Az affin geometria , párhuzamosság egy olyan tulajdonság vonatkozó sorokat , hogy sík vagy általánosabban affin altér . A fogalom a párhuzamosság eredetileg megfogalmazott Euklidész ő Elements , de a prezentáció az idők során kifejlődött, mozgó axiomatikus definíciót egy egyszerű definíciót.
A párhuzamosság fogalmát bevezették Euklidész Elemeinek I. könyvébe . Az Euklidész számára egy vonal inkább egy szakaszra hasonlít .
Az 5. előfeltevés : "Ha egy két egyenesre eső vonal miatt az ugyanazon az oldalon lévő belső szögek kisebbek, mint két derékszög, akkor ezek a végtelenül kinyújtott egyenesek találkoznak azzal az oldallal, ahol a szögek két jognál kisebbek. »Lehetővé teszi a bizonyítást:
Ha az 5. posztulátum lehetővé teszi számunkra, hogy bemutassuk a megszokott térünk minden szokásos tulajdonságát, akkor is tény, hogy kevésbé tűnik „nyilvánvalónak”, mint a többi, és hogy sok kísérletet tettek egyszerűbb posztulátumokból történő bemutatására. Ismételt kudarcuk volt az, ami végül a nem euklideszi geometriák felfedezéséhez vezetett .
A geometria elemében (1765) Clairaut két párhuzamos vonalat definiál, amelyek egymástól egyenlő távolságra vannak. Az a tény azonban, hogy a vonaltól egyenlő távolságban lévő görbe önmagában egy vonal, olyan tulajdonság, amelynek igazolásához Euklidész ötödik posztulátumának elfogadása szükséges (a hiperbolikus geometriában ez a tulajdonság egy új görbék családját, a hiperkerékeket határoz meg ).
A modern geometria az affin geometria keretein belül határozza meg a párhuzamosság fogalmát.
Az egyeneset egy pont és egy irányvektor határozza meg. Két vonal akkor mondható párhuzamosnak, ha irányvektoruk kollineáris . Ezután úgy tűnik, hogy két egyesített vonal párhuzamos e meghatározás szerint, miközben nem az Euklidész definíciója szerint történt. Két különálló párhuzamos vonalat nevezünk szigorúan párhuzamosnak.
Ha elfogadjuk, hogy az egybeeső vonalakat párhuzamosnak tekintsük, akkor a párhuzamosság viszonya:
Ez lehetővé teszi azt mondani, hogy a párhuzamossági reláció egy ekvivalencia reláció, amelynek ekvivalencia osztályai a vonalak irányai .
Egy affin térben két síkot határoz meg egy pont és két nem kollináris irányú vektor.
Két sík párhuzamos akkor, ha a négy irányba vektorok egy síkban . A 3. dimenziós térben két sík párhuzamos (közös vagy összekevert pontok nélkül), vagy egyenes mentén metszik egymást.
Egy vonal akkor és csak akkor párhuzamos a síkkal, ha a három irányvektor (mind a sík, mind a vonalé) egy sík (ezzel a definícióval a síkban lévő egyenes párhuzamos vele). A 3. dimenziós térben, adott egyenes és egy sík mellett, vagy az egyenes párhuzamos a síkkal, vagy a vonal és a sík szekundáns egy pont mentén. Az előzőekkel ellentétben a jobb / sík párhuzamosság viszonya nem transzitív; így két sík párhuzamos lehet ugyanazzal a Δ egyenessel anélkül, hogy párhuzamos lenne egymással (de akkor metszésvonaluk párhuzamos lesz a Δ-vel).
jegyzetEllentétben azzal, ami a síkban történik (a 2. dimenzió affin terében), a 3. dimenzió két térvonala nem keresztezheti egymást párhuzamosan. Két ilyen vonalat (más szóval: két nem koplanáris vonalat) bal vonalnak nevezünk .
A p- dimenziós affin altér meghatározása egy ponttal és egy p- dimenziós vektor altérrel történik, amelyet az affin tér irányának nevezünk. A p dimenzió két affin altere akkor és csak akkor párhuzamos, ha ugyanaz az vektor altér van, mint az irány. Két párhuzamos affin altér diszjunkt vagy összekeveredik.
A párhuzamossági reláció ekvivalencia reláció marad a p dimenzió affin alterületein . Általánosságban elmondható, hogy a megfelelő p és q dimenziójú két affin altér , ahol p < q , párhuzamosnak mondhatók, ha az első iránya a második irányának vektoros altere (de ez az utolsó összefüggés nem relációekvivalencia) .