Rodrigues-formula

A matematika , a Rodrigues képletű (korábbi nevén az Ivory-Jacobi képlet ) egy általános képletű bevonásával Legendre polinomok , egymástól függetlenül fedezte fel Olinde Rodrigues , James Ivory és Charles Gustave Jacob Jacobi . A „Rodrigues formula” elnevezést Eduard Heine vezette be 1878-ban, miután Hermite 1865-ben rámutatott, hogy Rodrigues fedezte fel először. A kifejezést más ortogonális polinomok hasonló képleteinek leírására is használják . Richard Askey részletesen leírja Rodrigues képletének történetét.

Államok

Rodrigues képlete a következő:

A Legendre polinomok : ${\ displaystyle P_ {n} (x) = {1 \ 2 felett ^ {n} n!} {{\ rm {d}} ^ {n} \ felett {\ rm {d}} x ^ {n}} \ balra [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ jobbra]}$ ;
A Laguerre polinomok : ${\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {{\ \ rm {e}} ^ {x}} {n!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{ \ rm {d}} x ^ {n}}} \ balra ({\ rm {e}} ^ {- x} x ^ {n} \ jobbra) = {\ frac {1} {n!}} \ balra ({\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} x}} - 1 \ jobbra) ^ {n} x ^ {n}}$ ;
A Remete polinomok : ${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} {\ rm {e}} ^ {x ^ {2}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2}} = \ balra (2x - {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} x}} \ jobbra) ^ {n} \ cdot 1}$ .

Léteznek hasonló képletek, amelyek a Sturm-Liouville egyenletekből származó ortogonális függvények számos más szekvenciájára érvényesek ; Rodrigues névvel is rendelkeznek , különösen akkor, ha ezek a függvények polinomok.

Hivatkozások

O. Rodrigues, „ Emlékirat a szferoidok vonzásáról ”, Levelezés a császári politechnikai iskoláról , t . 3, 1814-1816, p. 361-385 ( online olvasás ) (a párizsi Természettudományi Kar szakdolgozata).
(in) J. Ivory, " Az év tengelyén felforduló homogén folyadéktömeg egyensúlyának fenntartásához szükséges ábráról " , Phil. Ford. R. Soc. , vol. 114,1824, P. 85–150 ( DOI 10.1098 / rstl.1824.0008 ).
(de) CGJ Jacobi, " Ueber Eine Besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Funkció (1-2 XZ + z 2 ) 1/2 entstehen " , J. queen Angew. Math. , vol. 2,1827, P. 223–226 ( DOI 10.1515 / crll.1827.2.223 ).
(in) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "Rodrigues Olindo" a MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).
(in) R. Askey, Matematika és társadalmi utópiák Franciaországban: Olindo Rodrigues és korai , repülés. 28., Providence, RI, AMS , koll. "Matematikatörténet",2005, 168 p. ( ISBN 978-0-8218-3860-0 , olvasható online ) , „Az 1839-es tanulmány a permutációkról: kapcsolata a Rodrigues-képlettel és további fejlemények” , p. 105-118.