Ellipszoid
A matematika , és pontosabban euklideszi geometria egy ellipszoid van egy négyzetes felület a háromdimenziós euklideszi térben . Ezért a kvadrikumok része , amelynek fő jellemzője, hogy nincs végtelen pontja.
Az ellipszoid középpontot és legalább három szimmetriasíkot enged be . Az ellipszoid és a sík metszéspontja ellipszis , pont vagy az üres halmaz .
Az ortonormális koordinátarendszer kezdőpontjában központosított és a koordinátarendszer tengelyeihez igazított ellipszoid egyenlete formájú
x2nál nél2+y2b2+z2vs.2=1{\ displaystyle {x ^ {2} \ a ^ {2}} + + {y ^ {2} \ felett b ^ {2}} + {z ^ {2} \ felett c ^ {2}} = 1}ahol az ellipszoid féltengelyeinek nevezett a , b és c szigorúan pozitív paraméterek.
Egyenletek
Általánosított egyenlet
Egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet egy másodfokú felület van
xTNÁL NÉLx+BTx+VS=0{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \, \ mathbf {x} + B ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x} + C = 0}
ahol a mátrix egy , az építkezés, a valós szimmetrikus mátrix . A spektrális tétel szerint átlósítható és sajátértékei mind valósak. Ha ez a három sajátérték szigorúan pozitív (vagy szigorúan negatív), vagyis A- nak van aláírása (3, 0) (vagy (0, 3)), akkor ez az egyenlet egy ellipszoid típusú másodfokú értéket határoz meg. Azzal a feltétellel, esetleg változtatni minden együttható az egyenlet által az ellentétes, a mátrix Egy ezután pozitív definit . A meghatározója annak, hogy A nem nulla, a másodfokúnak van egy középpontja, amelynek koordinátái vannak
v=-12NÁL NÉL-1B,{\ displaystyle \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} B,}
és egyenletét a következő formában írják:
(x-v)TNÁL NÉL(x-v)=k{\ displaystyle \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A \ bal (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) = k}
val vel
k=14BTNÁL NÉL-1B-VS.{\ displaystyle k = {\ frac {1} {4}} B ^ {\ mathsf {T}} A ^ {- 1} Kr. e.
Demonstráció
Mivel egyrészt A szimmetrikus, másrészt bármely skalár megegyezik az átültetett mátrixával ,
vTNÁL NÉL=vTNÁL NÉLT=(NÁL NÉLv)TetxTNÁL NÉLv=(xTNÁL NÉLv)T=(NÁL NÉLv)Tx{\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A = \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mathsf {T}} = \ balra (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} = \ left (\ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x }}
ebből kifolyólag
(x-v)TNÁL NÉL(x-v)-k=xTNÁL NÉLx-(vTNÁL NÉLx+xTNÁL NÉLv)+vTNÁL NÉLv-k=xTNÁL NÉLx-2(NÁL NÉLv)Tx+(NÁL NÉLv)Tv-k.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A \ bal (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ jobbra) -k & = \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} \ right) + \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {v} -k \\ & = \ mathbf { x} ^ {\ mathsf {T}} A \ mathbf {x} -2 \ balra (A \ mathbf {v} \ jobbra) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {x} + \ balra (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {v} -k. \ end {igazítva}}}
Arany
(NÁL NÉLv)T=-12BTet(NÁL NÉLv)Tv-k=VS{\ displaystyle \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = - {\ frac {1} {2}} B ^ {\ mathsf {T}} \ quad {\ rm { és}} \ quad \ left (A \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {v} -k = C}
ha, és csak akkor ha)
v=-12NÁL NÉL-1Betk=14BTNÁL NÉL-1B-VS.{\ displaystyle \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} B \ quad {\ rm {et}} \ quad k = {\ frac {1} {4}} B ^ {\ mathsf {T}} A ^ {- 1} Kr. E.}
Ha k szigorúan pozitív, akkor az ellipszoid ( v-ben központosítva és tetszőlegesen orientált) az x pontok halmaza, amely kielégíti az egyenletet:
(x-v)TNÁL NÉL1(x-v)=1{\ displaystyle \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A_ {1} \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} \ right) = 1}ahol A 1 valós, pozitív határozott .
Ezen túlmenően, a sajátvektorai A 1 meghatározza a tengelyek a ellipszoid és sajátértékei A 1 jelentése megegyezik az inverz a tér a fél-tengelyek (azaz 1 / a 2 , 1 / b 2 és 1 / c 2 ). A szinguláris értékek a A 1 , egyenlő a sajátértékek, ezért egyenlő az inverze a tér a fél-tengelyek.
Paraméterezés
Az ellipszoid különböző módon konfigurálható. Az egyik lehetőség a z tengely megválasztásával a következő:
{x=nál nélkötözősaláta(θ)kötözősaláta(ϕ)y=bkötözősaláta(θ)bűn(ϕ)z=vs.bűn(θ){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \\ y = b \ cos (\ theta) \ sin (\ phi) \\ z = c \ sin (\ theta) \ end {esetek}}}
vagy
-π/2≤θ≤π/2et-π≤ϕ≤π.{\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2 \ quad {\ rm {és}} \ quad - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi.}
A paraméterek gömbkoordinátáknak tekinthetők. A θ konstanshoz egy ellipszist kapunk, amely az ellipszoid és a z = k sík metszéspontja . A ϕ paraméter ekkor megfelel ennek az ellipszisnek az excentrikus anomáliájának . Két másik paraméterezés létezik, mindegyiknek megvan a maga értelmezése. Csak a forradalom ellipszoidjainak van egyedi meghatározása a csökkent földrajzi szélességről .
Vetítőtér
A projektív geometriában , egy képzeletbeli ellipszoid egyenlete formájú
x2nál nél2+y2b2+z2vs.2+1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} + 1 = 0.}Az ellipszoid nemi egyenlet , képzeletbeli kúp :
x2nál nél2+y2b2+z2vs.2=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 0.}Különleges esetek
Triaxiális ellipszoid
Az ellipszoid triaxiálisnak mondható, ha három féltengelye különbözik egymástól.
A forradalom ellipszoidja
Abban az esetben, ha csak két fél-tengelyek egyenlő, a ellipszoid lehet által generált forgása egy ellipszis körül az egyik tengelyeire. Ez egy forradalmi ellipszoid , amelyet időnként gömbnek is hívnak , lehetővé téve mozi projektorok és rögbi labdák elliptikus tükreinek megszerzését . Azt is megmutatták, hogy ez a felület optimális a léghajók számára .
Ha az a = b értéket vesszük , az egyenletet felírjuk:
x2+y2nál nél2+z2vs.2-1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} - 1 = 0 .}Megkapjuk az Oz tengelyű forradalmi ellipszoidot . Valójában a z = k sík részei az Oz tengely körvonalai .
- Tehát azt mondják, hogy az ellipszoid szaporodik (vagyis hosszúkás).nál nél=b<vs.{\ displaystyle a = b <c}
- Ha az ellipszoid gömb .nál nél=b=vs.{\ displaystyle a = b = c}
- Igen , az ellipszoidról azt mondják, hogy elnyújtott (vagyis lapított).nál nél=b>vs.{\ displaystyle a = b> c}
Az xOz sík meridiánja, amelyet y = 0- val kapunk, az egyenlet ellipszise:
x2nál nél2+z2vs.2-1=0.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} - 1 = 0.}Figyeljük meg, hogy menjen a következő egyenletből a meridián a felület egyenlete forradalom helyett x 2 által x 2 + y 2 .
Gömb
A degenerált esetben, ha a = b = c , a ellipszoid egy gömb sugarú egy .
Tulajdonságok
Hangerő
Az ellipszoid által határolt tér térfogata megegyezik:
V=43πnál nélbvs.=4π3det(NÁL NÉL1-1).{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi abc = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ sqrt {\ det \ left ({A_ {1}} ^ {- 1 } \ jobb)}}.}
Ez a képlet adja a térfogata a labdát sugarú egy abban az esetben, ahol a három fél-tengely azonos hosszúságú.
A legnagyobb felírt téglalap alakú párhuzamos és a legkisebb körülírt téglalap alakú párhuzamos oldalak térfogatát a következő képletek adják meg:
Vmax=8.33nál nélbvs.etVmin=8.nál nélbvs..{\ displaystyle V _ {\ max} = {\ frac {8} {3 {\ sqrt {3}}}} abc \ quad {\ rm {et}} \ quad V _ {\ min} = 8abc.}
Terület
A terület bármely ellipszoid a következő képlet adja
NÁL NÉL=2πvs.2+2πnál nélbbűn(ϕ)(E(ϕ,k)bűn2(ϕ)+F(ϕ,k)kötözősaláta2(ϕ)),{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = 2 \ pi c ^ {2} + {\ frac {2 \ pi ab} {\ sin (\ phi)}} \ bal (E (\ phi, k) \ sin ^ {2} (\ phi) + F (\ phi, k) \ cos ^ {2} (\ phi) \ jobb),}vagy
kötözősaláta(ϕ)=vs.nál nél,k2=nál nél2(b2-vs.2)b2(nál nél2-vs.2),nál nél≥b≥vs.,{\ displaystyle \ cos (\ phi) = {\ frac {c} {a}}, \ qquad k ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} \ balra (b ^ {2} -c ^ { 2} \ jobbra)} {b ^ {2} \ balra (a ^ {2} -c ^ {2} \ jobbra)}}, \ qquad a \ geq b \ geq c,}és ahol az F ( φ , k ) és E ( φ , k ) a hiányos elliptikus integrálok az első és a második fajta rendre:
F(ϕ,k)=∫0ϕdθ1-k2bűn2θ,E(ϕ,k)=∫0ϕ1-k2bűn2θ dθ.{\ displaystyle F (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta}}}, \ quad E (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} ~ \ mathrm {d} \ theta.}
Különcség
Ha a ≥ b ≥ c (azaz ha a a legnagyobb féltengely hossza, és c a legkisebb féltengely hossza), akkor az ellipszoid excentricitását a következő képlet adja meg:
e=nál nél2-vs.2nál nél.{\ displaystyle e = {{\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} \ over a}.}
Alkalmazások
Az ellipszoidok tulajdonságait évszázadok óta tanulmányozzák a forgó rendszerek által felvett formák felkutatása során , Newton különösen érdekelte a pólusok ellaposodását ( a Föld ellipszoid modellje ). A legragyogóbb matematikusok hozzájárultak a forgó rendszerek ellipszoid egyensúlyi adatainak tanulmányozásához , amelyek megtalálhatók a természetben, például:
Dinamikus tulajdonságok
Az egyenletes sűrűségű ρ ellipszoid tömege a következő:
m=ρV=4πρ3nál nélbvs.{\ displaystyle m = \ rho V = {\ frac {4 \ pi \ rho} {3}} abc}A főtengely-rendszer tehetetlenségi nyomatékai:
énxx=m5.(b2+vs.2){\ displaystyle I_ {xx} = {\ frac {m} {5}} (b ^ {2} + c ^ {2})}
ényy=m5.(nál nél2+vs.2){\ displaystyle I_ {yy} = {\ frac {m} {5}} (a ^ {2} + c ^ {2})}
énzz=m5.(nál nél2+b2){\ displaystyle I_ {zz} = {\ frac {m} {5}} (a ^ {2} + b ^ {2})}
A tehetetlenségi szorzat nulla ebben a tengelyrendszerben:
énxy=ényx=énxz=énzx=ényz=énzy=0{\ displaystyle I_ {xy} = I_ {yx} = I_ {xz} = I_ {zx} = I_ {yz} = I_ {zy} = 0}Példák
Megjegyzések és hivatkozások
(
Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Ellipsoid ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
(in) Stephen P. Boyd (in) , " Play 15. Szimmetrikus mátrixok, másodfokú formák, mátrixnormák és SVD " , a Stanford Egyetemen , 2012-2013 őszén .
-
(in) FWJ Olver ( szerk. ), DW Lozier ( szerk. ), RF Boisvert ( rend. ) És CW Clark ( szerk. ), NIST Matematikai Funkciók Kézikönyve , Cambridge University Press,2010. május 17( online olvasás ).
-
http://dlmf.nist.gov/19.2
-
(in) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipszoid ábrák egyensúly , New Haven (Amerikai Egyesült Államok), Yale University Press,1969, 253 p. ( ISBN 0-486-65258-0 )
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">