Euklidész
elemeinek
I. könyve
Az Euklidész Elemeinek I. könyve megalapozza a könyv további részét. Tartalmaz :
- 35 szókincsdefiníció;
- 5 kérés (vagy Proclos szerint posztulál ) és egy apokrif ;
- 5 közös fogalmak (vagy axiómák szerinti Proclos), továbbá négy Apocrypha;
- 48 javaslat.
A meghatározások
Y jelentése a ponton , a vonal (amely Euclid csak egy szegmense egy egyenes vonal), a szögek , a kör , a háromszög , a négyzet , a téglalap , a párhuzamosok . Íme néhány a definíciók közül:
-
1. definíció , a lényeg az, hogy a rész nulla.
-
A 2. definíció szerint egy vonal szélesség nélküli hosszúság.
-
A 4. definíció szerint az egyenes az, amely szintén a pontjai közé kerül.
-
A 8. definíció szerint egy sík szög két olyan vonal kölcsönös dőlése, amelyek egy síkban érintkeznek, és amelyek nem azonos irányban helyezkednek el.
-
A 9. definíció , ha a szöget magában foglaló egyenesek egyenesek, a szöget egyenesnek nevezzük.
-
A 10. definíció , amikor egy vonalra eső vonal két egymást követő egyenlő szöget zár be, akkor az egyenlő szögek mindegyike derékszögű, és a fent elhelyezett vonalról azt mondják, hogy merőleges arra, amelyre ráhelyezték.
-
A 11. definíció szerint a tompaszög nagyobb, mint egy egyenes.
-
A 12. definíció szerint az éles szög az, amely kisebb, mint egy egyenes.
-
A 15. meghatározás szerint egy kör egy síkidom, amelyet egyetlen egy kerületnek nevezett vonal alkot, és az ebben az ábrán elhelyezett egyik pont kerületéhez vezető összes egyenes egyenlő egymással.
-
A 16. definíció szerint ezt a pontot a kör középpontjának nevezzük.
-
A 17. definíció szerint a kör átmérője egy egyenes, amelyet a központ vezet, és amely mindkét oldalon a kör kerületével végződik, az átmérő két egyforma részre osztja a kört.
-
24. definíció : A háromoldalú ábrák közül az egyenlő oldalú háromszög három oldalának egyenlő.
-
A 25. definíció , az egyenlő szárú háromszög, amelynek csak két egyenlő oldala van.
-
A 27. definíció , […], a derékszögű háromszög derékszögű.
-
30. meghatározás : A négyszög alakú ábrák közül a négyzet egyenlő és téglalap alakú.
-
A 31. definíció , a téglalap, az a téglalap alakú, és nem egyenlő oldalú.
-
A 35. meghatározás szerint a párhuzamok egyenesek, amelyek ugyanazon a síkon helyezkednek el, és mindkét oldalon a végtelenségig terjednek, és egyik oldalon sem találkoznak.
Kérések
Ezek Euklidész híres posztulátumai, amelyek közül az ötödik a leghíresebb. (Mi beszélni vele posztulátum Euclid , az axióma Euclid , hogy posztulátum , stb Ez egyenértékű a axiómának a párhuzamok .)
-
1. kérés , Két pont között mindig húzhatunk egy vonalat.
-
2. kérés: Mindig határozatlan ideig meghosszabbíthatunk egy két pont között húzott vonalat.
-
3. kérés , egy adott ponttól és hossztól indulva, mindig rajzolhatunk egy kört.
-
4. kérés : Minden derékszög egyenlő egymással.
-
Kérdezd meg az 5. kérdést : Ha egy olyan vonal, amely két vonalra esik, ugyanazon oldal belső szögeit két vonalnál kisebbre teszi, akkor ezek a végtelenségig kinyújtott vonalak azon az oldalon találkoznak, ahol a szögek két jobbnál kisebbek.
A közös meghatározások és fogalmak a kört és az egyeneset részesítik előnyben. Euklidész geometriája tehát lényegében a vonalzó és az iránytű szerkezetekhez fog kapcsolódni .
Általános elképzelések
Azt állítják, a tranzitivitást az egyenlőség, az a tény, hogy az esélyegyenlőségi vagy egyenlőtlenség megmarad ha hozzátesszük, vagy ha levonjuk azonos mennyiséget a két tagjának egyenlőség vagy egyenlőtlenség. Az utolsó általános elképzelés szerint az egész nagyobb, mint a rész .
Javaslatok
Ezek a javaslatok a következő kérdésekkel foglalkoznak:
- Elemi konstrukciók. Az első három tétel néhány elemi konstrukciót ír le: egy adott oldalú egyenlő oldalú háromszög felépítése (1. javaslat), egy adott középpontú és adott sugárú kör felépítése (2. javaslat), az adott CD szegmensből vonjon le egy adott AB szegmenst ( 3. javaslat)
- A háromszögek egyenlőségének eseteit a 4. javaslat (a háromszögek egyenlőségének első esete: két oldal és a két oldal közötti szög egyenlő a két háromszögben), a 7. és a 8. javaslat (a háromszögek egyenlőségének második esetét: három) azonos hosszúságú oldalak a két háromszögben), 26. javaslat (a háromszögek egyenlőségének harmadik esete: két szög és egy oldal egyenlő).
- Az egyenlő szárú háromszög : az 5. és 6. támasz azt mutatja, hogy egy háromszögnek akkor és csak akkor van két egyenlő oldala, ha két egyenlő szöge van.
- Különböző konstrukciók. Bizonyos számú javaslat elmagyarázza, hogyan lehet továbbmenni a geometriai objektumok felépítéséhez: egy szög felezője (9. támasz), egy szegmens középpontja (10. támasz), az adott ponton áthaladó egyenesre merőleges , a háromszög, amelynek oldalhosszai meg vannak adva (22. javaslat), egy szög megegyezik egy adott szöggel (23. javaslat).
- A szögek . A 13–19. Javaslatok például szögekkel foglalkoznak: egy háromszög két szöge kisebb, mint két egyenes (17. javaslat); egy háromszögben egy nagyobb oldal áll szemben egy nagyobb szöggel (18. javaslat); két két egyenlő oldalú háromszög, az egyik alapja akkor és csak akkor nagyobb, mint a másik alapja, ha az első tetején lévő szög nagyobb, mint a másik tetején lévő szög (24. és 25. támasz).
-
Háromszög egyenlőtlenség : a 20. javaslat bizonyítja a háromszög egyenlőtlenséget
Ez az első 26 tétel nem vonzza Euklidész ötödik , párhuzamokkal kapcsolatos posztulátumát . Ugyanez nem mondható el az ezt követő, és ezt a posztulátumot használó javaslatokról.
- A párhuzamok tulajdonságai . Ha egy két vonalra eső vonal a váltakozó szögeket egyenlővé teszi egymással, akkor ez a két egyenes párhuzamos lesz (27. és 28. javaslat), és fordítva, ha egy két párhuzamosra eső egyenes egyenlővé teszi az alternatív szögeket (29. javaslat ). Az azonos vonallal párhuzamos vonalak párhuzamosak egymással (30. javaslat). A 31. javaslat elmagyarázza, hogyan lehet párhuzamot felépíteni egy adott vonalon, amely áthalad egy adott ponton.
- A háromszög szögeinek összege. A 32. javaslatban bizonyítjuk, hogy egy háromszög szögeinek összege egyenlő két joggal.
- Parallelogram tulajdonságai . A két azonos hosszúságú párhuzamos szegmens csúcsait összekötő szegmensek egymással párhuzamosak és azonos hosszúságúak (33. javaslat); a paralelogramma ellentétes oldalai és szögei egyenlőek egymással, és az átló két egyenlő részre osztja (34. javaslat); két azonos hosszúságú és azonos párhuzam között épített paralelogramma azonos területtel rendelkezik (35. és 36. javaslat). A 42–45. Javaslatok elmagyarázzák, hogyan lehet egy paralelogrammát egy adott háromszög területével megegyező, vagy egy adott sokszög területével megegyező felépíteni.
- A háromszögek tulajdonságai. Két azonos alapú háromszög akkor és csak akkor azonos területtel rendelkezik, ha azonos magasságúak (prop. 37–40). Ez a terület a fele a megfelelő paralelogrammának (41. javaslat).
- Négyzet építése . A 46-os javaslat adja.
-
Pitagorasz-tétel . Az I. könyv ennek a tételnek a bizonyítékával (47. javaslat) és annak fordítottjával (48. javaslat) zárul.
Bibliográfia
-
Les Œuvres d'Euclide , F. Peyrard fordítása, Párizs (1819), új nyomtatás: Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
- Euclide ( ford. Bernard Vitrac), Az elemek [ a kiadások részlete ]
Külső linkek
Dokumentumok online a BNF Gallica honlapján