Két test problémája

A két test problémája fontos elméleti modell a mechanikában, legyen az klasszikus vagy kvantum, amelyben két test mozgását tanulmányozzák , amelyek kölcsönös ( konzervatív ) interakcióban anyagi pontokhoz asszimilálódnak , a globális rendszert elszigeteltnek tekintve. Ebben a cikkben csak a klasszikus mechanika kéttestes problémáját közelítjük meg (lásd például a kvantummechanika példáját a hidrogénatom cikkében ), először vonzó potenciál esetén, majd abban a nagyon fontos esetben, amikor a két test gravitációs kölcsönhatásban , vagy Kepler-mozgásban van , amely az égi mechanika fontos tárgya .

Ennek a problémának a jelentősége elsősorban annak pontosan integrálható jellegéből adódik, ellentétben a három és több testet érintő problémával . Valójában a két test problémája, amely eleve hat fokú szabadsággal rendelkezik, valójában egy probléma megoldására egyetlen testtel, csak egy fokú szabadsággal oldható meg.

Ezenkívül a kapott eredmények lehetővé teszik a Naprendszer bolygóinak (a heliocentrikus referenciakeretben) pályáinak , valamint a természetes vagy mesterséges műholdak pályájának számbavételét , legalábbis első közelítésként. Ezután megtaláljuk Kepler törvényeit , amelyeket a XVII .  Századi csillagászati ​​megfigyelések elemzése emel ki . Így a tervezett helyzet korántsem pusztán tudományos. A probléma első megoldását Newton tárta fel , aki kimondta a klasszikus mechanika alaptörvényét: az eredményt Principia 57–65 .

A cikk célja a két test problémájának bemutatása és általános kezelése, Kepler törvényeinek bemutatásával és a lehetséges pályák különféle típusainak részletes tanulmányozásával. A pálya elemeinek, valamint Kepler és Barker egyenleteinek és alkalmazásának meghatározásának kérdése külön cikkek tárgyát képezi (lásd a Kepler-mozgás , a Kepler-egyenlet és a pályaelemek cikkeket ).

Tervezett helyzet és értékelések

A két test problémája két m 1 és m 2 tömegű test , amelyek kölcsönös kölcsönhatásban asszimilálódnak az M 1, illetve az M 2 anyagi pontokhoz . Az M 1 által az M 2 -re kifejtett erő egy vonzó V ( r ) potenciálból származik, és megjegyezzük : Newton harmadik törvénye (vagy a kölcsönös cselekvések elve) miatt nyilvánvaló, hogy . F12.→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {12}}}}F21→=-F12.→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

A teljes rendszer tekinthető izolálható, az, hogy tanulmányozza a mozgást M 1 és M 2 képest egy referencia képkocka ( R ) feltételezzük Galilean , a földrajzi hely kapcsolódó helyet eredete O .

A következő jelölések később fogadtak el: , és . r1→=OM1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {OM_ {1}}}}r2→=OM2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {OM_ {2}}}}r→=defr12.→=M1M2→=r2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {12}}} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}} = {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

Ezután az egyes testek ( R ) mozgásegyenleteit felírjuk a dinamika alapvető viszonyának felhasználásával  :

{m1r1→¨=F21→=-F12.→m2r2→¨=F12.→{\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} = {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}} \\ m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}} \ end {esetben}}}, (1).

A probléma megoldásának stratégiája ekkor a következő: mindenekelőtt egyetlen test mozgásának tanulmányozása a fiktív részecske fogalmának bevezetésével  ; akkor térjünk le egy könnyen megoldható egydimenziós problémára.

Egy test problémájának redukciója

Az a tény, hogy a rendszer elszigetelt, lehetővé teszi a tehetetlenségi központja triviális mozgásának elválasztását a testétől a másikéval, és valójában visszatérhet egyetlen részecske, fiktívnek nevezett mozgásának tanulmányozásához .

A lendület megőrzése - baricentrikus referenciakeret

A két mozgásegyenlet összeadása azonnal megadja:

m1r1→¨+m2r2→¨=(m1+m2)RVS→¨=0→{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} + m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = \ balra (m_ {1} + m_ {2} \ right) {\ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}}} = {\ overrightarrow {0}}}, a rendszer C tömegközéppontjával, helyzetvektorral .RVS→=OVS→=m1r1→+m2r2→m1+m2{\ displaystyle {\ overrightarrow {R_ {C}}} = {\ overrightarrow {OC}} = {\ frac {m_ {1} {\ overrightarrow {r_ {1}}} + m_ {2} {\ overrightarrow {r_ {2}}}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Következésképpen, és ahogyan egy izolált rendszer esetében várható volt, a ( C ) tömegközéppont mozgása ( R ) -ben egyenes vonalú és egyenletes (vagy a határértéknél, nyugalmi helyzetben), és lehetséges, hogy a tömegközéppont ( R c ) (amely Galilei lesz, annak a testnek az egyenes és egyenletes mozgása miatt, amelyhez kapcsolódik, ( R ) feltételezzük, hogy Galilei), amelyet baricentrikusnak nevezünk , hogy átírjuk az előző mozgásegyenleteket.

A fiktív részecske fogalmának bevezetése

Pózolással lehet írni: r→=defr2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

{r1→=R→VS-m2m1+m2r→r2→=R→VS+m1m1+m2r→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} - {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2 }}} {{overrightarrow {r}} \\ {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} + {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ overrightarrow {r}} \ end {cases}}}, (2).

Elég, ha figyelembe vesszük a két mozgásegyenlet közötti különbséget (1), és figyelembe vesszük a baricentrikus referenciakeret galilei jellegét, ami azt jelenti , hogy megkapjuk: R→vs.¨=0→{\ displaystyle {\ ddot {{\ vec {R}} _ {c}}} = {\ vec {0}}}

r→¨=(1m1+1m2)F→12.=(m1+m2m1m2)F12.→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = \ balra ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ jobbra) {\ vec {F}} _ {12} = \ balra ({\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {m_ {1} m_ {2}}} \ jobbra) {\ overrarrow {F_ {12}} }}.

Ez az egyenlet valójában egyetlen test mozgásának három szabadságfokkal rendelkezik:

μr→¨=F→{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} = {\ overrightarrow {F}}},

a , redukált tömege a rendszer, és a . μ=defm1m2m1+m2{\ displaystyle \ mu {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}F→=F12.→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

A baricentrikus referenciakeretben a probléma ezért egy úgynevezett fiktív részecske mozgatására redukálódik, μ tömegű és sugár-vektoros , az M 1 és M 2 testek pályáit homotetikusan vezetik le az előzőek szerint. képletek be . r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r→1,2{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1,2}}

Meg kell jegyezni, hogy abban a bizonyos fontos esetben, amikor az egyik test tömege sokkal nagyobb, mint a második (központi test, általában csillag vagy "nagy" bolygó), például ha a rendszer tömegközéppontja gyakorlatilag egyesült ezzel a központi test, és a redukált tömege gyakorlatilag egyenlő, hogy a más szerv ,. Megjegyezzük azonban, hogy a Hold mozgásához , amely a Naprendszerben a műhold relatív tömegével rendelkezik a bolygójához képest (1/81 Mt), ez a közelítés viszonylag pontatlan. m1≫m2{\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}μ≃m2{\ displaystyle \ mu \ simeq m_ {2}}

A szögimpulzus elsődleges integrálja - A pálya síkossága - Területek törvénye

Az nagyon fontos, konkrét esetben a központi erő, van a , a tétel a perdület közepén hatályba megjegyezte O írva: F→=F(r)er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = F (r) {\ overrightarrow {e_ {r}}}}er→=defr→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {r}}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}}}

L→˙=r→×F→=0→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {L}}} = {\ overrightarrow {r}} \ szor {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {0}}},

ami arra utal . L→=r→×(μr→˙)=vs.te→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {r}} \ times \ left (\ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}} }}

Fizikailag ez azt feltételezi, hogy a fiktív részecske helyzetvektora és sebességvektora mindig merőleges egy állandó vektorra: az M pályája tehát sík , ezért a probléma két szabadságfokú.

A sík a pálya, azokat a generált és ez megfontolt helyezni magunkat hengereskúpos polár koordinátákkal tengely irányában Oz a , ahol θ szög és ez jön: r→(t=0)=r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→˙(t=0)=v→0{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {v}} _ {0}}L→=Lez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = L {\ overrightarrow {e_ {z}}}}r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

L→=(rer→)×μ(r˙er→+(rθ˙)eθ→)=μr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = \ left (r {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) \ times \ mu \ left ({\ dot {r}} {\ overrightarrow {e_ {r} }} + \ bal (r {\ dot {\ theta}} \ jobb) {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} \ jobb) = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} { \ overrightarrow {e_ {z}}}},

ennek eredményeként:

μr2θ˙=L=vs.te{\ displaystyle \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = L = \ mathrm {cte}}(3)

Most a d t során a sugár-vektor által sújtott elemi területet a következő adja meg: r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

dNÁL NÉL=12r2dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = {\ dfrac {1} {2}} r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.

Az areoláris sebesség tehát állandó a fiktív részecske esetében (homotetikusan megegyezik a valós testek esetében is):

NÁL NÉL˙=dNÁL NÉLdt=12VS=vs.te{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2 }} C = \ mathrm {cte}},

A , a terület állandó . VS=defLμ{\ displaystyle C {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L} {\ mu}}}

Ennek eredményeként az egyes részecskék vektorsugara egyenlő területeket söpör le azonos idő alatt. Ez a tulajdonság minden központi erővel történő mozgásra érvényes. A C kifejezésből könnyen belátható, hogy a fiktív részecske szögsebessége fordítottan arányos az r távolsággal , és ezért maximális, ha ez utóbbi minimális , vagyis a periastronnál a Kepler-féle mozgásban - vö. infra.

Megjegyzések:

• Az egyenletes körmozgás a mozgás egyszerű esete, amely betartja a területek törvényeit;
• Az L kifejezése azt sugallja, hogy a pillanatnyi szögsebesség soha nem változtatja meg a jelet a pálya mentén: bizonyos értelemben a fiktív részecske, és ezért a két "valódi" test "mindig" ugyanabba az irányba fordul "a pályájukon;θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
• Ha L = 0, akkor a mozgás egyenes vonalú: ezt a konkrét esetet (degenerátumnak nevezzük) később kizárjuk.

Az energiahatékony potenciál elsődleges integrálja

A mozgás konzervatív, mivel az erő potenciális V ( r ) energiából származik , a teljes energia a mozgás első integrálja:

H=12μr→˙2+V(r)=vs.te{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} + V (r) = \ mathrm {cte}}, vagy , vagy az L szögimpulzus értékének kifejezésével  :r→˙2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} H=12μr˙2+Ueff(r){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ text {eff}} \ bal (r \ jobb)}, (4),

A hatékony potenciális . Ueff(r)=defL22μr2+V(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r \ jobb) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ { 2}}} + V (r)}

Végül a probléma egyetlen test mozgásának tanulmányozásához vezet, egyetlen r fokú szabadsággal . Ez mindig érvényes a két test problémájára, függetlenül az interakciós potenciál természetétől.

Analitikai felbontás

Szerint (4), lehetőség van arra, hogy kifejezzék a radiális sebesség , az következik, hogy: . r˙{\ displaystyle {\ dot {r}}}r˙=drdt=2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ bal ( HV (r) \ jobbra) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}

Ezután lehetőség van a változók szétválasztására és két t 0 és t pillanat integrálására , amelyek megfelelnek az r 0 és r sugáriránynak , hogy megkapjuk:

t-t0=∫r0rdr′2μ(H-V(r′))-L2μ2r′2{\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} r '} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ left (HV (r ') \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r' ^ {2}}}}}}}}, (4bis).

Ez implicit módon megfelel az r ( t ) óránkénti egyenletnek .

Figyelembe véve a (4) pontot, akkor lehetséges hasonló kifejezés megszerzése a θ-ra  :

θ-θ0=∫r0rLr′2dr′2μ(H-V(r′))-L2r′2{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ mathrm {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ bal (HV (r') \ jobb) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}}}, (4ter).

Ez a két kifejezés a gyakorlatban nehezen használható. Ezek azonban lehetővé teszik a lehetséges mozgások jellegének kvalitatív megvitatását.

A lehetséges mozgások kvalitatív vizsgálata

A kifejezésben a mindig pozitív kifejezés egy centrifugális gátnak felel meg . A feltételezett V ( r ) potenciál : Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r \ jobb)}L22μr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}}}

• vonzó  : ezért V ( r ) monoton növekszik minden r-re  ;
• rendszeres a származási hely: vagyis , ezért a kifejezés 1 / r 2 dominál, amikor .limr→0+r2|V(r)|=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 0 ^ {+}} r ^ {2} \ balra | V (r) \ jobbra | = 0}r→0+{\ displaystyle r \ to 0 ^ {+}}

Bár az utóbbi esetben nem lényeges, a V ( r ) -t a végtelenségnél is feltételezzük, akár a potenciálok eredetének megfontolt megválasztásával . Megegyezés V ( r ) <0. limr→∞V(r)=0+{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} V (r) = 0 ^ {+}}

E feltételek mellett érvényes a szokásos fizikai adottságok, a tényleges potenciál, amely egyedülálló az abszolút minimum, megjegyezte az , hogy , és ezért a potenciális medence (vö az ábrát, a newtoni potenciál). -Umin<0{\ displaystyle -U _ {\ min} <0}r=rm{\ displaystyle r = r_ {m}}dUeffdr|r=rm=0{\ displaystyle \ balra. {\ frac {\ mathrm {d} U _ {\ text {eff}}} {\ mathrm {d} r}} \ jobbra | _ {r = r_ {m}} = 0}

Sőt, a H kifejezése szerint  : r értéke megengedett, hogy hasonló legyen . H-Ueff(r)=12μr˙2⩾0{\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}Ueff(r)⩽H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ leqslant H}

Ezért lehet kvalitatív módon figyelembe venni a következő eseteket ( L értéke nem nulla):

• Összesen energia H > 0: mivel ha ez a feltétel teljesül bármelyik értéke a r min minimum megközelítés távolság olyan, hogy . A fiktív részecske tehát a végtelenbe mehet pozitív sugársebességgel, egyenlő .Ueff(r)⟶0-{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r \ jobb) \ longrightarrow 0 ^ {-}}r→∞{\ displaystyle r \ to \ infty}r⩾rmin{\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}Ueff(rmin)=H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r _ {\ min} \ jobb) = H}r˙mnál nélx=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Teljes energia H = 0: korlátozza esetben, ha a részecske mehet a végtelenségig, de nulla sugárirányú sebességgel, megfelelően az előző általános képletű, a minimális megközelítés távolság olyan, hogy , azaz .Ueff(rmin)=0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r _ {\ min} \ jobb) = 0}V(rmin)=-L22μrménnem2{\ displaystyle V \ left (r _ {\ min} \ right) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {min} ^ {2}}}}

• Teljes energia  : ebben az esetben a részecske a tér egy pontos tartományában van, az r két értéke között , például (megállási pontok). A sugárirányú sebességet e pontok mindegyikében törlik, azonban ez nem a pillanatnyi szögsebesség (vö. H kifejezése és az arra vonatkozó megjegyzések).0>H>-Umin{\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}Ueff(rmin,max)=H<0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ bal (r _ {\ min, \ max} \ jobb) = H <0}

Mivel a szülést a mozgás, az időtartam Δ t az R, hogy változik az R min , hogy r max könnyen alkalmazásával kapott a szerves kifejezést ad t . Mivel a hamiltoni idővariancia azt sugallja, hogy ez az időtartam ugyanaz lesz, ha r max- ról r min- re halad , a sugárirányú mozgás ezért periodikus a T periódussal : T=2∫rminrmaxdr2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ bal (HV (r) \ jobb) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}} , És egy olyan sugárirányú időszakban , ahol a szög θ változik mennyiség delta θ , által adott szerves expressziója θ  : Δθ=2∫rminrmaxLr2dr2μ(H-V(r))-L2r2{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ text {min}}} ^ {r _ {\ text {max}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }}} \ mathrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ bal (HV (r) \ jobb) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}}. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy a mozgás korlátozása semmiképpen sem jelenti azt, hogy a mobil pályája zárt görbe . Az, hogy ez mindenképpen szükséges lenne csak az m és n egész számok. Ebben az esetben és csak ebben az esetben a vektor sugara visszatér a kezdeti értékéhez n T "sugárirányú" periódus után , mivel akkor 2 mp-vel "elforgatott" lesz  : nT valójában a mozgás és a mozgás időszaka lesz. a függvény. θ ( t ). Egy ilyen helyzet arányos sugár- és szögperiódusoknak felel meg , és szükséges és elégséges feltétel ahhoz, hogy a határolt mozgás zárt görbe szerint történjen. Ezt a feltételt csak a newtoni potenciál teljesíti 1 / r értéknél és az izotróp térbeli harmonikus potenciál V ( r ) = kr 2 (ez utóbbi esetet nem vizsgáljuk tovább): ez az eredmény alkotja Bertrand tételét .Δθ=2πmnem{\ displaystyle \ Delta \ theta = {\ frac {2 \ pi m} {n}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

• Teljes energia  : ez a határ eset, amikor az egyetlen megengedett értéke r jelentése r m , és ebben az esetben a pálya egy kör e sugara.H=-Umin<0{\ displaystyle H = -U _ {\ min} <0}

• Teljes energia  : ezek az r értékek tilosak, és semmilyen fizikai értéknek nem felelnek meg.H<-Umin{\ displaystyle H <-U _ {\ min}}

Az alábbiakban bemutatjuk, hogy ezek az esetek mindegyike megfelel a Kepler-mozgás pályáinak sajátos formáinak, nevezetesen egy hiperbola, egy parabola, egy ellipszis és egy kör. Az előző beszélgetés grafikusan összefoglalható a szemközti ábrán.

A mozgás elfajulása

Az előző tanulmány feltételezéssel készült . Ha L = 0, akkor egyszerűen bármikor megvan , és a mozgás pusztán radiális  : azt mondják, hogy degenerált. Az előző megbeszélés leegyszerűsödik, az előző feltétel (4bis) felborul, minden esetben ellenőrizhető, ha . Ellenkező esetben könnyen ellenőrizhető, hogy a részecske "az erő középpontjára esik". L≠0{\ displaystyle L \ neq 0}θ˙=0{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}V(r)⩽H{\ displaystyle V (r) \ leqslant H}H⩾0{\ displaystyle H \ geqslant 0}

A Keplerian-mozgalom esete

Kepler mozgás megfelel az esetben, ha a két szerv a gravitációs kölcsönhatás, azaz a lehetséges kölcsönhatást , és így , a teljes tömeg a rendszer. Minden akkor történik, ha a fiktív részecske M vetettük alá a gravitációs kölcsönhatás egy test által érintett teljes tömeg a rendszer elhelyezni a származási O a ray-vektor. Ha a korábbi általános eredmények, amelyek ráadásul érvényesek egy konzervatív V ( r ) centrális potenciál mozgására , már lehetővé tennék számunkra az r = r ( t ) óránkénti egyenletének meghatározását , a newtoni potenciál elsődleges integrálja, a Runge- Lenz vektor, amely lehetővé teszi a pálya egyenletének egyszerű megszerzését. V(r)=-Gm1m2r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}}}F→=-Gm1m2r2er→=-GμMTr2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = - G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}} = - G {\ frac {\ mu M_ {T}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}MT=defm1+m2{\ displaystyle M_ {T} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} m_ {1} + m_ {2}}

Runge-Lenz invariáns - a pálya egyenletei

További első integrál megléte

A newtoni potenciált egy további, a Runge-Lenz invariáns létezése jellemzi : 1/r{\ displaystyle 1 / r}

e→=(r→˙×L→)GMTμ-er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ szor {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu} } - {\ overrightarrow {e_ {r}}}}, (5) Demonstráció r→¨×L→=d(r→˙×L→)dt=r→¨×[r→×(μr→˙)]{\ displaystyle {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} = {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ szor {\ overrightarrow {L }} \ jobbra)} {\ mathrm {d} t}} = {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ times \ left [{\ overrightarrow {r}} \ times \ left (\ mu {\ dot { \ overrightarrow {r}}} \ right) \ right]}, ahol azt figyelembe vették , ami:L→=vs.te→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} d(r→˙×L→)dt=-GMTer→r2×(μr2θ˙ez→)=GMTμθ˙eθ→{\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ szor {\ overrightarrow {L}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac { GM_ {T} {\ overrightarrow {e_ {r}}}} {r ^ {2}}} \ times \ left (\ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e_ {z }}} \ right) = GM_ {T} \ mu {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}}}, ahol a pálya síkját figyelembe vették, de a következők figyelembevételével azonnal következik:θ˙eθ→=er→˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} = {\ dot {\ overrightarrow {e_ {r}}}}} ddt((r→˙×L→)GMTμ-er→)=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ szor {\ overrightarrow {L}} \ right )} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}, ezért az eredmény. A fiktív részecske pályájának egyenlete

Nyilvánvaló, hogy ezért benne van a mozgás síkjában. Következésképpen meg lehet venni, mint a polárszöget szög w között és , és természetesen , és megjegyezve e a norma ez könnyen ellenőrizhető: L→⋅e→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = 0}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}

r→⋅e→=rekötözősaláta⁡w=r→⋅(r→˙×L→)GMTμ-r{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = re \ cos {w} = {\ frac {{{\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} alkalommal {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - r}, vagy figyelembe véve a személyazonosságot r→⋅(r→˙×L→)=L→⋅(r→×r→˙)=L2μ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ szor {\ overrightarrow {L}} \ right) = {\ overrightarrow {L}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {r}} \ szor {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}}} : r(1+ekötözősaláta⁡w)=o{\ displaystyle r \ left (1 + e \ cos {w} \ right) = p}, a .o=defL2GMTμ2{\ displaystyle p {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}

Fizikailag, p = r m , értéke r , melyek U eff ( R ) minimális. Tulajdonképpen , származtatással könnyen eljut akár r m = p értékre is . Ueff(r)=L22μr2-GMTμr{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} { r}}}L2μrm=GMTμ{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r_ {m}}} = GM_ {T} \ mu}

Az egyenlet a pálya kapott ezért az, hogy egy kúpos excentricitás e és paraméter p  :

r=o(1+ekötözősaláta⁡w){\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ bal (1 + e \ cos {w} \ jobb)}}}, (6),

amelynek erőközpontja az egyik fókuszpontot foglalja el. A vektor ezért a minimális távolság (vagy periapsis ) pontja felé irányul , amelyet q- vel jelölünk , és amelynek értéke w = 0. Ebben a pontban a pálya szögsebessége a legnagyobb. A w szöget a csillagászat igazi anomáliájának nevezzük . e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}q=o/(1+e){\ displaystyle q = p / \ bal (1 + e \ jobb)}w0˙=θ0˙{\ displaystyle {\ dot {w_ {0}}} = {\ dot {\ theta _ {0}}}}

Homotetikusan a valós testek mindegyike a baricentrikus viszonyítási keretben leír egy kúpot, amelynek tömegközéppontja az egyik gócot elfoglalja. Az e értéke meghatározza a kúp természetét:

• Ha e > 1, akkor a pálya hiperbola  : ebben az esetben az égitestek nincsenek összekapcsolva, és a végtelenségig mehetnek;

• Ha e = 1, akkor a pálya parabola  ;

• Ha 0 < e <1, akkor az útvonal ellipszis . Ez a helyzet a bolygókkal és a Naprendszer legtöbb más testével, ahol ráadásul a tömegközéppont gyakorlatilag összekeverhető a Nap helyzetével, ami lehetővé teszi Kepler első törvényének (1609) megtalálását: „Au A bolygók a Nap körüli mozgásuk során olyan ellipsziseket írnak le, amelyekben a Nap az egyik fókuszpontot elfoglalja ”. A második törvény (1609 is) közvetlenül a terület sebességének állandóságából következik, és a területek törvényének nevét viseli: "A Napot egy bolygóval összekötő sugárvektor egyenlő területeket egyenlő idő alatt söpör be".

• Ha e = 0, akkor az út kör alakú.

Megjegyzés a newtoni mező sajátos karakteréről

A newtoni mezők zárt pályáinak megszerzése figyelemre méltó, és valójában egy adott szimmetriából adódik. Noether tétele szerint a megőrzés törvényei összefüggenek a probléma különös szimmetriájának létezésével.

Így a két test globális rendszerének transzlációs invarianciája (a rendszer állítólag izolált jellegéhez kapcsolódva) a globális rendszer lendületének megőrzéséhez vezet, míg a központi mező rotációs invarianciája (izotropiája) ehhez a szögimpulzus és az invariancia az időben történő fordítással (ami feltételezi a "súrlódás" hiányát) a teljes energia megőrzéséhez. Ezeknek az első integráloknak a megléte lehetővé teszi az egymást követő 6-ról 3-ra, majd 2-re és végül egy bizonyos fokú szabadságot. Azonban még a véges mozgás, a két test nincs okunk leírni zárt görbe, és csak egy kiegészítő szimmetria vezet rá, és az eredményeket a létezését a bizonyos első integrálját a területen 1 / r 2 , a Runge- Lenz-vektor (vagy ekvivalensen az excentricitás-vektor).

Az előzőekből egyértelműen kiderül, hogy a pálya egyenletét egyszerűen úgy kapjuk meg, hogy a sugárvektort kivetítjük erre a konstans vektorra, amely meghatározza a tér adott irányát, a gyakorlatban a kúp tengelyét. Az ilyen típusú szimmetria azonban csak négy dimenzióban értelmezhető helyesen, vö. adott elem .

A kvantummechanikában ez a kiegészítő megfigyelhető a hidrogénatom tanulmányozása során, amely két kvantumtest problémájának felel meg, és ez az elektron energiaszintjének "véletlenszerű" elfajulását eredményezi., Amelyek nem függenek az l keringési kvantumszám a szögimpulzushoz kapcsolódik. Ismét a Coulomb mezőre jellemző, csak 4 dimenzióban értelmezhető további szimmetria magyarázza ezt a jelenséget.

Ezek a megfontolások mélyen azt mutatják, hogy abban az esetben, ha figyelembe vesszük a más égitestek okozta zavarokat, az átélt potenciál már nem lesz 1 / r 2-ben, és a Runge-Lenz vektor már nem lesz szigorúan a a mozgás. A pályák már nem lesznek szigorúan kúpok, zárt görbék (0 < e <1 esetén). Valójában ez figyelhető meg olyan elliptikus pályákkal, amelyek lassan "forognak" az űrben, ez a perihélium előretörésének jelensége , amelyet szigorúan az általános relativitáselmélet keretein belül értelmeznek .

Kapcsolat az excentricitás és a mozgás elsődleges integráljai között

A ( R c ) -hez kapcsolt Oxyz tér rögzített keretében a kúp Ox tengelye , az egységvektor fókuszától számított minimális távolság pontja felé irányul , Oz a szögimpulzus iránya , valamint a periastron és az r = q , az energia első integrálja ennek a minimális távolságnak a függvényében fejezhető ki, ez jön: ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {x}}}}L→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}r˙=0{\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}

H=L22μq2-GMTμq{\ displaystyle H = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu q ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}}},

ami arra utal . L2=2μq2H+2GMTμ2q{\ displaystyle L ^ {2} = 2 \ mu q ^ {2} H + 2GM_ {T} \ mu ^ {2} q}

Hasonlóképpen lehetséges az excentrica vektor egyszerű kifejezése:

e→=(L2GMTμ2q-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = \ balra ({\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2} q}} - 1 \ jobbra) {\ overrightarrow {e_ {x }}}}. Demonstráció

e→=(qθ0˙ey→)×(Lez→)GMTμ-ex→=(rménnemθ0˙LGMTμ-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left (q {\ dot {\ theta _ {0}}} {\ overrightarrow {e_ {y}}} \ right) \ szorzat \ bal (L {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {x}}} = \ left ({\ frac {r_ {min} {\ dot { \ theta _ {0}}} L} {GM_ {T} \ mu}} - 1 \ jobbra) {\ overrightarrow {e_ {x}}}}, vagy azóta , ezért az eredmény. qθ0˙=Lμq{\ displaystyle q {\ dot {\ theta _ {0}}} = {\ frac {L} {\ mu q}}}

Ha ebben a kifejezésben kicseréljük az L 2-re kapott értéket , akkor a kúp excentricitásának kifejezése a következő formában jelenik meg:

e=1+2qHGMTμ{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}}}.

Ezután ki lehet küszöbölni a minimális q távolságot az adott kifejezésben , és kapcsolatot lehet kapni az e excentricitás és a két első H és L integrál között . Ez az excentricitás előző kifejezésének helyettesítésével jön létre: q=o1+e=L2G2MT2μ3(1+e){\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}} = {\ frac {L ^ {2}} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3} (1 + e)}}}

(e+1)(e-1)=2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle (e + 1) (e-1) = {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}Vagy végül: .e=1+2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}}}

Ez az utóbbi két kifejezés természetesen csak akkor rendelkezik fizikai jelentéssel , és lehetővé teszi a fentebb látott különböző esetek megtalálását: e⩾0{\ displaystyle e \ geqslant 0}

• A hiperbolikus pálya esete: e > 1, amely H > 0-ra utal , amint mondták, a fiktív mobil a végtelenségig mehet, tisztán nulla nélküli sugársebességgel, amelyet az ad  ;r˙mnál nélx=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• A parabolikus pálya esete: e = 1 azt jelenti, hogy H = 0, a mobil megint nulla sebességgel mehet a végtelenbe.

• Az elliptikus pálya esete: 0 < e <1 azt jelenti, hogy van .-GMTμ2q<H<0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} <H <0}

• A körpálya esete: e = 0 tehát .H=-GMTμ2q=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}

Megjegyzés: olyan pályán lévő űrhajó esetében, amely képes módosítani kinetikus energiáját, ezért H és L , az előző e kifejezés azt mutatja, hogy a korrekciós impulzus helyes „megválasztásával” módosítható az excentricitás értéke A pálya e : ezt általában arra használják, hogy megfelelő " átviteli pályák " segítségével műholdakat juttassanak el a kívánt pályára . Sőt, ha szükséges, meg lehet szabadulni a föld vonzerejétől, például a bolygóközi szondák esetében.

Elliptikus mozgás esete

Az elliptikus Kepler-mozgás nagyon fontos a csillagászat szempontjából (például a Naprendszer bolygóinak pályái, mesterséges műholdak). Mindenesetre kiindulópontként szolgál a fejlettebb számításokhoz, figyelembe véve más égitestek vagy más olyan tényezők hatását, amelyek leggyakrabban ennek az "ideális" mozgásnak a zavarásaként hatnak.

A pálya fő paraméterei

Egy ellipszis lehet meghatározni, mint a pontok helye M olyan, hogy a távolságok összege a két fix pont nevezett gócok jelöljük F 1 és F 2 állandó: , van , hogy a félig-nagytengely a ellipszis, amely - mondjuk a fél-távolság a két csúcsok, amelyek egy röppálya periastron P és a apoaster a , a legtávolabbi pontot, a központtól a erő (amely elfoglalja az egyik fókusz) a pálya (lásd az ábrát). d(F1,M)+d(F2,M)=2nál nél{\ displaystyle d (F_ {1}, M) + d (F_ {2}, M) = 2a}

Azzal, hogy megjegyezzük Q-t az utolsó pont fókusztávolságától, amely megfelel , jön :, és ebből következtetünk . Az ellipszisnek O - szimmetriaközpontja van a gócoktól középtávolságon, és ezen keresztül halad át két merőleges szimmetriatengelye, amelyeket fő- és melléktengelynek nevezünk. w=π{\ displaystyle w = \ pi}Q=o/(1-e){\ displaystyle Q = p / \ bal (1-e \ jobb)}nál nél=o/(1-e2){\ displaystyle a = p / \ bal (1-e ^ {2} \ jobb)}

A paraméter p az ellipszis értékének felel meg a r a w = p / 2.

A fókusztól való féltávolságot c jelöli , nyilván megvan . Mi levezetni a félig kisebb tengely , jele b  : . Tudjuk küszöbölni e között az egyenleteket, amely egy és b , ez a kifejezés a paraméter az ellipszis . vs.=nál nél-q=eo1-e2=enál nél{\ displaystyle c = aq = e {\ frac {p} {1-e ^ {2}}} = ea}b=nál nél2-vs.2=nál nél1-e2{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}o=b2/nál nél{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

Ezeknek a képleteknek a kombinálásával megkapjuk a q periapszist és a Q apoasztrót  : és . q=nál nél(1-e){\ displaystyle q = a (1-e)}Q=nál nél(1+e){\ displaystyle Q = a (1 + e)}

Energia szempontok - Az élő erők egyenlete

Ahhoz, hogy megkapjuk azt az egyenletet, amely az eleven erők nevét   a leibnizi erőfelfogásból veszi át, kicseréljük a periastron távolságának kifejezését az (9) excentricitás-energia relációban, így jön: q=nál nél(1-e){\ displaystyle q = a \ bal (1-e \ jobb)}

1-e=-2qHGMTμ=-2Hnál nél(1-e)GMTμ{\ displaystyle 1-e = - {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}} = - {\ frac {2Ha \ bal (1-e \ jobb)} {GM_ {T} \ mu}}}, Amelyből az egyik felhívja a kifejezés az összes mechanikai energia értéke szerint a félig-nagytengely a  : H=-GMTμ2nál nél{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}, (10bis).

Ezért az összes energia megegyezik a potenciális gravitációs energia felével, ha r = a . Mivel H = cte, ez jön:

H=-GMTμ2nál nél=12μv2-GMTμr{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}} = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu } {r}}}, amelyből levezetjük a részecske v sebességének kifejeződését a pályán r és a függvényében , amelyet élő erőegyenletnek nevezünk  : v=GMT(2r-1nál nél){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ balra ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ jobbra)}}}, (10ter).

Ezt az egyenletet gyakran használják az asztronautikában. Ezért megjegyezzük, hogy a fél-fő tengely mérése közvetlenül kapcsolódik a fiktív részecske teljes energiájához, és ha van , mint azt várnunk kell, mivel az elliptikus pálya akkor parabolikus pályára halad. |H|→0{\ displaystyle \ bal | H \ jobb | \ to 0}nál nél→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Kepler harmadik törvénye

Az elliptikus mozgás véges, ezért periodikus a T periódussal , amelyet forradalmi periódusnak vagy keringési periódusnak nevezünk , és a fizikai törvények az időben történő fordítással invariánsak. Ez az időszak azonban könnyen mérhető egy égitest adott csillagászati megfigyelések, ahogy az is az érték a félig-nagytengely egy . Van azonban egy egyszerű kapcsolat a forradalom időszaka és a fél-fő tengely között, amelyet Kepler 1618-ban mutatott be először kísérletileg.

Ha a terület sebessége állandó , akkor a mozgás T periódusának integrálásával megkapjuk az ellipszis teljes területét, amely megegyezik , így az azonosság , amely megadja , hogy hol használták . NÁL NÉL˙=L2μ{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {L} {2 \ mu}}}πnál nélb{\ displaystyle \ pi ab}πnál nélb=LT2μ{\ displaystyle \ pi ab = {\ frac {LT} {2 \ mu}}}L2=4π2μ2nál nél2b2T2=4π2μ2onál nél3T2{\ displaystyle L ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} b ^ {2}} {T ^ {2}}} = 4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} p {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}}}o=b2/nál nél{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

De definíció szerint, amely végül ad megszünteti a lendület az alapvető összefüggés: . o=L2GMTμ2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}nál nél3T2=GMT4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM_ {T}} {4 \ pi ^ {2}}}}

Más szavakkal: a pályák fél-fő tengelyeinek kockái arányosak a forradalmi időszakok négyzetével .

Abban az esetben, egy bolygó a Naprendszerben, a Napunk tömegének gyakorlatilag egyenlő a teljes tömeg a rendszer, és írunk , a Gauss állandó . nál nél3T2=k4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {k} {4 \ pi ^ {2}}}}k=defGMS{\ displaystyle k {\ stackrel {\ text {def}} {=}} GM_ {S}}

Ezzel a közelítéssel a Naprendszer bármely két bolygójára írhatunk, nyilvánvaló jelölésekkel:

nál nél13T12=nál nél23T22{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} ^ {3}} {T_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {a_ {2} ^ {3}} {T_ {2} ^ {2} }}}.

Így egy bolygó (például a Föld, amely astrometriai módszerekkel nagyon pontosan mérhető) féltengelyének és a keringési periódusok (megfigyelésekkel) ismerete lehetővé teszi az összes tengely féltengelyének meghatározását. a Naprendszer bolygói. Ugyanígy járhat el az összes többi "rendszer" (pl. Csillag és bolygói, bolygó és műholdai ...) esetében is, ahol az adott test tömegét elhanyagolhatjuk a "központi" tömege előtt. test (csillag, bolygó).

Az átlagos mozgást , amelyet n jelölünk , az égitest átlagos szögsebességének nevezzük pályáján:, ezért Kepler harmadik törvénye szerint: nem=def2πT{\ displaystyle n {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {2 \ pi} {T}}}

nem=GMTnál nél3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {a ^ {3}}}}}.A körpálya határesete - minimális keringési sebesség

Ha e = 0, az ellipszis degenerálódik, és lejön egy R = p sugarú körre és az O középpontra , egybeesve a két fókusszal. A középponton áthaladó bármely tengely a pálya szimmetriatengelye. A (3) szerint a szögsebesség állandó (ezért találunk egy triviális „terület-törvényt”). θ˙=L/μo2{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = L / \ mu p ^ {2}}

A energia szinten, képlet szerint (10), és mint azt korábban említettük (lásd része 3,1-4 , ez megfelel a fizikai minimális a teljes energia H a , tehát, egy nulla sugárirányú kinetikus energia . Hatékony potenciális energia ezért minimális, amely megfelel fizikailag a pontig, ahol a feltételek a centrifugális gát 1 / R 2 és a vonzó a potenciális „centripetális” 1 / r egyensúlyban. H=-GMTμ2R=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2R}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}12μr˙2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2}}Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r)}

Csak ennek a minimális mechanikai energiának köszönhető, hogy az ember a fiktív mobil körül kering az erő középpontja körül az R távolságon (és ezért a másik körül egy "valódi" testnél is), egy alacsonyabb érték vezet a "leeséshez". a fiktív részecske az erő közepén. Ez a minimális mechanikus energia megfelel a v sebesség egy meghatározott értékének, amelyet minimális keringési sebességnek vagy „első kozmikus sebességnek” nevezünk . Valóban, a következő egyenlet szerint az élő erők (10ter), az egyik a kör alakú nyomvonal sugarú R = már tisztán orthoradial sebesség és állandó értéket:

v1=GMTR{\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {R}}}}, (11).

Az alkalmazásokban (asztronautika) ez a sebesség valójában független a „műholdas” test tömegétől, mivel a teljes tömeg ekvivalens a „központi” csillag tömegével.

Példa: A Föld esetében legalább R = 6400  km (a Föld felszíne) van, ami megközelítőleg v 1 ≈ 7,9  km s −1 .

Parabolikus mozgás esete

A parabolikus mozgás az elliptikus mozgás korlátozó esete, amikor az e excentricitás 1 felé halad. Intuitív módon ez egyre hosszabbodó ellipszisnek felel meg, a P periastron megközelíti az F 1 fókuszt , míg a másik F 2 fókuszt egyre "előre vetíti" . Végül elutasítják a végtelenbe, mint a apoastro A és az ellipszis „megnyitja” pontban A adni egy parabola.

A pálya fő paraméterei

Ez az eset megfelel e = 1 és a poláris otthonában a pálya egyenlete tehát: . A periapsis P megfelel w = 0, és található a távolságot q = p / 2 a fókusz F , és mi az . Az irány ( FP ) a görbe szimmetriatengelye, és véges távolságban nincs apocenter. r=o1+kötözősaláta⁡w{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1+ \ cos w}}}r→+∞{\ displaystyle r \ to + \ infty}w→π{\ displaystyle w \ to \ pi}

A szemközti ábra összefoglalja a pálya főbb jellemzőit.

Energia szempont - a felszabadulás sebessége

A (10) összefüggés szerint és amint azt korábban jeleztük, ez a korlátozó eset megfelel H = 0-nak. Ebben az esetben az összes kinetikus energia mindig megegyezik a gravitáció potenciális energiájával, vagyis r-nél adott : azonnal következik a sebesség egyszerű kifejezése a pályán bármely r-nél , amely megfelel az erők egyenletének élénk a parabolikus Kepler-mozgáshoz:, (12). 12μv2=GMTμr{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {r}}}v=2GMTr{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {r}}}}

Ez a kapcsolat megfelel az elliptikus mozgáshoz talált úgynevezett élő erők egyenletének , a (10ter) relációval . nál nél→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

A sebesség ezen értéke az r = q távolságban elhelyezkedő periastronon maximális , ahol a sebesség tisztán ortoradiális. A felszabadulás sebességét vagy a „második kozmikus sebességet” tehát R adott távolságra úgy definiáljuk . v2=2GMTR=2v1{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {R}}} = {\ sqrt {2}} v_ {1}}

Ez az a minimális sebesség , amelyet (orthoradialisan) át kell adni a fiktív részecskének, amelyet az erő középpontjától adott R távolságra helyeznek el , hogy az "elkerülhesse" az általa kifejtett gravitációs vonzerőt. végtelen, parabolikus pályát követve.

Példa: A Föld felszínéről v 2 ≈ 11,2  km s −1 .

Konkrétan lehetséges egy objektumnak, például egy űrszondának, parabolikus pályát adni, amelynek fókuszában van egy adott csillag (például a Föld) C középpontja, és egy csúcsával egy adott M pont van a térben, így R = CM azáltal, hogy kommunikál a megmunkálni az R kioldási sebességével megegyező értékű sebességet, amely merőleges a sugárirányra ( CM ). Ez tökéletesen megtehető egy kezdeti elliptikus pályáról, a periastrontól kezdve: valójában ezen a ponton a gép sebessége ortoradiális és maximális értékű, bár a felszabadulás sebessége a periastronnál nagyobb, mint a apoaster.

Hiperbolikus mozgás esete

A pálya fő paraméterei

Ha e > 1, akkor az r értéke végtelenbe hajlik a két irányra, és a főtengelyhez ( FP ) képest szimmetrikusan meghatározza az aszimptotákat a pálya görbéjén. A w értékei olyanok, amelyek megfelelnek az r negatív értékeinek : valójában a hiperbola másik ága, amely egy visszataszító mező esetén bejárható lenne (vö. Rutherford-diffúzió ). Fizikailag az egyetlen fedett ág az, amely a legközelebb van az F házhoz . w∞=arccos⁡(-1e){\ displaystyle w _ {\ infty} = \ arccos {\ bal (- {\ frac {1} {e}} \ jobb)}}w=w∞{\ displaystyle w = w _ {\ infty}}w=2π-w∞{\ displaystyle w = 2 \ pi -w _ {\ infty}}w∞<w<2π-w∞{\ displaystyle w _ {\ infty} <w <2 \ pi -w _ {\ infty}}

A hiperbola két aszimptotája a főtengely O pontjában, a teljes matematikai görbe szimmetriaközpontjában metszik egymást , két ággal. Tudjuk meg egy pontot F ' szimmetrikus F tekintetében O , amely a hangsúlyt a második ága a hiperbola. Mint minden kúp esetében, a P periastron is a fókusztól távol helyezkedik el, és alkotja a pálya csúcsát. Meghatározhatunk egy "apoastro" A értéket, amely megfelel w = p értéknek, és megfelel a második ág tetejének. Ez a pont a fókusztól távol helyezkedik el , a P és A közötti távolság pedig . Ez az érték a „fél-nagytengely” egy teszi azt lehetővé, hogy írjon , és a távolság a központtól szimmetria O fókuszpontba, hogy ae . q=o1+e{\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}}}Q=o|1-e|=oe-1{\ displaystyle Q = {\ frac {p} {\ bal | 1-e \ jobb |}} = {\ frac {p} {e-1}}}2nál nél=defQ-q=2oe2-1{\ displaystyle 2a {\ stackrel {\ text {def}} {=}} Qq = 2 {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}o=nál nél(e2-1){\ displaystyle p = a (e ^ {2} -1)}q=nál nél(e-1){\ displaystyle q = a (e-1)}Q=nál nél(e+1){\ displaystyle Q = a (e + 1)}

A szemközti görbe összefoglalja a pálya jellemzőit két hiperbolas példával, ugyanazzal a paraméterrel, az egyik e = 2, a másik e = 5.

Energia szempontok - az élő erők egyenlete

Lehetőség van bizonyítani, mint az esetben, az elliptikus pálya, közötti összefüggést H , és a félig-nagytengely egy a hiperbola fenti. Valójában a P periapisnál, ahol r = q = a ( e – 1), a sebesség tisztán ortoradiális, és a H mechanikus energiát a következő formában fejezzük ki , de megvan , ami az előző egyenletben helyettesítéssel megadja: H=12μv2-GMTμq=L22μnál nél2(e-1)2-GMTμnál nél(e-1){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}} = {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu a ^ {2} (e-1) ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}}}L2=GMTμ2o=GMTμ2nál nél(e2-1){\ displaystyle L ^ {2} = GM_ {T} \ mu ^ {2} p = GM_ {T} \ mu ^ {2} a (e ^ {2} -1)}

H=GMTμnál nél(e-1)(e-1)2-1){\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}} \ bal ({\ frac {e-1)} {2}} - 1 \ jobb)}, vagy végül a reláció :, (13).H=GMTμ2nál nél{\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}

Ez a viszony azonos a kapott elliptikus mozgás, a változó egy a - egy . Ezután az ellipszis esetéhez hasonlóan eljárva megkapjuk a hiperbolikus mozgás élő erőinek egyenletét:

v=GMT(2r+1nál nél){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ balra ({\ frac {2} {r}} + {\ frac {1} {a}} \ jobbra)}}}, (14).

Vektoros illusztrációk

Néhány animáció két test (fehér korong) keringését mutatja a baryközpont körül (vörös kereszt).

Hivatkozások

1. Ez abban az esetben érvényes, amikor a két test mérete nagyon kicsi a mozgás közbeni távolságukhoz képest.
2. Ez a közelítés más testek hatásának elhanyagolását jelenti, figyelembe véve cselekedeteik relatív jelentőségét a két testben. Például egy bolygó mozgása a Nap körül természetesen az uralkodó kölcsönhatás a bolygó csillagé, első közelítésként legalább elhanyagolhatjuk a Naprendszer többi testének kölcsönhatásainak mind a mint a bolygó. A teljesebb leíráshoz azonban perturbatív módon kell figyelembe venni.
3. Valójában két független egy test problémája, de a tehetetlenségi központ mozgása triviális.
4. Az homothety, akkor természetesen az azonos azoknak a valós részecskéket M1 és M2 .
5. Ha azonban a mozgás degeneráltnak mondható, és egyenesre redukálódik, akkor a pálya síkjának fogalmának nincs jelentéseL→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {0}}}
6. Ez az utolsó feltétel nem feltétlenül szükséges, kapunk egy potenciálmedencét is, amely bizonyosan végtelen , és amelynek k > 0 alakja harmonikus térbeli potenciállal rendelkezik , de ezt a példát nem vesszük figyelembe.V(r)=12kr2{\ displaystyle V (r) = {\ dfrac {1} {2}} kr ^ {2}}
7. Ez a minimális megközelítési távolság nulla radiális sebességnek felel meg egy véges távolságban.
8. A végtelenben a sebesség tisztán sugárirányú: az ortoradiális kifejezés valójában az, hogy 1 ⁄ r 2-ben van , ezért nagy távolságban a 0 felé hajlik.
9. Szigorúan véve a Runge-Lenz vektort klasszikusan definiálja .o→×L→-GMTμ2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}} \ szor {\ overrightarrow {L}} - GM_ {T} \ mu ^ {2} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}
10. Ez eredetváltozásnak felel meg, ami nem kérdőjelezi meg a korábbi eredményeket, különösen azt a tényt, hogy L = cte, mivel ez csak a szögsebesség értékétől függ .θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}
11. Mi is van L = 0 esetében bármely H , azonban a paraméter p jelentése nulla és már nem kapunk parabola, hanem egyszerűen egy „kúpszelet” degenerált a jobb: lásd a megjegyzés a fenti a degeneráció a mozgás. Ezt a triviális esetet később nem vesszük figyelembe.
12. Itt összekeverjük a csillag középpontját és a {szonda - csillag} rendszer tömegközéppontját, tekintettel a két objektum tömege közötti összefüggésekre.

Hasznos könyvek:

• Dumoulin és Parisot, Gyakorlati csillagászat és számítástechnika , Masson, Párizs, 1987.
• Perez, fizika kurzusok: mechanikus - 4 -én  kiadás, Masson, Párizs, 2001.
• Landau és Lifchitz, Cours de physique - I. Tome: Mécanique , Ellipses - Marketing, Párizs, 1994.

Az interneten :

• Luc Duriez, Klasszikus égi mechanika tanfolyam , University Lille-I / IMCCE, 2002, nagyon teljes, elérhető a következő címen pdf-ben: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

Kapcsolódó cikkek

• N testprobléma
• Központi erőmozgás
• Kinematika> Elliptikus mozgás
• Kepler törvényei

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">