Elliptikus integrál

Az elliptikus integrálok a matematikai fizika számos problémájába beletartoznak  : például az inga periódusának kiszámítása nagy amplitúdókkal, és általában a tengely körül forgó testek ellipszoid alakú egyensúlyi formái ( bolygók , csillagok , vízcsepp, atommag) , ...).

Általános forma

Egy elliptikus integrál egy szerves az űrlap

f(x)=∫vs.xR(t,P(t))dt{\ displaystyle f (x) = \ int _ {c} ^ {x} R \ bal (t, {\ sqrt {P (t)}} \ jobb) \; \ mathrm {d} t}

ahol van egy racionális függvény két változóval, a 3. vagy 4. fokú polinomiális függvény egyszerű gyökerekkel, és állandó. R{\ displaystyle R}P{\ displaystyle P}vs.{\ displaystyle c}

Az első szisztematikus tanulmányt felajánló Adrien-Marie Legendre kimutatta, hogy a megfelelő változók változásai lehetővé teszik ezen integrálok három kanonikus formára való redukálását:

(1)∫1(NÁL NÉLt2+B)(NÁL NÉL′t2+B′) dt(2)∫t2(NÁL NÉLt2+B)(NÁL NÉL′t2+B′) dt(3)∫11+NEMt21(NÁL NÉLt2+B)(NÁL NÉL′t2+B′) dt{\ displaystyle {\ begin {aligned} (1) & \ quad \ int {\ frac {1} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}} } ~ \ mathrm {d} t \\ (2) & \ quad \ int {\ frac {t ^ {2}} {\ sqrt {(At ^ {2} + B) (A't ^ {2} + B ')}}} ~ \ mathrm {d} t \\ (3) & \ quad \ int {\ frac {1} {1 + Nt ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sqrt {( A ^ {2} + B) elemnél (A't ^ {2} + B ')}}}} ~ \ mathrm {d} t \ end {igazítva}}}

az első, a második és a harmadik fajta elliptikus integráljának nevezzük. A számítás a hossza ív a Bernoulli mozgató használ elliptikus integrál az első fajta, hogy az ív egy ellipszis egy szervesen a második fajta (ami részben indokolja a nevét elliptikus integrál); az ellipszoid területe az első és a második fajta elliptikus integrálok kombinációja.

Legendre ezeket az integrálokat elliptikus függvényeknek nevezte . Niels Abel és Carl Gustav Jakob Jacobi 1827-ben végzett munkája után az ellipszis függvény elnevezés immár ezen integrálok inverz függvényeinek van fenntartva.

Paraméterezés

Az elliptikus integrálokat egy paraméter jellemzi, amely ekvivalens módon meghatározható:

• moduláris szög α
• az elliptikus modulus vagy excentricitás k = sin (α)
• az m = k 2 = sin 2 (α) paraméter

Az egyik vagy másik szkript használata nem változtatja meg az integrál jellegét.

Hiányos elliptikus integrálok

A jelölésekben változatok léteznek. Különösen arra kell figyelni, hogy pontosvessző van-e a változó és a modul között.

Első faj

Az első típusú ellipszis integrálokat a következő formában írják:

F(φ,k)=F(φ|k2)=F(bűn⁡φ;k)=∫0φdθ1-k2bűn2⁡θ.{\ displaystyle F (\ varphi, k) = F (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = F (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}.}

Ezt a formát trigonometrikus formának hívják; a t = sin (θ), x = sin (φ) változók változtatásával megkapjuk a Jacobi alakot  :

F(x;k)=∫0xdt(1-t2)⋅(1-k2t2).{\ displaystyle F (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) \ cdot (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}.}

A moduláris szög használata:

F(φ∖α)=F(φ,bűn⁡α)=∫0φdθ1-(bűn⁡θbűn⁡α)2.{\ displaystyle F (\ varphi \ setminus \ alpha) = F (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alfa) ^ {2}}}}.}

Ez az integrál lehetővé teszi Jacobi elliptikus funkcióinak meghatározását . Így az sn függvény F reciproként definiálva  :

F(x;k)=u⟺x=snem(u,k){\ displaystyle F (x; k) = u \ iff x = \ mathrm {sn} (u, k)}

Második faj

A második típusú ellipszis integrálokat trigonometrikus formában írják:

E(φ,k)=E(φ|k2)=E(bűn⁡φ;k)=∫0φ1-k2bűn2⁡θdθ.{\ displaystyle E (\ varphi, k) = E (\ varphi \, | \, k ^ {2}) = E (\ sin \ varphi; k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, \ mathrm {d} \ theta.}

Jacobi formájuk:

E(x;k)=∫0x1-k2t21-t2dt.{\ displaystyle E (x; k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ { 2}}}}} \, \ mathrm {d} t.}

Hasonlóképpen, a moduláris szöggel:

E(φ∖α)=E(φ,bűn⁡α)=∫0φ1-(bűn⁡θbűn⁡α)2dθ.{\ displaystyle E (\ varphi \ setminus \ alpha) = E (\ varphi, \ sin \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alfa ) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} \ theta.}

Ismét van kapcsolatunk Jacobi elliptikus funkcióival

E(snem(u;k);k)=∫0udnem2(w;k)dw=u-k2∫0usnem2(w;k)dw=(1-k2)u+k2∫0uvs.nem2(w;k)dw.{\ displaystyle E (\ mathrm {sn} (u; k); k) = \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {dn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w = uk ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {sn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w = (1-k ^ {2}) u + k ^ {2} \ int _ {0} ^ {u} \ mathrm {cn} ^ {2} (w; k) \, \ mathrm {d} w.}

A hossza meridián ív a Egyenlítőig szélességi φ adja E  :

m(φ)=nál nél(E(φ,e)+d2dφ2E(φ,e)),{\ displaystyle m (\ varphi) = a \ bal (E (\ varphi, e) + {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} \ varphi ^ {2}}} E (\ varphi, e) \ right),}

ahol egy a főtengelye az ellipszis és e jelentése a különcség.

Harmadik faj

A harmadik típusú ivent elliptikus integráljait trigonometrikus formában írják:

Π(nem;φ∖α)=∫0φ11-nembűn2⁡θ⋅dθ1-(bűn⁡θbűn⁡α)2{\ displaystyle \ Pi (n; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {1} {1-n \ sin ^ {2} \ theta}} \ cdot { \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1 - (\ sin \ theta \ sin \ alpha) ^ {2}}}}}

vagy

Π(nem;φ|m)=∫0bűn⁡φ11-nemt2⋅dt(1-mt2)(1-t2).{\ displaystyle \ Pi (n; \ varphi \, | \, m) = \ int _ {0} ^ {\ sin \ varphi} {\ frac {1} {1-nt ^ {2}}} \ cdot { \ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-mt ^ {2}) (1-t ^ {2})}}}.}

Az n számot karakterisztikának hívják, és a többi argumentumtól függetlenül bármilyen értéket felfoghat. Megjegyezzük azonban, hogy ez végtelen, bármi is legyen m . Π(1;π2|m){\ displaystyle \ Pi (1; {\ tfrac {\ pi} {2}} \, | \, m)}

A Jacobi elliptikus függvényeivel való kapcsolat ebben az esetben íródott

Π(nem;nál nélm(u;k);k)=∫0udw1-nemsnem2(w;k).{\ displaystyle \ Pi (n; \, \ mathrm {am} (u; k); \, k) = \ int _ {0} ^ {u} {\ frac {\ mathrm {d} w} {1- n \, \ mathrm {sn} ^ {2} (w; k)}}.}

A hossza meridián ív az Egyenlítőtől a szélesség φ is kifejezhető Π  :

m(φ)=nál nél(1-e2)Π(e2;φ|e2).{\ displaystyle m (\ varphi) = a (1-e ^ {2}) \ Pi (e ^ {2}; \ varphi \, | \, e ^ {2}).}

Teljes elliptikus integrálok

Az elliptikus integrálok „teljes” változatai megfelelnek az φ = amplitúdó eseteinekπ/2legyen x = 1 .

Első faj

A elliptikus integrálok az első fajta K határozza

K(k)=F(π2,k)=F(π2|k2)=F(1;k)=∫0π/2dθ1-k2bűn2⁡θ=∫01dt(1-t2)(1-k2t2),{\ displaystyle K (k) = F \ bal ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ jobb) = F \ bal ({\ frac {\ pi} {2}} \, | \, k ^ {2} \ right) = F \ bal (1; k \ right) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2} ) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}},}

Tudjuk használni a fejlődés egész sora  :

K(k)=π2∑nem=0∞[(2nem)!22nem(nem!)2]2k2nem=π2∑nem=0∞[P2nem(0)]2k2nem,{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ balra [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} \ right] ^ {2} k ^ {2n} = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} [P_ { 2n} (0)] ^ {2} k ^ {2n},}

ahol a P n a Legendre-polinom , amely az első kifejezésekre ad lehetőséget

K(k)=π2{1+(12)2k2+(1⋅32⋅4)2k4+⋯+[(2nem-1)!!(2nem)!!]2k2nem+⋯},{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ bal \ {1+ \ bal ({\ frac {1} {2}} \ jobb) ^ {2} k ^ {2} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} k ^ {4} + \ cdots + \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ jobbra) !!} {\ balra (2n \ jobbra) !!}} \ jobbra] ^ {2} k ^ {2n} + \ cdots \ jobbra},}

n- lel !! A kettős faktoriális a n .

A számításhoz érdekes lehet összekapcsolni a számtani-geometriai átlagot  :

K(k)=π/2agm⁡(1-k,1+k){\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi / 2} {\ operátornév {agm} (1-k, 1 + k)}}}.

Második faj

Elliptikus integrálok A második típusú E határozza

E(k)=E(π2,k)=E(1;k)=∫0π/21-k2bűn2⁡θ dθ=∫011-k2t21-t2dt{\ displaystyle E (k) = E \ bal ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ jobb) = E (1; k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} { \ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ \ mathrm {d} \ theta = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \ mathrm {d} t}.

Egy ellipszis nagytengelye egy és kistengelye b , ezért az excentricitás , az elliptikus integrál a második fajta E ( e ) ad egy negyede a kerülete az ellipszis C mérve rendre egy . Egyértelmű : e=1-b2/nál nél2{\ displaystyle e = {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}}

vs.=4nál nélE(e){\ displaystyle c = 4aE (e)}.

Van egy egész sorozat fejlesztésünk is  :

E(k)=π2∑nem=0∞[(2nem)!22nem(nem!)2]2k2nem1-2nem=π2{1-(12)2k21-(1⋅32⋅4)2k43-⋯-[(2nem-1)!!(2nem)!!]2k2nem2nem-1-⋯}.{\ displaystyle E (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ balra [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} \ jobbra] ^ {2} {\ frac {k ^ {2n}} {1-2n}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ balra \ {1 - \ balra ({\ frac {1} {2}} \ jobbra) ^ {2} {\ frac {k ^ {2}} {1}} - \ balra ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} {\ frac {k ^ {4}} {3}} - \ cdots - \ left [{\ frac {\ left (2n-1 \ right) !!} { \ bal (2n \ jobb) !!}} \ jobb] ^ {2} {\ frac {k ^ {2n}} {2n-1}} - \ cdots \ right \}.}

Harmadik faj

Elliptikus integrálok A harmadik fajta Π lehet definiálni:

Π(nem,k)=∫0π/2dθ(1-nembűn2⁡θ)1-k2bűn2⁡θ.{\ displaystyle \ Pi (n, k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {(1-n \ sin ^ {2} \ theta) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.}

Néha az n jellemző ellentétével határozhatók meg ,

Π′(nem,k)=∫0π/2dθ(1+nembűn2⁡θ)1-k2bűn2⁡θ.{\ displaystyle \ Pi '(n, k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {(1 + n \ sin ^ {2} \ theta ) {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}.}

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  Elliptic integral  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

1. (en) Subrahmanyan Chandrasekhar , az egyensúly ellipszoid alakjai , New Haven, Yale University Press,1969, 253  p. ( ISBN  978-0-486-65258-0 )
2. ET Whittaker és Watson, A modern elemzés tanfolyama , New York, Mac Millan, 1943, p.  515 .
3. (in) "  A teljes elliptikus integrálok értékelése agm módszerrel  " a Floridai Egyetem Gépészeti és Repüléstechnikai Tanszékén .

Lásd is

Bibliográfia

• (en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online )
• Paul Appell és Émile Lacour, Az elliptikus függvények és alkalmazások elméletének alapjai, VII. Fejezet (Gauthier-Villars, Párizs, 1897)
• Alfred George Greenhill , Az elliptikus funkciók és alkalmazásuk II. Fejezet (G. Carré, Párizs, 1895)
• (en) Louis V. King, Az elliptikus függvények és integrálok közvetlen numerikus kiszámításáról , Cambridge University Press,1924( online olvasás )
• Adrien-Marie Legendre , Elemzés az elliptikus funkciókról és az euleri integrálokról (Huzard-Courcier, Párizs, 1828)
• (en) Benjamin Osgood Pierce, Az integrálok rövid táblázata p.  66. (Ginn és társai, Boston, MA, 1899)

Kapcsolódó cikkek

• Form Legendre  (en)
• Elliptikus funkció
• Elliptikus görbe
• Ellipszis (matematika)
• Schwarz-Christoffel  (en) alkalmazása
• Nem elemi integrál
• John landen

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „  Elliptic Integrals  ” , a MathWorld- on , ideértve:

• Az első típusú elliptikus integrál
• Az első típusú teljes ellipszis integrál
• Második típusú elliptikus integrál
• A második típusú teljes ellipszis integrál
• Harmadik fajta elliptikus integrál

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">