Euler - Rodrigues formula

A matematikában és a mechanikában az Euler - Rodrigues képlet általános képlet a vektor dimenzióinak forgatásához a harmadik dimenzióban, négy paramétert bevonva.

Így nevezték el Leonhard Euler és Olinde Rodrigues kapcsán .

Államok

Mátrix megfogalmazás

A háromdimenziós euklideszi vektortér közvetlen ortonormális alapon történő forgatásának általános mátrixa

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2 (bc-ad) & 2 (bd + ac) \\ 2 ( bc + ad) és a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} és 2 (cd-ab) \\ 2 (bd-ac) & 2 (cd + ab) & a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}}

hol van négy valós paraméter, az úgynevezett Euler-Rodrigues, igazolás . ${\ displaystyle a, b, c, d}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1}$

Ezért ez a harmadik rendű pozitív ortogonális mátrix általános képlete is .

Vektor megfogalmazása

Ha a $($ $b, c, d$ $)$ koordináták vektorát jelöljük az orthonormális alapon, akkor az előző képlet a képlet mátrixírása: ${\ vec \ omega}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} '= r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2a ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}} ) +2 \ bal ({\ vec {\ omega}} \ land ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}}) \ right)}$ .

Ez az oka, amiért a paraméter $egy$ az úgynevezett skalár paraméter , és a triplett $( b, c, d )$ a vektort paramétert .

Tulajdonságok

Szimmetria

Az $( a , b , c , d )$ és $(- a , - b , - c , - d )$ paraméterek ugyanazt a forgatást írják le. Ezen a szimmetrián kívül minden paraméternégyes egyetlen forgatást ír le.

Forgások összetétele

Legyen $( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 )$ és $( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 )$ két forgatás Euler-Rodrigues-paramétere. Az összetett forgatás (1. forgatás, majd 2. forgatás) paraméterei a következők:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}; \\ b & = a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} -c_ {1} d_ {2} + d_ {1} c_ {2}; \\ c & = a_ {1} c_ { 2} + c_ {1} a_ {2} -d_ {1} b_ {2} + b_ {1} d_ {2}; \\ d & = a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ { 2} -b_ {1} c_ {2} + c_ {1} b_ {2}. \ Vége {igazítva}}}

Egyszerű, bár unalmas, annak ellenőrzése, hogy $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ . Ez lényegében azonosítja az Euler négy négyzetét, amelyet Rodrigues is használ.

Csatlakozás a szöggel és a forgástengellyel

Bármely háromdimenziós vektor-forgást csak annak forgástengelye ( egység- koordinátavektor által irányított ) és szöge határoz meg . Euler-Rodrigues paramétereit ezután kapjuk meg a kapcsolatokkal: ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ $\ theta$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} a & = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}; \\ b & = n_ {1} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}; \ \ c & = n_ {2} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}; \\ d & = n_ {3} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}. \ end {igazítva} }}

Vagyis . ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} {\ vec {n}}}$

Vegye figyelembe, hogy ha egy teljes elforgatással megnöveli , akkor a szinusz- és koszinusz-argumentumok csak -val növekednek . Az így kapott paraméterek az eredeti értékek ellentétei, $(-$ $a$ $, -$ $b$ $, -$ $c$ $, -$ $d$ $)$ ; ugyanazt a forgást jelentik. $\ theta$ $2 \ ft$ $\ pi$

Példák

Azonos transzformáció (nulla forgás, ) megfelel az $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $,$ $d$ $) = (\pm 1, 0, 0, 0)$ paraméter értékeinek . ${\ displaystyle \ theta = 0}$

Bármely tengely körül 180 fokos ( félfordulatú) elfordulásokat kapunk az $a$ $= 0 értékre$ , amely megadja a koordináták ( b, c, d ) körüli félfordulás általános mátrixát : ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2bc & 2bd \\ 2bc & c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2 } És 2 (cd) \\ 2bd és 2cd és d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}}

Az Euler-szögek mátrixa ${\ displaystyle A = {\ kezdődik {bmatrix} \ cos \ psi \ cos \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ varphi - \ sin \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ psi \ cos \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ sin \ varphi & - sin \ psi \ sin \ varphi + \ cos \ psi \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ cos \ psi \ sin \ theta \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} }$ egyenlő az Euler-Rodrigues mátrixszal ${\ displaystyle (a, b, c, d) = (\ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ psi + \ varphi} {2}}, \ sin {\ frac { \ theta} {2}} \ sin {\ frac {\ psi + \ varphi} {2}}, \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ psi - \ varphi} { 2}}, \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin {\ frac {\ psi - \ varphi} {2}})}}$ .
Ha olyan egész számok vannak, amelyek nem mind nulla, akkor a mátrix ${\ displaystyle a, b, c, d}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} a ^ {2} + b ^ { 2} -c ^ {2} -d ^ {2} és 2 (bc-ad) és 2 (bd + ac) \\ 2 (bc + ad) és a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) \\ 2 (bd-ac) és 2 (cd + ab) és a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} \ end {bmatrix}}}$ egy racionális együtthatójú rotációs mátrix.

Tüntetések

1) Olinde Rodrigues rotációs képlete

Tétel : ha az a szög forgási körüli (egységes), a kép egy vektor kerül a következő képlet adja: $r$ $\ theta$ ${\ vec {n}}$ $\ vec x$

{\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + \ sin \ theta ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}) + (1- \ cos \ theta) ({\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}))}

Bizonyítás : A vektor az P-re merőleges sík és az en által létrehozott egyenes szerint bomlik . Ha a vektor közvetlenül merőleges a P-ben, akkor . $\ vec x$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {x}} _ {1} + {\ vec {x}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1}}$ ${\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = \ cos \ theta {\ vec {x}} _ {1} + \ sin \ theta {\ vec {y}} _ {1} + {\ vec { x}} _ {2}}$ ${\ displaystyle r ({\ vec {x}}) - {\ vec {x}} = (\ cos \ theta -1) {\ vec {x}} _ {1} + \ sin \ theta {\ vec { y}} _ {1}}$

Rajz segítségével azonban meggyőzhetjük magunkat erről, és ezért a megadott képletről. ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1} = - {\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}})}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {1} = {\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}}$

Vigyázzon, ne tévessze össze Olinde Rodrigues képletét ezzel az ortogonális polinomokra vonatkozó mással .

2) A vektor képlet megszerzése

Olinde Rodrigues képlete is meg van írva , és pózolva, és meggyógyulunk . ${\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2 \ sin {\ theta \ over 2} \ cos {\ theta \ over 2} ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x}}) + 2 \ cos ^ {2} {\ theta \ over 2} ({\ vec {n}} \ land ({\ vec {n}} \ land {\ vec {x} }))}$ ${\ displaystyle a = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle r ({\ vec {x}}) = {\ vec {x}} + 2a ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}}) + 2 \ bal ({\ vec {\ omega}} \ land ({\ vec {\ omega}} \ land {\ vec {x}}) \ right)}$

Ezután a mátrix képletét úgy kapjuk meg, hogy átadjuk a koordinátáknak.

3) Közvetlen mátrixváltozat

Olinde Rodrigues képlete közvetlen ortonormális alapon adja meg a mátrixot : $r$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {tömb} {ccc} n_ {1} ^ {2} \ bal (1- \ cos \ theta \ jobb) + \ cos \ theta & n_ {1} n_ {2} \ bal (1- \ cos \ theta \ jobb) -n_ {3} \ sin \ theta & n_ {1} n_ {3} \ bal (1- \ cos \ theta \ jobb) + n_ {2} \ sin \ theta \\ n_ {1} n_ {2} \ balra (1- \ cos \ theta \ jobbra) + n_ {3} \ sin \ theta & n_ {2} ^ {2} \ balra (1- \ cos \ theta \ jobbra) + \ cos \ theta & n_ {2} n_ {3} \ balra (1- \ cos \ theta \ jobbra) -n_ {1} \ sin \ theta \\ n_ {1} n_ {3} \ balra ( 1- \ cos \ theta \ right) -n_ {2} \ sin \ theta & n_ {2} n_ {3} \ left (1- \ cos \ theta \ right) + n_ {1} \ sin \ theta & n_ {3} ^ {2} \ bal (1- \ cos \ theta \ jobb) + \ cos \ theta \ end {tömb}} \ jobb]}$

amely maga adja az Euler-Rodrigues mátrixot felhasználva . ${\ displaystyle (a, b, c, d) = (\ cos {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {1} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {2} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, n_ {3} \ sin {\ frac {\ theta} {2}})}}$

Kapcsolat kvaternionokkal

Az Euler-Rodrigues-paraméterek a kvaternion együtthatóinak tekinthetők

${\ displaystyle q = a + bi + cj + dk,}$

amelynek skalár paraméter $egy$ az igazi része, és a vektor paraméterek $b$ , $c$ , $d$ az a képzetes rész számára. Azóta egységes

{\ displaystyle \ left \ | q \ right \ | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}

Ennél is fontosabb, hogy a forgások összetételének fenti összefüggései pontosan a kvaternionok sokszorozásának összefüggései. Más szavakkal, a szorzással kapott egység kvaternionok csoportja, a modulo a mínusz előjel, izomorf a kompozícióval biztosított forgáscsoporttal szemben.

Csatlakozás SU spin-mátrixokkal (2)

Az SU (2) Lie csoport felhasználható a háromdimenziós forgatások 2 × 2 mátrixok szerinti ábrázolására . A forgatásnak megfelelő SU (2) mátrix Euler-Rodrigues paramétereinek függvényében

{\ displaystyle U = {\ elején {pmatrix} \ \ \, a + di & b + ci \\ - b + ci & a-di \ end {pmatrix}}.}

Mit lehet írni:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} U & = a \ {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + b \ {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} + c \ {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + d \ {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ vége {pmatrix}} \\ & = a \, I + ic \, \ sigma _ {x} + ib \, \ sigma _ {y} + id \, \ sigma _ {z}, \ end {igazított}} }

ahol az $σ i$ a Pauli-féle spin-mátrix . Így az Euler-Rodrigues-paraméterek a háromdimenziós forgás SU-ban való reprezentációjának együtthatói (2).

Lásd még

Hivatkozások

Élie Cartan , A pörgők elmélete , Dover,tizenkilenc nyolcvan egy( ISBN 0-486-64070-1 )
WR Hamilton , Quaternions elemei , Cambridge University Press,1899
EJ Haug , a mechanikus rendszerdinamika számítógépes elemzése és optimalizálása. , Springer-Verlag,1984
es) Garza és Pacheco Quintanilla, „ Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana ” , Revista Mexicana de Física ,2011. június, P. 109-113 ( olvasható online [ archív2012. április 23] [PDF] )
(in) Shuster, " A felmérés attitűdképviseletekről " , Journal of the Astronautical Sciences , vol. 41, n o 4,1993, P. 439–517 ( online olvasás [PDF] )

Megjegyzések és hivatkozások

(La) Leonhard Euler, „ Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile ” , Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae 15 ,1770, P. 75–106
Olinde Rodrigues, " Geometriai törvények, amelyek szabályozzák a szilárd rendszer térbeli elmozdulásait, és az ezekből az elmozdulásokból eredő koordináták variációját, függetlenül az okokat okozó okoktól ", Journal of pure and alkalmazott matematika ,1840, P. 380–440 ( online olvasás )