és különbség alapján meghatározhatjuk a Taylor-sorokat, megadva a relatív hibákat ezeket az alternatív képleteket, a különcségtől függően.

A második érdekes fejleményt Sir James Ivory mutatta be 1796-ban. Ez a Gauss - Kummer sorozat nevet viseli számos hipergeometrikus sorozat egyenértékűségének bizonyítására irányuló munkájuk miatt is. Ez egy szimmetrikus fejlemény a és b mennyiségben kifejezve  : h=(nál nél-bnál nél+b)2{\ displaystyle h = \ bal ({ab \ a + b} \ jobb oldalon) ^ {2}}

L=π(nál nél+b)⋅2F1(-12,-12;1;h)=π(nál nél+b)∑nem=0+∞(12nem)2hnem=π(nál nél+b)∑nem=0+∞[(2nem)!(nem!)21(1-2nem)(-4)nem]2hnem=π(nál nél+b)[1+h4+h264.+h3256+25h416384+49h5.65536+⋯]{\ displaystyle {\ begin {aligned} L & = \ pi (a + b) \ cdot {} _ {2} {\ rm {F}} _ {1} \ left (- {\ frac {1} {2 }}, - {\ frac {1} {2}}; 1; h \ jobb) \\ & = \ pi (a + b) \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {1} {2}} \ select n} ^ {2} h ^ {n} = \ pi (a + b) \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ left [{{\ dfrac { (2n)!} {(N!) ^ {2}}} {\ frac {1} {(1-2n) (- 4) ^ {n}}}} \ jobbra] ^ {2} h ^ {n } \\ & = \ pi (a + b) \ balra [1 + {\ dfrac {h} {4}} + {\ dfrac {h ^ {2}} {64}} + {\ dfrac {h ^ { 3}} {256}} + {\ dfrac {25h ^ {4}} {16384}} + {\ dfrac {49h ^ {5}} {65536}} + \ cdots \ right] \ end {aligned}}}

Ennek a sorozatnak jobb a konvergenciája, mint Maclauriné a teljes excentritási tartományban, de a lapított ellipszisek relatív hibája még mindig sok kívánnivalót hagy maga után.

Idézhetjük az 1773-as Euler-sorozatot is, a szimmetrikus fejlődést a és b mennyiségben kifejezve . d=(nál nél2-b2nál nél2+b2)2{\ displaystyle d = \ balra ({a ^ {2} -b ^ {2} \ a ^ {2} + b ^ {2}} \ jobbra) ^ {2}}

L=π2(nál nél2+b2)⋅2F1(-14,-14;1;d){\ displaystyle L = \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}} \ cdot {} _ {2} {\ rm {F}} _ {1} \ balra (- {\ frac {1} {4}}, - {\ frac {1} {4}}; 1; d \ jobb)}}

Ez a sorozat valamivel gyorsabban konvergál, mint a Maclaurin sorozat, de kevésbé gyorsan, mint Gauss-Kummeré.

A nagy excentricitású ellipszisek esetében Arthur Cayley (1876-ban létrehozott) sorozata jobb konvergenciát kínál, és az összeggel az alábbiakkal fejezi ki: x=1-e2=(bnál nél)2{\ displaystyle x = 1-e ^ {2} = \ balra ({b \ a} felett \ jobbra) ^ {2}}

L=4nál nél(1+∑nem=1+∞xnem2[(2nem)!(2nemnem!)2]22nem2nem-1[ln⁡(16.x)-(∑k=1nem4(2k-1)2k)+2(2nem-1)2nem]){\ displaystyle L = 4a \ left (1+ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {x ^ {n} \ over 2} \ left [{(2n)! \ over (2 ^ {n } n!) ^ {2}} \ right] ^ {2} {2n \ over 2n-1} \ left [\ ln \ left ({16 \ over x} \ right) - \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {4 \ over (2k-1) 2k} \ right) + {2 \ over (2n-1) 2n} \ right] \ right)}

amely kialakul:

L4nál nél-1=x4[ln⁡(16.x)-1]+3x232[ln⁡(16.x)-13.6.]+15x3256[ln⁡(16.x)-12.5.]+175x44096[ln⁡(16.x)-1051420]+⋯ +xnem212223242⋯(2nem-3)2(2nem-2)2(2nem-1)2nem[ln⁡(16.x)-41×2-43×4-⋯-4(2nem-3)(2nem-2)-2(2nem-1)(2nem)]+⋯{\ displaystyle {\ begin {aligned} {L \ over 4a} -1 & = {\ frac {x} {4}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {16} {x}} \ right) - 1 \ jobbra] + {\ frac {3x ^ {2}} {32}} \ balra [\ ln \ balra ({\ frac {16} {x}} \ jobbra) - {\ frac {13} {6 }} \ jobb] + {15x ^ {3} \ felett 256} \ balra [\ ln \ balra ({16 \ felett x} \ jobbra) - {\ frac {12} {5}} \ jobbra] + {175x ^ {4} \ 4096 felett \ bal [\ ln \ bal ({16 \ x x} \ jobb) - {\ frac {1051} {420}} \ jobb] + \ cdots \\ & \ + {x ^ {n} \ over 2} {1 ^ {2} \ over 2 ^ {2}} {3 ^ {2} \ over 4 ^ {2}} \ cdots {(2n-3) ^ {2} \ over ( 2n -2) ^ {2}} {(2n-1) \ over 2n} \ left [\ ln \ left ({16 \ over x} \ right) - {4 \ over 1 \ times 2} - {4 \ több mint 3-szor 4-szer 4 - \ cdots - {4 \ over (2n-3) (2n-2)} - {2 \ over (2n-1) (2n)} \ right] + \ cdots \ end {igazított} }}

Ez a pontos sorozat az excentrikák teljes tartományára konvergál, de kiváló konvergenciával rendelkezik, és sokkal gyorsabb, mint a Maclaurin és a Gauss-Kummer sorozatok, mint a magas excentricitások esetében, ahol számszerűen is stabil. Gyors numerikus kiértékelések során ezt a Cayley-sorozatot összekapcsolhatjuk a Gauss-Kummer-sorozattal, amelyet könnyebb kiszámítani, és gyengébb és mérsékeltebb excentricitások esetén gyorsabban konvergál, azáltal, hogy önkényesen rögzítjük a két módszer közötti határértéket a 96 közeli excentricitás értékén % (ami megfelel a 28% -hoz közeli b / a képaránynak vagy az x értéke közel 7,84% -nak is).

Hozzávetőleges értékek

Az első nagyon egyszerű közelítést Kepler 1609-ben mutatja be, és abból áll, hogy az ellipszis kerületét két kör kerületével közelíti meg, amelyek sugara az a és b mennyiség geometriai átlaga, illetve számtani átlaga  :

2πnál nélb≤LetL≈π(nál nél+b){\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {ab}} \ leq L \ quad \ mathrm {et} \ quad L \ kb \ pi (a + b)}

A második közelítés 1750-ből származik, Giulio Carlo Fagnanótól származik:

L≈π(32(nál nél+b)-nál nélb){\ displaystyle L \ kb \ pi \ balra ({\ frac {3} {2}} (a + b) - {\ sqrt {ab}} \ jobbra)}

Euler a maga részéről felesleges közelítést javasol olyan pontossággal, amely egyenértékű azzal az alapértelmezettel, amely a két féltengely átlagának megadásával kapott:

L≈π2(nál nél2+b2){\ displaystyle L \ kb \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}}

Formákban megtaláljuk Kepler és Euler közelítésének ezt a másodfokú közelítését, kvadratikus átlagát is:

L≈π2(nál nél2+b2)-12(nál nél-b)2{\ displaystyle L \ kb \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} (ab) ^ {2}}}}

Kifejezésével b függvényében e és bővülő sorozatban

L≈2πnál nél34+141-e2-38.e2=2πnál nél[1-14e2-364.e4-5.256e6.-898192e8.-23132768e10.⋯]{\ displaystyle {\ begin {mátrix} L \ kb 2 \ pi a {\ sqrt {{\ frac {3} {4}} + {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {1-e ^ { 2}}} - {\ frac {3} {8}} e ^ {2}}} = 2 \ pi a \ bal [1 - {\ frac {1} {4}} e ^ {2} - {\ frac {3} {64}} e ^ {4} - {\ frac {5} {256}} e ^ {6} - {\ frac {89} {8192}} e ^ {8} - {\ frac { 231} {32768}} e ^ {10} \ cdots \ right] \ end {mátrix}}}

olyan fejlesztést kapunk, amelynek az első 4 kifejezés megfelel a Maclaurin-sorozatnak; a magasabb fokú tagok helytelen együtthatói által elkövetett hiba akkor nagyon kicsi.

A XIX .  Századtól kezdve a közelítő képletek szaporodnak, és mindegyik megpróbálja megtalálni az egyszerű képleteket a lehető legnagyobb pontossággal. Meg kell említeni az 1914-es két Srinivasa Ramanujan képletet

Srinivasa Ramanujan első képlete : L≈π[3(nál nél+b)-(3nál nél+b)(nál nél+3b)]=π(nál nél+b)[3-4-h]{\ displaystyle L \ körülbelül \ pi \ balra [3 (a + b) - {\ sqrt {(3a + b) (a + 3b)}} \ jobbra = = pi (a + b) \ balra [3- {\ sqrt {4-h}} \ right]}, hol .h=(nál nél-bnál nél+b)2{\ displaystyle h = \ bal ({\ frac {ab} {a + b}} \ jobb) ^ {2}} Srinivasa Ramanujan második képlete  : L≈π(nál nél+b)[1+3h10.+4-3h]{\ displaystyle L \ kb \ pi \ bal (a + b \ jobb) \ bal [1+ {3h \ 10 felett + {\ sqrt {4-3h}}} \ jobb]}

Ezek az utolsó képletek nagyon pontosak a mérsékelt excentrikákra. Másrészt b = 0 esetén Ramanujan második képlete a π 22/7 közelítéséhez vezet.

A belső tartomány területe egy ellipszishez

Az ellipszis területének kiszámításához különböző módszerek vannak. Helyezhetjük magunkat a tengelyek által hordozott referenciába, ahol az ellipszis egyenlete fel van írva:

x2nál nél2+y2b2=1{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

A fent megállapított szimmetriákkal elegendő kiszámítani például az ellipszis részének területét az erre a hivatkozásra hivatkozott sík jobb felső negyedében. A megfelelő ellipszis rész egyenlete:

y=b1-(xnál nél)2{\ displaystyle y = b {\ sqrt {1- \ balra ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) ^ {2}}}}

az X [0, a ]. Ezért az ellipszis jobb felső negyedének területe:

én=∫0nál nélb1-(xnál nél)2dx=nál nélb∫011-t2dt=nál nélb∫0π2kötözősaláta2⁡udu{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {a} b {\ sqrt {1- \ balra ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) ^ {2}}} \, \ mathrm {d } x = ab \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t = ab \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {2}} \ cos ^ {2} u \, \ mathrm {d} u}

az utolsó rewrite kapott a változás változó távolságra a . Linearizálódni kell, hogy megtaláljuk az ellipszis területének negyedét: u↦bűn⁡u=t{\ displaystyle u \ mapsto \ sin u = t}[0,π/2]{\ displaystyle [0, \ pi / 2]}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}kötözősaláta2⁡u{\ displaystyle \ cos ^ {2} u}

én=nál nélb∫0π21+kötözősaláta⁡2u2du=πnál nélb4{\ displaystyle I = ab \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1+ \ cos 2u} {2}} \, \ mathrm {d} u = {\ frac {\ pi ab} {4}}}

és a teljes ellipszis területére:

S=πnál nélb{\ displaystyle S = \ pi ab}

Figyeljük meg, hogy az a = b esetén megkeressük a lemez területét.

Rajzolj ellipszist

Kétpontos és akkordos módszer: a bifokális definíció szerint az ellipszis egy pontja és két F és F ' fókusa közötti távolság összege állandó. Így két karót ültetnek a földbe (a két góc), az egyik egy adott hosszúságú nem rugalmas zsinórt (állandó összeget) vesz fel, amely a karókhoz van rögzítve; az az út, amelyen haladunk, miközben a kötelet feszesen tartjuk, ellipszis. Ezt a technikát " kertész ellipszisnek  " nevezik . NÁL NÉLF+NÁL NÉLF′{\ displaystyle AF + AF '}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Az ipari kialakításban az ellipszis általában perspektivikusan látható kör (egy alkatrész ritkán ellipszis, még akkor is, ha ez nincs kizárva), vagy egy fúrás az alkatrész felületéhez képest szögben.

Az ellipszis tehát ugyanazokkal a tengelyvonalakkal van ábrázolva, mint a köré. A perspektivikusan látott kör esetében ezek a középvonalak ferdeek és követik a referencia irányokat. Valóban elliptikus forma esetén a középvonalak merőlegesek.

Szabadkézi rajz, exinkriptált paralelogramma módszer: fentebb láttuk, hogy az ellipszis perspektívában látható körnek tekinthető. Ahogy egy kört beírnak egy négyzetbe, egy ellipszist írnak be egy paralelogrammába, amely nem más, mint ez az izometrikus perspektívában látható négyzet (vegye figyelembe, hogy a körbeírt paralelogrammáknak végtelen száma van, elegendő választani egyet.). Először rajzoljon egy paralelogrammát, ossza fel négy negyedre a párhuzamok mentén a többi oldal középpontján átmenő oldalakra; minden negyedévben rajzolunk egy ívet, amely áthalad az oldalak középpontjain és érintője az oldalaknak ezekben a középpontokban (a körben található szekánsok bizonyos jellemzői lehetővé teszik ezen ívek egyéb közbenső átjárási pontjainak megtalálását).

Azt is felhívni ellipszis folyamatosan egy mechanikus eszköz úgynevezett ellipsograph . Többféle típus létezik, amelyek mindegyike kihasználja az ellipszis egy adott tulajdonságát.

Vonalzási rajz, paralelogramm módszer: a 2a és 4b méretű téglalapban a 2a hosszúságú oldalakat 2n egyenlő részekre, a 4b hosszúságú oldalakat pedig 4n egyenlő részekre vágjuk. Ezután a szegmenseket a szemközti ábrán látható módon rajzoljuk meg. Metszéspontjaik az a és b féltengelyek ellipszisén vannak. Az elv a következő: ilyen konstrukciót alkalmaztunk arra az esetre, amikor b = merőleges szakaszok rajzolásához vezetett. Kereszteződésük tehát a 2a átmérőjű körön van. Az ellentétes ábra az ábra b / a arányának affinitása szerinti alakváltozása, amely a kör felépítéséhez vezet. Ez az ábra tehát az ellipszis felépítéséhez vezet.

Megjegyzések és hivatkozások

1. lásd a két test és a sok test problémáját .
2. Tauvel 2005 , p.  384.
3. A különféle projektorok az educauto.org oldalon .
4. Lásd például Athanasius Kircher könyvét , Musurgia universalis sive ars magna consoni et dissoni , 1650 II . Kötet , p.  300 .
5. A La Chaise Dieu visszhangkamrája a fizika és kémia tanárok szakszervezetének honlapján.
6. D r  Bernard Auriol, Le confessionnal des lepeux .
7. Swokowski (trad. Micheline Citta), Analízis , 5 -én  kiadás, p.  621 .
8. Francia Urológiai Szövetség, Mi az extrakorporális litotripszia (LEC)? .
9. Lásd például Tauvel 2005 , p.  387, vagy ebben az évben a Wikegyetemhez igazítva .
10. (in) Walter Gander , Gene H. Golub és Rolf Strebel , "  Körök és ellipszisek legkisebb négyzetes illesztése  " , BIT Numerikus Matematika , Springer, vol.  34, n o  4,1994. december, P.  558-578 ( ISSN  0006-3835 és 1572-9125 , olvassa el online ).
11. W Gellert , H. Küstner , M. Hellwich és H. Kästner , Kis enciklopédia matematika , Didier,1980, P.  197.
12. (in) AS Aguado és MS Nixon , egy új Hough transzformációs ellipszis detektálás a leképezéshez ,1995( online olvasás ).
13. Vigyázzon az E függvény jelölése miatt  ; Például a Mathematica programban és a Wolfram oldalon hasonló, de eltérő EllipticE függvényt találunk , így a használni kívánt képlet ekkor lesz .Ellénoténvs.E(x)=E(x){\ displaystyle {\ rm {EllipticE}} (x) = {\ rm {E}} ({\ sqrt {x}})}L=4nál nélEllénoténvs.E(e2){\ displaystyle L = 4a \, {\ rm {EllipticE}} (e ^ {2})}
14. Almkvist és Berndt 1988 , p.  14-598.
15. (la) Euler, Animadversiones in rectificationem ellipsis , az [Eulerarchive] oldalon.
16. (in) Numericana, pontos kiterjesztések az ellipszis kerületéhez .
17. Almkvist és Berndt 1988 , p.  15-599.
18. Serge Mehl, FAGNANO Giulio Carlo a Chronomath weboldalon .
19. Serge Mehl, az ellipszis hossza a Chronomath weboldalon .
20. (en) Numericana, Ellipszis kerülete .
21. (in) James Ivory, egy új sorozat a korrekció az ellipszis ( Almkvist és Berndt 1988 , p.  14-598 25. jegyzet).
22. (en) Numericana, Gauss-Kummer sorozat .
23. (in) Numericana, Euler bővítése .
24. (in) Numericana, Cayley sorozata .
25. (in) Numericana, Euler képlete és naiv képlete .
26. (in) Numericana, Legjobb másodfokú képlet .
27. Almkvist és Berndt 1988 , p.  16-600; 17-601.
28. (a) Numericana, Ramanujan ( I ) & Lindner .
29. (en) Numericana, Ramanujan ( II ) .
30. Példaként Gerard Michon a Kepler alsó határától Muir alsó határáig című cikkben jelzi a hibákat az első képlet méteres nagyságrendű földi meridiánjának (e közel 0,082) kiszámításához, a másodiknak pedig a mérőhöz.1,75×10.-12.{\ displaystyle 1,75 \ szor 10 ^ {- 12}}1,63×10.-25{\ displaystyle 1,63 \ szor 10 ^ {- 25}}
31. Almkvist és Berndt 1988 , p.  18-602.
32. (in) számítógépes rajzoló, Rex Könyvesbolt, Inc. , rajz ellipszis segítségével paralelogramma módszer - p.  46 .

Lásd is

Irodalomjegyzék és források

• Patrice Tauvel , geometria: Agrégation- 2 nd  ciklus / mester , Dunod,2005
• Jean-Denis Eiden, Klasszikus analitikai geometria, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Modern módszerek a geometriában, Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Affine, euklideszi és projektív kúpok, C&M, ( ISBN  978-2-916352-12-1 )
• (en) Gert Almkvist és Bruce Berndt , „  Gauss, Landen, Ramanujan, az aritmetikai-geometriai átlag, az ellipszisek, a pi és a hölgyek naplója  ” , Amer. Math. Havi , vol.  95, n o  1,1988. augusztus-szeptember( online olvasás )
• (en) Gerard P. Michon, az Ellipszis kerete - Végső válaszok , a Numericana.com oldalon

Kapcsolódó cikkek

• Kúpos
  • Hiperbola
  • Példázat
• Elliptikus regresszió
• Hough transzformáció> Ellipszis detektálás
• Ovális
• Marden tétele
• Ellipsograph

Külső linkek

• Bernard Gisin, "  Az ellipszis tulajdonságai bemutatókkal  " [PDF] ,2006. augusztus
• Egy kúp és Dandelin-tétel metszetei
• Robert Ferréol, Jacques Mandonnet és Alain Esculier, „  Ellipszis  ” , a figyelemre méltó matematikai formák enciklopédiáján ,2012
• (en) Eric W. Weisstein , „  Ellipszis  ” , a MathWorld- on

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">