Vektor forgatás
Legyen E egy euklideszi vektortér . A vektor forgása az E egy eleme a speciális ortogonális csoport SO ( E ). Ha az E ortonormális alapját választjuk , akkor ennek az alapja a mátrixa közvetlen ortogonális .
Lapos vektor forgása
Mátrixírás
Az orientált euklideszi vektorsíkban a vektor forgását egyszerűen a szöge határozza meg . Közvetlen ortonormális alapú mátrixa:
φ{\ displaystyle \ varphi \,}
(kötözősalátaφ-bűnφbűnφkötözősalátaφ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}}
.
Más szavakkal, az alkotórészek vektorának képmásnak kell lennie a mátrixegyenlőséggel kiszámítható összetevők vektorával:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
(x,y){\ displaystyle (x, y)}
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}
(x′,y′){\ displaystyle (x ', y')}
(x′y′)=(kötözősalátaφ-bűnφbűnφkötözősalátaφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ vége {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}
,
vagyis azt mondjuk, hogy:
x′=xkötözősalátaφ-ybűnφ{\ displaystyle x '= x \ cos \ varphi -y \ sin \ varphi \,}
és
y′=xbűnφ+ykötözősalátaφ{\ displaystyle y '= x \ sin \ varphi + y \ cos \ varphi \,}
.
Példa
Ha például és , a derékszögű háromszög egyik szöget jelöli a 3., 4. és 5. oldalakkal. Megszaporíthatjuk azokat a példákat, amelyek racionális együtthatóval rendelkező mátrixokat adnak, ha minden alkalommal Pythagoreus-tripletet használunk .
kötözősalátaφ=0,8.{\ displaystyle \ cos \ varphi = 0 {,} 8}
bűnφ=0,6.{\ displaystyle \ sin \ varphi = 0 {,} 6}
φ{\ displaystyle \ varphi}
Komplex írás
Ez összehasonlítható a következő összetett számokkal írt képlettel :
x′+én y′=(x+én y)(kötözősalátaφ+énbűnφ){\ displaystyle x '+ i \ y' = (x + i \ y) (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}
vagy:
z′=x′+én y′=(x+én y)⋅e énφ=z⋅e énφ{\ displaystyle z '= x' + i \ y '= (x + i \ y) \ cdot e ^ {\ i \ varphi} = z \ cdot e ^ {\ i \ varphi} \,}
.
Forgásérzék
Amikor a térkép között van , és ha a térkép a szokásos módon van tájolva, akkor a forgatás az óramutató járásával ellentétes irányba (vagy „óramutató járásával ellentétes irányba ”) történik. Azt mondjuk, hogy a forgatás baljós. Ha között és a forgatás az óramutató járásával megegyező. Azt mondják, hogy ügyesebb.
φ{\ displaystyle \ varphi}0{\ displaystyle 0}
π{\ displaystyle \ pi}
φ{\ displaystyle \ varphi}-π{\ displaystyle - \ pi}
0{\ displaystyle 0}
Fogalmazás
Két vektorfordulás összetettje egy olyan vektorforgatás, amelynek szöge a két forgás szögének összege, amelyet úgy fordítunk, hogy a vektorfordulások csoportja izomorf a csoportra nézve .
(R/2πZ,+){\ displaystyle (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}, +)}
Forgások és szögek
A lineáris algebra alapú geometria axiomatikus felépítésében a síkfordulások meghatározása teszi lehetővé a szög fogalmának meghatározását (lásd még az Angle cikket ).
Vektor elforgatása 3-dimenziós térben
Mátrixírás
A 3. dimenzió orientált euklideszi terében a vektor forgását a következő határozza meg:
- egy egységvektor , amely meghatározza annak tengelye: a vonal a vektorok invariáns ezzel a vektorral forgás keletkezett, és orientált ezzel a vektorral;NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
- szöge , a hozzá tartozó síkvektor-forgás szöge , ennek az elfordulásnak a tengelyre merőleges síkra való korlátozása .φ{\ displaystyle \ varphi \,}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}
Ennek a síknak az irányát a tengely irányának megválasztása határozza meg. A párok, és ezért ugyanazt a térforgást képviselik.
(NEM→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
(-NEM→,-φ){\ displaystyle (- {\ vec {N}}, - \ varphi)}
Megjegyezzük az egységvektor koordinátáit fix, közvetlen ortonormális alapon :
(nemx,nemy,nemz){\ displaystyle \ bal (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ jobb)}
NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(én→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
nemx2+nemy2+nemz2=‖NEM→‖2=1{\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {N}} \ | ^ {2} = 1}
.
Legyen egy tetszőleges vektor. Jelöljük a képét a forgatással .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(NEM→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Egyszerű különleges eset
Kezdjük az adott eset tanulmányozásával .
NEM→=k→{\ displaystyle {\ vec {N}} = {\ vec {k}}}
A sík van, akkor a sík által generált vektorokat és . A vektor kollináris vektorgá bomlik, amely invariáns a forgatással, és egy vektorgá, amely szögelforduláson megy keresztül a síkban , és alkalmazhatjuk a síkvektor-forgatások esetén kialakított képletekre. Ezért írhatunk:
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}én→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}zk→{\ displaystyle z {\ vec {k}}}
NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}xén→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
φ{\ displaystyle \ varphi}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}
xén→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
z′=z{\ displaystyle z '= z \,}
és
mint fent,
(x′y′)=(kötözősalátaφ-bűnφbűnφkötözősalátaφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ vége {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}
amely szintetikus formában írható:
|
(x′y′z′)=(kötözősalátaφ-bűnφ0bűnφkötözősalátaφ0001)(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
|
Általános eset
Ha az egységvektor tetszőleges a komponensek kifejezésére használt közvetlen ortonormális bázishoz képest , az érvelés finomabb.
NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(én→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
A vektor bomlik a forgásirányban kollináris és invariáns, valamint a síkban forgás alá eső elemek összegére . A vektor közvetlenül merőleges síkban és azonos norma , hogy a kép az a szög forgás van .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(U→⋅NEM→)NEM→{\ displaystyle ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
NEM→{\ displaystyle {\ vec {N}}}W→=U→-(U→⋅NEM→)NEM→{\ displaystyle {\ vec {W}} = {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}
NEM→∧W→{\ displaystyle {\ vec {N}} \ ék {\ vec {W}}}
W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}φ{\ displaystyle \ varphi}(kötözősalátaφ)W→+(bűnφ)NEM→∧W→{\ displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ ék {\ vec {W}}}
Végül az elforgatás képe megér:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
V→=(U→⋅NEM→)NEM→+(kötözősalátaφ)W→+(bűnφ)NEM→∧W→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ ék {\ vec {W}}}
és ha az értékére cseréljük , akkor a következőket kapjuk:
W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}U→-(U→⋅NEM→)NEM→{\ displaystyle {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
V→=(U→⋅NEM→)NEM→+(kötözősalátaφ)(U→-(U→⋅NEM→)NEM→)+(bűnφ)NEM→∧U→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {U} } - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}) + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ ék {\ vec {U} }}
ahonnan végül Rodrigues forgási képlete :
|
V→=(kötözősalátaφ) U→+(1-kötözősalátaφ)(U→⋅NEM→) NEM→+(bűnφ)(NEM→∧U→){\ displaystyle {\ vec {V}} = (\ cos \ varphi) \ {\ vec {U}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N} }) \ {\ vec {N}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ bal ({\ vec {N}} \ ék {\ vec {U}} \ jobbra)}
|
.
A fent bekeretezett képlet bármely vektor képének vektoros kifejezését adja meg forgatással .
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(NEM→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Ugyanezt az eredményt a következő egyenértékű mátrix formában tudjuk bemutatni:
(x′y′z′)=M(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = M {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
val vel:
|
M=(kötözősalátaφ)(100010001)+(1-kötözősalátaφ)(nemx2nemxnemynemxnemznemxnemynemy2nemynemznemxnemznemynemznemz2)+ (bűnφ)(0-nemznemynemz0-nemx-nemynemx0){\ displaystyle M = (\ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} + (1- \ cos \ varphi ) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} & n_ {y} ^ { 2} & n_ {y} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {z} és n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \ end {pmatrix}} + \ (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ {x} \\ - n_ {y} & n_ {x} & 0 \ vége {pmatrix}}}
|
.
Megjegyzések
Az M mátrixot rotációs mátrixnak nevezzük . Ez egy közvetlen ortogonális mátrix , ami azt jelenti, hogy oszlopai közvetlen ortonormális alapot képeznek, vagy hogy transzponált mátrixa megegyezik az inverz mátrixával, és hogy meghatározója egyenlő 1-vel.
Ezzel szemben bármely forgásmátrixra figyelve könnyen megtalálhatjuk a forgásszög koszinuszát. Valójában a mátrix nyoma (vagyis átlós elemeinek összege) egyenlő . Ezenkívül észrevesszük, hogy:
1+2kötözősalátaφ{\ displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}
M-tM=2(bűnφ)(0-nemznemynemz0-nemx-nemynemx0){\ displaystyle M - {} ^ {t} M = 2 (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ { x} \\ -n_ {y} & n_ {x} és 0 \ end {pmatrix}}}
ami lehetővé teszi a forgáshoz kapcsolódó tengely és szinusz gyors megtalálását. Geometriai szempontból, és alkotja a rombusz két oldalát, amelynek vektora átlós, merőleges a forgástengelyre. Ez a cukorka a Olinde Rodrigues .
MU→{\ displaystyle M {\ vec {U}}}
tMU→{\ displaystyle {} ^ {t} M {\ vec {U}}}
(M-tM)U→=2(bűnφ)NEM→∧U→{\ displaystyle (M - {} ^ {t} M) {\ vec {U}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ ék {\ vec {U}}}
Kvaternerek használata
Használhatjuk a kvaternionok fogalmát is . Valójában kiszámíthatjuk a vektor képét a kvaternerek szorzatával a következő formában:
V→{\ displaystyle {\ vec {V}} \,}
U→{\ displaystyle {\ vec {U}} \,}
|
(0, V→)=(0, R(φ,NEM→)(U→))=(kötözősalátaφ2, bűnφ2 NEM→)⋅(0, U→)⋅(kötözősalátaφ2, -bűnφ2 NEM→){\ displaystyle (0, \ {\ vec {V}}) = \ left (0, \ \ mathbf {R} _ {\ left (\ varphi, {\ vec {N}} \ right)} ({\ vec {U}}) \ right) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N}}) \ cdot ( 0, \ {\ vec {U}}) \ cdot (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ - \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N} })}
|
Két vektor forgatás összetétele
Két vektorfordulás és a 3. dimenzió terének összetétele egy vektorforgatás. Ez utóbbi jellemzőit abból a szempontból határozzuk meg , hogy hol van a kezdeti forgási mátrixok szorzata, vagy az egyes forgatásokat meghatározó kvaternerek szorzatából, vagy pedig az egyes forgásokra vonatkozó Rodrigues-képletek összeállításával .
R2∘R1{\ displaystyle R_ {2} \ circ R_ {1}}
R1=(NEM→1,φ1){\ displaystyle R_ {1} = ({\ vec {N}} _ {1}, \ varphi _ {1})}
R2=(NEM→2,φ2){\ displaystyle R_ {2} = ({\ vec {N}} _ {2}, \ varphi _ {2})}
(NEM→3,φ3){\ displaystyle ({\ vec {N}} _ {3}, \ varphi _ {3})}
M3-tM3{\ displaystyle M_ {3} - {} ^ {t} M_ {3}}
M3{\ displaystyle M_ {3}}
M2M1{\ displaystyle M_ {2} M_ {1}}
Megállapítottuk, hogy:
kötözősaláta(φ32)=kötözősaláta(φ12)kötözősaláta(φ22)-bűn(φ12)bűn(φ22)(NEM→1⋅NEM→2){\ displaystyle \ cos ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) - \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) ({\ vec {N}} _ {1} \ cdot {\ vec {N}} _ {2})}
bűn(φ32)NEM→3=kötözősaláta(φ12)bűn(φ22)NEM→2+kötözősaláta(φ22)bűn(φ12)NEM→1+bűn(φ12)bűn(φ22)NEM→2∧NEM→1{\ displaystyle \ sin ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {N}} _ {3} = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec {N}} _ {1} + \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} \ ék {\ vec {N}} _ {1}}
Forgások a 4. dimenzióban
A mátrixok a ortogonális csoport SO (4) hasonlóképpen tenni kanonikus formában (miután diagonalizáció a C ); bebizonyosodott, hogy két ortogonális vektorsík létezik, így ortonormális alapon, amely mindkét sík két vektorából áll, a mátrixot felírják
(kötözősalátaα-bűnα00bűnαkötözősalátaα0000kötözősalátaβ-bűnβ00bűnβkötözősalátaβ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ beta & - \ sin \ beta \\ 0 & 0 & \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}
.
Láthatjuk tehát, hogy a forgás két síkbeli forgatásból áll, és különösen nincs rögzített vektora (nincs „tengelye”), hacsak az α vagy β szögek valamelyike nulla (ebben az esetben beszélhetünk analógia a háromdimenziós esettel, a forgatás egy sík körül). Ha , a két sík egyedi, és csak ők az egyetlen forgásirányban invariáns síkok; abban az esetben, amikor (úgynevezett izoklin rotációk ) a vektor és képe által generált összes sík globálisan invariáns.
α≠β{\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}
α=±β{\ displaystyle \ alpha = \ pm \ beta}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Jean Dieudonné , Lineáris algebra és elemi geometria , Párizs, Hermann ,1964, 113. o. a matematikai tanulmányhoz, és lásd még az előszót: "Különösen azokra a hihetetlen zűrzavarokra és párhuzamokra gondolok, amelyekre olyan egyszerű fogalom adódik, mint a" szög ", amikor az a hagyományos nézőpontból történik. , akkor a lineáris algebra szempontjából ez nem más, mint a síkbeli forgáscsoport tanulmányozása. ", p. 13.
-
Olinde Rodrigues , " Geometriai törvények, amelyek a szilárd test térbeli elmozdulásait szabályozzák, és az ezekből az elmozdulásokból eredő koordináták variációja függetlenül az okokat okozó tényezőktől " , Journal of pure and alkalmazott matematika ,1840, P. 380-440, pontosabban p. 403
-
Olindes Rodrigues, op. cit., pontosabban p. 408
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső hivatkozás
A DCM használata
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">