Sík forgása

A in- sík geometriája , a síkon belüli elfordulás egy átalakulás , amely forog a számok körül pontot és egy bizonyos szögben . Ez az átalakulás izometria, mert a távolságokat megtartják. Az ábra nem torzult vagy nőtt.

A forgatás magában foglalja az orientált szög fogalmát .

Definíció, tulajdonságok és jellemzések

Meghatározás

Meghatározás Az orientált síkban, a forgás központja C és a szög

θ

az átalakulás, amely elhagyja a C invariáns, és amely átalakítja bármely ponton M elkülönülő C pontba jusson M ' olyan, hogy

{\ displaystyle CM = CM '{\ text {et}} \ ({\ overrightarrow {CM}}; {\ overrightarrow {CM'}}) = \ theta}

A legklasszikusabb forgatások

közvetlen negyedfordulatok - a derékszög forgása az óramutató járásával ellentétes irányba (azaz az óramutató járásával ellentétes irányba),
közvetett negyedfordulatok - az óramutató járásával megegyező irányú derékszög forgása,
a forgatások lapos szögben, amelyek megfelelnek a központi szimmetria és a homothety ratio -1,
a nulla szög elforgatása, amelynek középpontjától függetlenül az azonosság .

Egy pont képének elforgatással történő elkészítése

Rajzolja a kört C középponttal és sugárral [ CM ].
Helyezzük erre a körre az M ' pontot , amely M képe ennek a forgatásnak az . $(\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CM '}) = \ theta$

A forgást egy középpont és egy pont képe is meghatározhatja: ha C egy pont, és A és A ' C két különálló pontja, így CA = CA' , akkor a C középpontnak egyedi forgása létezik, és amely átalakítja A a A ' . A szög ekkor a forgás szöge. $(\ overrightarrow {CA}; \ overrightarrow {CA '})$

Tulajdonságok

1. tulajdonság A szegmens [ AB ] képe egy olyan szegmens [ A'B ' ], amely | AB | = | A'B ' |. 2. tulajdonság A kép egy kör C középpontú O és sugara r egy kör C „középpontú O” , a kép a O , és sugara azonos r . 3. ingatlan, amelyet "megőrzésnek" neveznek A forgatás megtartja:

A hosszak;
szögek (a szög képe azonos amplitúdójú szög);
párhuzamok (két párhuzamos vonal képe két párhuzamos vonal);
területek (az ábra képe azonos területű ábra).

A forgatás tehát megőrzi a távolságokat, vagyis M'N '= MN . Ezért izometria. Ezért megőrzi az igazításokat, szögeket és versenyeket. Megtartja a tájolást is: ha az ABC közvetlen háromszög, akkor A'B'C ' egyenes háromszög is.

Fontos, hogy megtaláljuk a vektor és a kép közötti forgásszöget is :

Tüntetések

A CMN és CM'N ' háromszögek izometrikusak, azonos tájolással, mert

{\ displaystyle CM = CM '}

{\ displaystyle CN = CN '}

(\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CN}) = (\ overrightarrow {CM}; \ overrightarrow {CM '}) + (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '}) + (\ overrightarrow {CN '}; \ overrightarrow {CN}) = \ theta + (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '}) - \ theta = (\ overrightarrow {CM'}; \ overrightarrow {CN '})

Tehát különösen

{\ displaystyle MN = M'N '}

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {MC}) = (\ overrightarrow {M'N '} \ overrightarrow {M'C})

A szögek Chasles-relációja lehetővé teszi az alábbiak írását:

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {M'N '}) = (\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {MC}) + (\ overrightarrow {MC}; \ overrightarrow {M'C}) + (\ overrightarrow {M'C}; \ overrightarrow {M'N '})

a két szélső szög kioltja egymást, és a középen lévő egyenlő to-vel

(\ overrightarrow {MN}; \ overrightarrow {M'N '}) = \ theta

Egyéb jellemzés

Egy forgást tehát két pont képével lehet jellemezni: legyen A és B két különálló pont, és A ' , B' két pont, úgy, hogy AB = A'B '- val , egyedülálló r forgás létezik, amely A- t A- vé alakítja. " és B- től B-ig" . Ez a szögelfordulás és az [AA '] és [BB'] merőleges felezőinek metszéspontja (ha keresztezik) vagy az (AB) és az [AA '] merőleges felezőinek metszéspontja (ha a a merőleges felező nem szekundáns ). Nem szükséges ismerni a forgás középpontját az M pont M 'képének felépítéséhez (különbözik A-tól), mert ez megfelel a következő két feltételnek: $\ overrightarrow {AB} \ neq \ overrightarrow {A'B '}$ $\ theta = (\ overrightarrow {AB}; \ overrightarrow {A'B '})$

AM = A'M '

(\ overrightarrow {AM}; \ overrightarrow {A'M '}) = \ theta

amelyek egyértelműen meghatározzák

Megjegyzés: Ha az egyik merőleges felező nem létezik, ami akkor következik be, amikor A és A 'vagy B és B' összekeverednek, akkor a középpont azonnali: esettől függően A vagy B.

Invarancia forgatással

Néhány alak forgatással változatlan. Ez a helyzet például az O középponttal rendelkező négyzettel , amely invariáns az O középpontú forgatással és derékszögű vagy lapos szöggel, vagy az egyenlő oldalú háromszöggel, amelynek O középpontja invariáns a forgatással, amelynek szöge 120 °. Ezután azt mondjuk, hogy ezek az ábrák szimmetriájúak a 4-es (négyzet esetén) vagy 3-as (a háromszög) sorrendben. A forgás sorrendje megfelel a kiindulási ponthoz való visszatéréshez szükséges forgatások számának.

A szabályos sokszög az n oldala van szimmetria érdekében n . Vannak olyan n szimmetriájú ábrák, amelyeknek nincs tengelye vagy szimmetriaközpontja. Ez a helyzet például a Triskell esetében, amelynek szimmetriája három fokozatú (a fekete / fehér váltakozás miatt a Taijitu , Yin Yang szimbóluma nem rendelkezik a második rend szimmetriájával, amely annak tulajdonítható. pillantás).

Összetétel és bomlás

Az O másodlagos tengelyeinek két tükrözéséből (vagy szimmetriájából) s (d) és s (d ') az O középpont elfordulása. Pontosabban, ha

{\ displaystyle (d) = (O, {\ vec {u}}), (d ') = (O, {\ vec {v}}) \ ,,}

így

s _ {{(d ')}} \ circ s _ {{(d)}} = r

ahol ' r egy forgás O középponttal és szöggel

\ theta = 2 ({\ vec u}, {\ vec v}) \,.

Ezzel szemben bármely C középpontú forgatás a C szekundált tengelyeinek két visszaverődésére (szimmetriájára) oszlik fel, amelyek közül az egyik tetszőlegesen választható, feltéve, hogy a másik az irányvektorok által alkotott szöget kettővel megszorozva lehetővé teszi a szög megtalálását. a forgás.

Két azonos C középpontú, θ és θ 'szögű elforgatás összetétele C középpontú és θ + θ' szögű elforgatás. Ez a két forgás ingázik, vagyis a C középpontú forgáskészlet, amelyet az összetétel törvénye biztosít, ezért kommutatív csoport izomorf a
$r \ circ r '= r' \ circ r \,.$
$({\ mathbb R} / 2 \ pi {\ mathbb Z}, +)$

A különböző központok és szögek rot és θ 'két elfordulásának összetétele

a $θ + θ '$ szög forgása, ha $θ + θ' θ 2 k π$
a fordítás egyébként

Az új központ keresését és ennek a tulajdonságnak a bemutatását úgy kapjuk, hogy minden egyes forgatást két reflexióra bontunk, amelyeknek közös tengelye van. Két nem nulla szögű forgatás csak akkor ingázik, ha ugyanaz a középpontja.

Ezenkívül a forgatás és a transzláció összetétele ugyanazon szög forgása marad, amelynek középpontja megváltozott.

A szerelvény képződött összes sík forgatás és a fordítások, feltéve, a készítmény joggal belső formája egy csoport nem kommutatív csoport az úgynevezett izometrikus közvetlen.

Komplex kifejezés

A C középpont és a angle szög forgása komplex kifejezést mutat

{\ displaystyle z '= \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} (z-z_ {c}) + z_ {c} \,}

azaz, ha a Z c a toldással a C, az M pont a toldással z van a képek az M pont „a toldással z” ellenőrzése az előző egyenlőséget.

Ezzel szemben minden olyan transzformáció, amelynek összetett kifejezése

{\ displaystyle z '= az + b}

, ahol a és b komplexek, kielégítő | a | = 1 és a ≠ 1

egy forgatás, amelynek középpontja C-nek a toldással , és amelynek szöge a érv az egy ${\ dfrac {b} {1-a}}$

Ez a bonyolult írás lehetővé teszi az összes fenti tulajdonság egyszerű megtalálását.

Koordinátatengely-változtatási képletek

A következő képletek lehetővé teszik az M pont koordinátáinak kifejezését az egyik referenciakeretben a másik referenciakeret koordinátáinak függvényében. Vegyünk egy derékszögű xOy koordinátarendszert , amelyben az M pont koordinátáit ( x , y ) az elemi képletek a poláris koordináták ( r , φ ) függvényében fejezik ki.

{\ elején {esetek} x = r \ cos \, \ phi \\ y = r \ sin \, \ phi \ ,. \ end {esetek}}

Az új koordinátarendszerben x'Oy „levezethető az előzőtől egy forgási szög θ (lásd az ábrán) az új polárkoordinátás r és ( φ - θ ), valamint a derékszögű koordinátái

{\ elején {esetek} x '= r \ cos \, (\ phi - \ theta) \\ y' = r \ sin \, (\ phi - \ theta) \ ,. \ end {esetek}}

A trigonometrikus függvények fejlesztésével, valamint az x és y kifejezések figyelembevételével a következő képletekhez jutunk, amelyek lehetővé teszik az egyik referenciapontról a másikra való eljutást.

{\ elején {esetek} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \ end {esetek} }

és az ellenkező irányba

{\ elején {esetek} x = x '\ cos \, \ theta -y' \ sin \, \ theta \\ y = x '\ sin \, \ theta + y' \ cos \, \ theta \ end {esetek }}

Megjegyzések és hivatkozások

Lásd például: Matrix calculus-base változás, bázisváltozás következménye, Példa: Vektor komponenseinek transzformációja az University Online-on

Lásd is