Ortogonális mátrix

Egy négyzet mátrixot A ( n sorok, n oszlopok) a valós együtthatók azt mondják, hogy ortogonális , ha t A A = I n , ahol T egy a ültették mátrix az A és I n jelentése az identitás mátrix .

Példák

Példák az ortogonális mátrixok rotációs mátrixok , mint például a mátrix forgási síkja a szög θ

{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}

vagy permutációs mátrixok , például

{\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.

Tulajdonságok

Egy igazi mátrix Egy ortogonális, ha, és csak akkor, ha invertálható, és annak inverz megegyezik annak transzponáltját: A -1 = t A .
A négyzetmátrix akkor és csak akkor derékszögű, ha oszlopvektorai kettő-kettő ortogonálisak és az 1. norma . Így egy ortogonális mátrix ortonormális alapot képvisel .
Ezenkívül egy négyzetmátrix akkor és csak akkor derékszögű, ha transzponálja ( azaz A t A = I n ), tehát akkor és csak akkor, ha sorvektorai kettő-kettő ortogonálisak és az 1. norma.
A meghatározó az egy ortogonális mátrix négyzet 1, azaz ez az érték megegyezik a +1 vagy -1 (a fordítottja is triviálisan hamis). Az ortogonális mátrixról azt mondjuk, hogy közvetlen, ha meghatározója egyenlő +1, és közvetett, ha egyenlő –1.
Az ortogonális mátrix kondicionálása egyenlő 1-vel.
A vektor ortogonális mátrixszal történő szorzata megőrzi e vektor euklideszi normáját (amely az R n kanonikus skaláris szorzatához kapcsolódik ).
A készlet ilyen mátrixok egy csoport úgynevezett egy ortogonális csoport és jelöljük O ( N , R ). Ezek értelmezése geometriailag, hogy a meg vektor isometries, más néven ortogonális automor , az euklideszi tér R n . Pontosabban, az euklideszi tér endomorfizmusa akkor és akkor csak akkor derékszögű, ha létezik olyan ortonormális alap, amelyben mátrixa ortogonális (és ha igen, akkor bármely ortonormális alapú mátrixa továbbra is ortogonális lesz).
A közvetlen ortogonális mátrixok halmaza (1-es determinánssal egyenlő) az ortogonális csoport egy alcsoportját képezi, amelyet speciális ortogonális csoportnak nevezünk és SO ( n , R ) -nek jelölünk . A 3. dimenzió, akkor azt úgy értelmezzük geometriai módon, hogy a készlet a forgatások az euklideszi tér R 3 (a forgástengely által adott Eigen altér kapcsolódó sajátérték +1).
Ez az eredmény így bármilyen dimenzióban általánosítható: bármelyik ortogonális mátrix hasonló egy átjáró mátrixon keresztül , amely egy merőleges, és egy formájú mátrix ${\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} R_ {1} && \\ & \ ddots & \\ && R_ {p} \ end {matrix}} & 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} \ varepsilon _ {1} && \\ & \ ddots & \\ && \ varepsilon _ {q} \ end {mátrix}} \\\ end {pmatrix}},$ ahol R i a sík forgatásának mátrixa, és mindegyik ε j értéke 1 vagy –1.
Ortogonális mátrixok egység mátrixok valós együtthatók.