Függőlegesség

A négyzet (a latin per-inga , " plumb ") mindkét entitás jellege, amelyek egymásra merőlegesen metszenek . Merőlegességi fontos tulajdonsága a geometriában és a trigonometria , egy ága matematikai alapuló jobb háromszögek , felruházva különös tulajdonságok köszönhetően a két merőleges szegmens .

A síkgeometria két vonal merőleges mikor metszik derékszögben. A fogalom a merőlegesség kiterjed a térben vonalak vagy síkok .

Az ortogonalitás és a merőlegesség fogalma , bár hasonló, megvan a maga sajátossága, és nem szabad összetéveszteni.

Síkgeometriában

Az euklideszi geometriában két nem párhuzamos vonal mindig szekundáns. Amikor derékszögben (azaz négy derékszögben) keresztezik egymást, akkor azt mondják, hogy merőlegesek. A vonalak irányai merőlegesek , a vonalakat merőlegesnek is mondják. Másrészt két szegmensnek lehet ortogonális iránya anélkül, hogy egymást metszenék. Csak akkor mondjuk merőlegesnek, ha a szegmensek derékszögben keresztezik egymást.

A síkban egy adott ponton keresztül csak egy egyenes halad merőlegesen egy adott vonalra.

A síkban a merőleges és párhuzamos vonalak fogalmát a következő tulajdonságok kapcsolják össze:

Ha két egyenes merőleges, akkor az egyik párhuzamos egyenes merőleges a másikra.
Ha két vonal párhuzamos, akkor az egyikre merőleges egyenes merőleges a másikra.
Ha két egyenes merőleges ugyanarra az egyenesre, akkor párhuzamosak egymással.

Ha a sík ortonormális koordinátarendszerrel van ellátva [feltételezhetjük, hogy megszereztük a Pitagorasz-tételt , az ábrán szemközti feltételen keresztül megtalálhatjuk a klasszikus feltételt (ac + bd = 0) úgy, hogy két u (a, b) vektor és v (c, d) merőlegesek (derékszögűnek is mondjuk)], és ha a vonalakat az és és az egyenletek határozzák meg , akkor az egyenesek akkor és akkor merőlegesek, ha az aa ' vezető együtthatójuk szorzata egyenlő -1-vel. $y = ax + b$ ${\ displaystyle y = a'x + b '}$

Ha a síknak ortonormális koordinátarendszere van, és ha a vonalakat az és és az egyenletek határozzák meg , akkor az egyenesek csak akkor merőlegesek . ${\ displaystyle ax + + + c = 0}$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ ${\ displaystyle aa '+ bb' = 0}$

Megjegyezzük a merőlegességet a szimbólummal ; így azt jelzi, hogy a PQ szakasz merőleges az AB szegmensre. $\ perp$ ${\ displaystyle PQ \ perp AB}$

Háromdimenziós térben

Merőleges vonalak

A tér két vonala akkor és csak akkor merőleges, ha derékszögben keresztezik egymást. Az űrben a nem párhuzamos vonalak nem keresztezhetik egymást. Ha az egyik vonalak párhuzamos vonal merőleges a másik, akkor a két vonal azt mondják, hogy ortogonális . Csak akkor mondjuk merőlegesnek, ha szekundánsak.

A térben, ha egy vonalat adunk meg, és ha egy olyan pontot adunk meg, amely nem az egyenesen van, akkor csak egy vonal halad át az adott ponton és merőleges az adott egyenesre. Ha a pont a vonalon helyezkedik el, akkor ezen a ponton áthaladó és az adott egyenesre merőleges vonalak végtelenek vannak.

Az űrben a párhuzamok és a merőlegesek fogalmai már nincsenek annyira összekapcsolva.

Ha két egyenes merőleges, akkor az egyik párhuzamos egyenes csak merőleges a másikkal. Csak akkor lesz merőleges a másikra, ha elvágja.
Ha két egyenes párhuzamos, akkor az egyikre merőleges egyenes csak merőleges a másikra. Csak akkor lesz merőleges a másikra, ha elvágja
Két vonal merőleges lehet ugyanarra az egyenesre anélkül, hogy párhuzamos lenne, elegendő például a kocka sarkának széleit tartó három vonal felvétele .

Síkra merőleges vonal

A térben, ha egy vonal nem párhuzamos egy síkkal, akkor mindig metszik ezt a síkot. Ha az egyenes merőleges a sík két metsző egyenesére, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes merőleges a síkra. Ekkor a vonal merőleges lesz a sík összes vonalára. Ez a tulajdonság néha az ajtó tétel , mert megmagyarázza, hogy miért egy ajtó kapcsolja be a csukló, ha a forgástengelye merőleges a földre.

A térben egy adott ponton keresztül csak egy, az adott síkra merőleges és csak egy adott vonalra merőleges vonal halad át.

Ezután érdekesebb összefüggéseket találunk merőlegesen és párhuzamosan

Ha egy vonal merőleges egy síkra, akkor az elsővel párhuzamos bármely vonal merőleges a síkra is, az előtérrel párhuzamos bármely sík merőleges az egyenesre is
Ha két vonal párhuzamos, akkor az egyikre merőleges sík merőleges a másikra. Ha két sík párhuzamos, akkor az egyikre merőleges egyenes merőleges a másikra.
Ha két sík merőleges ugyanazon egyenesre, akkor párhuzamosak. Hasonlóképpen, ha két egyenes merőleges ugyanarra a síkra, akkor párhuzamosak.

A felületre merőleges irányt egy pontban gyakran a felszínre merőlegesnek , vagy merőlegesnek nevezzük .

Merőleges síkok

A merőleges síkok fogalma, bár intuitív, nagyon veszélyes, mert gyakorlatilag nincsenek tulajdonságai. A merőleges síkok fogalmának megértéséhez vissza kell térnünk a merőleges ( plumb line ) első meghatározásához, valamint a függőleges sík és a vízszintes sík fogalmához . A vízszintes sík a vízvezeték irányára merőleges sík. A függőleges sík egy olyan sík, amely tartalmazza a vízvezeték irányát. Azt mondják, hogy egy függőleges sík merőleges a vízszintes síkra.

Ebből az első elképzelésből születik a következő meghatározás: Egy sík merőleges a másikra, ha tartalmaz egy merőlegest a második síkra. Bizonyítjuk, hogy ez a kapcsolat szimmetrikus.

A 3. dimenzióban nincs fogalom az ortogonális síkokról. Két sík merőleges lenne, ha az előtér bármely iránya merőleges lenne a második sík bármelyik irányával, ami anyagilag lehetetlen.

Óvakodnunk kell a merőleges síkok fogalmától. Például :

két merőleges sík tartalmazhat párhuzamos vonalakat
a harmadikra merőleges két sík nem feltétlenül párhuzamos (lásd a kocka lapjait ).

Van azonban még néhány tulajdonság

Ha két sík merőleges, akkor az egyik párhuzamos sík merőleges a másikra
Ha két sík párhuzamos, akkor az egyikre merőleges sík merőleges a másikra.

A merőleges alterek általános fogalma bármely dimenzióban

Az euklideszi térben két vektor alteret állítólag ortogonálisnak tekintünk, ha az egyik bármelyik vektor merőleges a másik bármelyik vektorára. Ezután automatikusan közvetlenül összegeznek . Így a háromdimenziós euklideszi tér két síkja nem lehet ortogonális.

Két vektor alterületet merőlegesnek mondunk, ha azok ortogonális kiegészítő területei merőlegesek. Így a háromdimenziós tér két vektorsíkja merőleges, ha normális vonalaik merőlegesek.

Megjegyzések és hivatkozások

Serge Lang, Lineáris algebra 1 , interedíciók, p. 13. és 17.