Pitagorai hármas

A számtani , egy pithagoraszi triplett vagy Pitagoraszi triplett egy triplett ( a , b , c ) az egész számok nemnulla ellenőrzése Pitagoraszi kapcsolatot : . A legismertebb pitagorai hármas a (3, 4, 5). ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Ahhoz, hogy minden Pitagoraszi triplett van hozzárendelve egy háromszög az egész oldala egy , b , c , szükségszerűen téglalap a átfogója c , valamint egy téglalap egész oldalán egy , b , és az egész átlós c .

Történelmi

Az ilyen hármasok ismeretének legrégebbi felfedezett nyoma a Plimpton 322 tabletre nyúlik vissza , amely egyKr. E. 1800 J.-C.az ókori Irakban , amely 15 számpárt mutat, amelyeket ki lehet egészíteni úgy, hogy ma úgynevezett Pitagorai hármasokat alkossanak.

De a szakemberek nem mind értenek egyet, és a tabletta más értelmezését is javasolták.

Püthagorasz , a VI -én században, nem hagyott írott szöveg, és a különböző forrásokból vonatkozó ellentmondanak. Azonban szinte biztos, hogy ismerte a hármasot (3, 4, 5). A filozófus Proclus a Lycia , a V -én században írt kommentárjában a könyv azt a Elements of Euclid (írásbeli mintegy 300 BCE) tulajdonított Püthagorasz fedezte fel a képlet, hogy tudomásul vesszük, ma , ahol egy szigorúan pozitív egész szám. ${\ displaystyle (2n + 1,2n ^ {2} + 2n, 2n ^ {2} + 2n + 1)}$ $nem$

Szintén szerint Proclus, Platón tudta második család végtelen Pitagoraszi háromágyas: . ${\ displaystyle (n ^ {2} -1,2n, n ^ {2} +1)}$

Általános eset

A görögök által ismert két képlet azt mutatja, hogy Pythagoreus-hármasok végtelensége létezik, és hogy minden egy ilyen hármas része (az első formula magában foglalja a másodikat ). ${\ displaystyle \ geqslant 3}$ $2n + 1$ $2n$

Itt van egy tétel, amely képletet ad e hármasok halmazának generálására.

Tétel - A hármas ( a , b , c ) akkor és csak akkor Pythagoreus, ha két egész szám van , ${\ displaystyle 0 <q <p}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {p ^ {2} + q ^ {2}}}}

és

{\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {2pq} {p ^ {2} + q ^ {2}}}}

A klasszikus bizonyítás az egység kör racionális paraméterezését használja:

Demonstráció

Az A (–1, 0) ponttól megfosztott $x ² + y ² = 1$ egyenlet egységkörének paraméterezése az A-n áthaladó egyenes $t$ meredekségének felhasználásával és az M $( u , v )$ . M koordinátái ekkor: ${\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$ és ${\ displaystyle y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}}$ Valóban, ha (AM) $t$ meredeksége , akkor $y = t ( x + 1),$ és ekkor felírjuk a kör egyenletét ${\ displaystyle x ^ {2} -1 + t ^ {2} (x + 1) ^ {2} = 0}$ akkor az $x + 1$ , nem nulla egyszerűsítés és a kapott kifejezések átcsoportosítása után: ${\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$ azután ${\ displaystyle y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}}$ A szigorúan pozitív egész számokból álló hármas $( a , b , c )$ Pitagoraszi, ha és csak a koordináták M pontja $( a / c , b / c )$ az egységkör pontja. Ennek következményei a következők: ${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$ és ${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}}$ ahol $t$ , az egyenes meredeksége (AM), racionális $q / p,$ szigorúan 0 és 1 között, ami következtetni enged.

A primitív hármasok esete

A Pitagorasz triplett ( a , b , c ) azt mondják, hogy primitív , ha a három egész szám egy , b és c jelentése relatív prím egészére. Elég ahhoz, hogy kettő legyen az (mivel a számok közül kettőnél egy osztó prím osztja a harmadikat).

Végtelen számú primitív hármas van ( lásd alább ). Az első 16 növekvő c sorrendben azok, amelyek három tagja kisebb, mint 100:

(3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61.)	(13, 84, 85)
(5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
(8, 15, 17)	(9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73.)	(65, 72, 97)

Bármely pitagorai triplett ( a , b , c ) egy primitív pitagorai triplet egyedileg szorosan pozitív egész szám szorzata: ( a , b , c ) gcd- je .

Ha osztjuk c 2-vel , akkor kapjuk:

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1}

Más szavakkal, a primitív pythagoreuszi hármasok egytől egyig megfelelnek az egységkör pontjainak , racionális koordinátákkal , amelyeket redukálhatatlan formában adnak meg . ${\ displaystyle \ bal ({\ frac {a} {c}}, {\ frac {b} {c}} \ jobb)}$

Az összes primitív hármas leírására vonatkozó alapvető tétel

Ha ( a , b , c ) egy primitív pythagoreus-i hármas, akkor ( b , a , c ) is, és a vagy b páratlan. A következő tétel tehát jellemzi ezeket a hármasokat.

Van ekvivalencia a között

(i) primitív pythagoreuszi hármas páratlan. $(ABC)$ $nál nél$
(ii) Van egy pár szám, amelyek között p > q , p és q prím van, és amelyeknek különböző a paritása $(p, q) \ in \ mathbb {N} ^ {{* 2}}$ ${\ displaystyle a = p ^ {2} -q ^ {2}, \ quad b = 2pq \ quad {\ text {és}} \ quad c = p ^ {2} + q ^ {2}.}$

Demonstráció

A pythagoreus hármasok általános formája szerint ( lásd fent ), azok, amelyek primitívek, a forma hármasai ${\ displaystyle a = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {d}}, \ quad b = {\ frac {2pq} {d}}, \ quad c = {\ frac {p ^ {2} + q ^ {2}} {d}} \ quad {\ text {with}} \ quad p, q \ in \ mathbb {N}, \ quad 0 <q <p, \ quad d = \ operátor neve {pgcd} (p ^ {2} -q ^ {2}, p ^ {2} + q ^ {2}) \ közepes \ operátor neve {pgcd} (2p ^ {2}, 2q ^ {2})}$ és Az általánosság elvesztése nélkül , $p$ és $q$ prime közöttük, úgy, hogy $d$ egyenlő $1$ , vagy $2$ , attól függően, hogy $p$ és $q$ egymástól eltérő paritások vagy azonos paritású.

(i) ⇒ (ii) : Ha ezenkívül $egy$ páratlan, akkor $p$ és $q$ különböző paritások (mert ha mindketten páratlan, $egy$ lenne még, mint egy hányadost $d = 2$ az egész szám osztható $4$ ). Ebből következik, hogy $d = 1$ , ezért (ii) .
(ii) ⇒ (i) : Fordítva tegyük fel, hogy (ii) . Ekkor $( a , b , c )$ a fenti alakú, $d = 1$ és páratlan, tehát (i) . ${\ displaystyle a = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {1}}}$

Megjegyzések:

A családot Euklidész ismerte. ${\ displaystyle (p ^ {2} -q ^ {2}, 2pq, p ^ {2} + q ^ {2})}$
Egy primitív triplett ( a , b , c ) a egy páratlan, a pár ( p, q ) egyedülálló . ${\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {a + c} {2}}}, q = {\ sqrt {\ frac {ca} {2}}}}$
Az eset és p még azt is jelenti, hogy a 4 bármelyik számának többszöröse legalább egy primitív hármas része: (a fent megadott "Platón" család). $q = 1$ ${\ displaystyle 2p \ geqslant 4}$ ${\ displaystyle (p ^ {2} -1,2p, p ^ {2} +1)}$
A tétel feltevésével és újrafogalmazása a következő: ${\ displaystyle m = p + q}$ ${\ displaystyle n = pq}$

Tétel - egy primitív pythagoreuszi hármas páratlanul akkor és csak akkor, ha két páratlan egész van közöttük úgy, hogy

(ABC)

nál nél

{\ displaystyle m> n \ geqslant 1}

{\ displaystyle a = mn, \ quad b = {\ frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {2}} \ quad {\ text {és}} \ quad c = {\ frac {m ^ {2} + n ^ {2}} {2}}.}

Az eset azt sugallja, hogy bármely páratlan szám legalább egy primitív hármas része: (a család megegyezik a fent megadott Pythagoraséval). $n = 1$ ${\ displaystyle m \ geqslant 3}$ ${\ displaystyle (m, (m ^ {2} -1) / 2, (m ^ {2} +1) / 2)}$

Egy primitív pythagoreus triplet tulajdonságai

A primitív triplett a furcsa, mivel az előző tétel a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $(ABC)$ $nál nél$ ${\ displaystyle a = p ^ {2} -q ^ {2}, b = 2pq, c = p ^ {2} + q ^ {2}}$

b értéke 4 többszöröse (ezért a 4 k + 2 formájú egész szám nem tartozik egy primitív pythagorasi tripletthez);
a és b pontosan egy egész száma 3-szorosa;
a , b és c pontosan egy egész száma az 5-ös többszöröse;
a hozzá tartozó háromszög derékszögéből adódó magasság nem egész; ${\ displaystyle h = ab / c}$
a társított háromszög területe (amely definíció szerint egybevágó szám ) nem négyzet: ez Fermat tétele a derékszögű háromszögeken ; ${\ displaystyle S = ab / 2}$
vannak olyan hármasok, ahol a és c elsődlegesek, például (5, 12, 13), de nem tudjuk, hogy van-e köztük végtelen (vö . az OEIS A067756 szekvenciájával );
c elsődleges tényezői 4 k + 1 formájúak , tehát c is , mint két, a köztük levő négyzet bármely páratlan összege esetén ;
fordítva, a 4 k + 1 alakú prímszámok bármely szorzata egy primitív pythagoreus triplet harmadik tagja (vö . az OEIS A008846 szekvenciájával );
${\ displaystyle {\ tfrac {ca} {2}} = q ^ {2}}$ és négyzetek; ${\ displaystyle cb = (pq) ^ {2}}$
az előző tulajdonság fordítottja hamis, amint azt a hármas mutatja (1, 8, 9);
az a , b , c három szám közül legfeljebb egy négyzet;
az a , b és c egész szám nem lehet egyszerre n- edik hatvány ( Fermat nagy tételének következménye !) ${\ displaystyle n \ geqslant 2}$
a p és q egész számokat a kapcsolódó háromszögben értelmezzük a képlettel , mivel (lásd a szemközti ábrát); ; ${\ displaystyle \ tan {\ frac {B} {2}} = {\ frac {q} {p}}}$ ${\ displaystyle \ tan B = {\ frac {2pq} {p ^ {2} -q ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ frac {p + q} {qp}} = {\ frac {m} {n}}}$
a beírt kör sugara az egész ; a három leírt kör sugara az egész szám , és ; például a triplett (3, 4, 5) esetében p = 2 és q = 1; az egymást követő sugarak 1, 2, 3 és 6; ${\ displaystyle r = {\ frac {ab} {a + b + c}} = q (pq)}$ ${\ displaystyle r_ {A} = {\ frac {ab} {- a + b + c}} = p (pq)}$ ${\ displaystyle r_ {B} = {\ frac {ab} {a-b + c}} = q (p + q)}$ ${\ displaystyle r_ {C} = {\ frac {ab} {a + bc}} = p (p + q)}$
a körülírt kör átmérője egyenlő c-vel .

Algebrai és geometrikus generáció

Berggren azt mutatta 1934-ben, hogy bármely korai Pitagoraszi triplett lehet beszerezni a triplett (3, 4, 5) ismételt alkalmazásával , és a , a: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \\\ end {pmatrix} } \ quad {\ mathcal {R}} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\\ end {pmatrix}} \ quad {\ mathcal {R}} _ {3} = {\ kezdődik {pmatrix} -1 & 2 & 2 \ \ -2 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 3 \\\ end {pmatrix}}}$

Sőt, ez a bomlás egyedülálló.

Geometriai szempontból a hármas ( a, b , c ) szorzata megfelel a pontban elvégzett construction konstrukciónak , ahol: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ bal ({\ frac {a} {c}}, {\ frac {b} {c}} \ jobb)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$ a szimmetria az y tengelyhez képest;
${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {2}}$ az O központ szimmetriája;
${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ szimmetria az x tengelyhez képest;
és Φ az egységkör alkalmazása önmagában, amely az M bármely ponton M-hez társítja az M és a P (1,1) keresztező egyenes metszéspontját . ${\ displaystyle {\ mathcal {(}} C)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {(}} C)}$

Példák

${\ displaystyle (77,36,85) = {\ mathcal {R}} _ {3} \ circ {\ mathcal {R}} _ {2} (3,4,5)}$
${\ displaystyle (85,132,157) = {\ mathcal {R}} _ {1} \ circ {\ mathcal {R}} _ {3} \ circ {\ mathcal {R}} _ {3} (3,4,5 )}$

Sűrűség

Ha megjegyezzük, hogy a harmadik tag primitív pythagoreusai hármasai kisebbek, és az ilyen összegű hármasok száma kevesebb , Derrick Norman Lehmer (in) 1900-ban megmutatta, hogy amikor a végtelenbe hajlik, és . ${\ displaystyle N_ {c} (n)}$ $nem$ ${\ displaystyle N_ {s} (n)}$ $nem$ $nem$ ${\ displaystyle N_ {c} (n) \ sim {\ frac {n} {2 \ pi}}}$ ${\ displaystyle N_ {s} (n) \ sim {\ frac {\ log 2} {\ pi ^ {2}}} n}$

Színező problémák

Mondhatjuk a készlet természetes egész számok, mint a gráf , amelynek csúcsai a számok, és úgy, hogy a csúcsokat összekötve egy él azok, amelyek ugyanahhoz a triplett.

Ezért arra vagyunk kíváncsiak, hogy lehet-e úgy színezni a grafikont , hogy ugyanazon hármas elemei ne egyformák legyenek.

Más szavakkal, megpróbáljuk kiszínezni a grafikont, hogy ne legyen monokróm három kattintás . Ezt a problémát eredetileg Erdős Paul és Ronald Graham jelentette .

Két színre korlátozva 2016-ban megmutatták, és a Coq-nak köszönhetően 2019-ben igazolták , hogy csak az első 7824 egész számra lehet felmenni.

Három különböző szín használatával megengedett színezhetõ az elsõ 11066 egész, de ezen túl a probléma nyitott marad.

A Pitagorasz-hármasok vizualizációja

A komplex függvény ${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2}}$ stabilan hagyja a Gauss-számok Z [ $i$ ] gyűrűjét . Minden egyes pont a kép a Z [ $i$ ] az ezen funkció megfelel egy pitagoreusi hármas (sőt ,, és ). Ez a megjegyzés a pythagoreuszi hármasok vizualizációját és magyarázatot ad a példázatok jelenlétére a szemközti szóródási ábrán. ${\ displaystyle (p + q \ mathrm {i}) ^ {2} = p ^ {2} -q ^ {2} + 2pq \ mathrm {i}}$ ${\ displaystyle (p ^ {2} -q ^ {2}) ^ {2} + (2pq) ^ {2} = (p ^ {2} + q ^ {2}) ^ {2}}$

Alkalmazások

A csomózott kötél felhasználható derékszögek konstruálására egy háromszög megrajzolásával, amelynek oldalhossza a pitagorasi triplet eleme.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Pitagorai hármas " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Megjegyzések

Az első húsz egész számra ilyen színezésre példa: 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13 , 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Például észrevesszük, hogy a ( 3 , 4, 5) és (5, 12 , 13 ) hármasok valóban nem fekete-fehérek.
Általában 12 intervallumot használunk, amelyek a 3., 4. és 5. hosszúság három oldalát alkotják.

Hivatkozások

Goichot, " Tablette Plimpton 322 " , a Le Portail des IREM-en ,2016, áttekintette Christine Proust , 2017.02.
Christine Proust „ Plimpton 322 keresve hatvanas téglalapok, a mezopotámiai változata a keresést a” Pythagorean háromágyas „ ” , a kép a matematika ,2015. november 15(megtekintés: 2020 augusztus ) .
Jean-Paul Delahaye : " A pitagoreai hármasok arcanájában ", Pour la science , n o 514,2020 augusztus, P. 80–85 ( online olvasás ).
Lásd például Pierre Guillot, L1 matematika tanfolyam , coreEdition, 11. o. 229 .
Gérard Villemin , " Mennyiség hármasok " ,2020. március 15.
Jean Dieudonné , Az emberi szellem tiszteletére: a matematika ma , Hachette ,1988, 298 p. ( ISBN 978-2-01-011950-7 , OCLC 20000703 ) , p. 94. o.
(en) Wacław Sierpinski , Pitagorasz-háromszögek , Dover ,2003( 1 st szerk. 1962) ( olvasott sort ) , p. 4-7.
(in) John Stillwell , A számelmélet elemei , Springer , al. "Matematika egyetemi szövegek",2003( online olvasható ) , p. 112.
A bemutatót lásd például: Sierpiński 2003 , p. 4 vagy a Wikiverzió számtanórájának helyesbített gyakorlata .
(en) RD Carmichael , Diophantine elemzés ,1915( online olvasható ) , p. 13..
Sierpiński 2003 , p. 6.
Carmichael 1915 , p. 17 (Gyakorlatok: 1.).
(Sv) B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi , vol. 1934, 17. o. 129-139 .
André Stoll, „ Pitagorai hármasok geometriai és algebrai generációi ”, L'Ouvert , n os 100–101,2000. szeptember, P. 1 ( olvassa el online [PDF] ).
(in) DN Lehmer, " Néhány totsens összeg aszimptotikus értékelése " , Amer. J. Math. , vol. 22,1900, P. 293-335 ( JSTOR 2369728 ).
Shalom Eliahou és Jean Fromentin, " Pitagorasz és keverék " , a matematika képeiről ,2017. június 21(megtekintés: 2020 augusztus ) .
(in) [video] Numberphile , The Problem with 7825 a YouTube-on .
(in) " Mindenki képes megjeleníteni a pitagorasi hármasot " , a YouTube-on .

Lásd is

A Fermat utolsó tétele azt mutatja, hogy ilyen hármasok nem léteznek, ha az a , b , c hatványosa 3-nál nagyobb vagy egyenlő egész szám.
Niven (en) tétel