Tehetetlenségi központ

A tárgy tehetetlenségi központja vagy tömegközéppontja az a pont a térben, ahol a tehetetlenség hatásait alkalmazzák, vagyis a lendület variációs vektorát . Ha a tömeg a rendszer állandó, amely azt fogja az egyszerűség kedvéért később, akkor , hogy a gyorsulás . Ez az a pont is, ahol az edzés gyorsulásából adódó tehetetlenségi vektor erő alkalmazható nem galilei vonatkoztatási rendszer esetén. do→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}do→dt=mnál nél→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ vec {a}}}nál nél→{\ displaystyle {\ vec {a}}}

Ha az objektumot egy adott irányú tengely körül akarjuk forgatni, akkor az a tengely, amelyhez a legkevesebb erőfeszítést kell biztosítani, az a tehetetlenségi központon átmenő tengely. Ha a forgástengely nem halad át a tehetetlenség középpontján, ez rezgéseket generál a rendszerben; "  kiegyensúlyozatlan  ".

Abban az esetben, ha figyelembe vehetjük az egyenletes súlymezőt , a tehetetlenségi központ összekeveredik a tömegközépponttal . G.-vel jelöljük. g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}

Történelmi

A koncepció fontossága

Gyorsulásnak kitett tárgy billentése

Vegyünk egy felfüggesztésekkel felszerelt járművet - motorkerékpár, autó, busz…, amely fékez. A jármű eleje láthatóan zuhan. Ezzel szemben, még akkor is, ha kevésbé látható, a jármű lineáris gyorsulásakor az eleje felemelkedik, ami lehetővé teszi például, hogy a kétkerekűek hátsó kereket készítsenek .

Egy kanyarban négykerekű járművek dőlnek kifelé a kanyartól; a kétkerekűeknek befelé kell hajolniuk, hogy ne essenek le.

Ha egy tárgyat a jármű padlójára helyeznek, akkor a kifejezés tág értelmében vett bármilyen gyorsulás - növekvő vagy csökkenő sebesség, irányváltás - esést okozhat.

Ezeknek a hatásoknak a rotációban történő leírására képesnek kell lennie meghatározni a tehetetlenség hatásainak alkalmazási pontját. Az analitikai statikában a forgás dinamikájának alapelve általában a tömegközépponthoz viszonyítva fejeződik ki (mivel az embernek általában a tehetetlenségi nyomatéka van a G-hez képest), a tehetetlenség ezen hatása ekkor a pillanata óta elfedik pont nulla. Ez nem így van, ha a pillanatot egy másik ponthoz viszonyítjuk, vagy ha grafikus felbontási módszereket akarunk használni.

Ezenkívül statikus vagy dinamikus vizsgálat céljából bármely, egyenletesen kifejtett térfogatú erő modellezhető a tehetetlenségi központra ható erővektorral. Ez vonatkozik például ferromágneses anyagból , egyenletes mágneses térben készült tárgyra .

Forgás rögzített tengely körül

Vegyünk egy olyan lemezt, amelyet el akarunk forgatni az arcára merőleges Δ tengely körül, rögzítve a galilei vonatkoztatási rendszerben. Adott szöggyorsulás α létrehozásához a nyújtandó erő kisebb, ha a Δ tengely áthalad a tehetetlenség középpontján (bal ábra), mint ha excentrikus (jobb ábra). Ennek eredménye Huygens tétele a tehetetlenségi pillanat kiszámításához .

Másrészt, forgás közben, ha a tehetetlenség középpontja nincs a tengelyen, ez azt jelenti, hogy a tengelynek erőt kell kifejtenie a tárcsán, hogy centripetális központi gyorsulást hozzon létre . Ez a tárgyzal együtt forgó erő rezgéseket hoz létre. Ezek a rezgések önként hozhatók létre, például vibrátorok számára , vagy akaratlanok is lehetnek, ilyenkor károsak: zajt, idő előtti kopást, a csavarozott elemek fellazulását okozzák, a fáradtság jelenségét, amely a tengely megrepedéséhez vezethet, ...

Forgó tárgy esetében ezért a tehetetlenségi központ helyzetének ismerete elengedhetetlen az ideális forgástengely meghatározásához, különösen nagy forgási frekvenciák mellett.

A tehetetlenségi központ helyzetének meghatározása

Egy olyan rendszer az n diszkrét anyagot pontokat a tömegük (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ n  , a központ a tehetetlenség a barycenter a tömegek

OG→=1m∑én=1nemménOM→én{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} _ {i}}

a m = Σ m i . Ezért rendelkezik a barycenter összes tulajdonságával, szigorúan pozitív súlyozási együtthatókkal, és különösen:

• két pont (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ) tömegközéppontja a nyitott vonalszakaszban] M 1 M 2 [;
• hagyjon három anyagi pontot (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ G súlypont 3 ; ha G 1, 2 az (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ) tömegközéppontja, akkor G a (G 1, 2 , m 1 + m 2 ) és ( M 3 , m 3 ).

Ortonormális koordinátarendszerben, derékszögű koordinátákban, ha az M i ( x i  , y i  , z i ) és a G ( x G , y G , z G ) pont koordinátáit jelöljük , akkor ez

{xG=∑ménxénmyG=∑ményénmzG=∑ménzénm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m}} \\\ end {mátrix}} \ right.}

Egy egyenletes vagy nem egyenletes sűrűségű objektumhoz ρ (M) van Σ{\ displaystyle \ Sigma}

{xG=∫Σρ(M)xdVmyG=∫Σρ(M)ydVmzG=∫Σρ(M)zdVm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) x \ mathrm {dV} } {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) y \ mathrm {dV}} {m}} \ \ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) z \ mathrm {dV}} {m}} \\\ end {mátrix} } \ jobb.}

a . Ha a ρ sűrűség egyenletes, akkor m=∫Σρ(M)dV {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}

{xG=∫ΣxdVVyG=∫ΣydVVzG=∫ΣzdVV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} x \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} y \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} z \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\\ end {mátrix}} \ right.}

a . A tehetetlenségi központ tehát a „geometriai középpont”, vagyis a baricentrum, tekintve, hogy az objektum összes pontja azonos súlyozással rendelkezik ( izobarycenter ). V=∫ΣdV {\ displaystyle \ mathrm {V} = \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {dV} ~}

Néhány 3D modellező típusú számítógéppel támogatott rajzszoftver önmagában kiszámítja a rajzolt objektum tehetetlenségi középpontját, egyenletes sűrűséget feltételezve. Például :

• A SolidWorks 2008 kiadásban a tömegközéppont, amelyet „súlypontnak” neveznek, a menüből kapja meg Outils > Propriétés de masse.

Az egyszerű esetek meghatározásának módszereit, valamint a grafikus és kísérleti módszereket a súlypont # A súlypont meghatározása című cikk ismerteti , mivel a legtöbb esetben a tehetetlenségi központ összekeveredik a tömegközépponttal.

Dinamikus tulajdonságok

Legyen egy olyan rendszer, amely lehet diszkrét vagy folyamatos, deformálhatatlan vagy deformálható halmaz. Ennek a rendszernek a G súlypontjának pályáját úgy határozzuk meg, hogy figyelembe vesszük a Σ-ra kifejtett külső erőket , vagyis a Σ-n kívüli erőket , amelyek a Σ egyes elemeire hatnak. A rendszer elemei közötti erők nem avatkoznak be. Így van

mnál nél→G=∑F→ext/Σ{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = \ sum {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}

ahol m a Σ teljes tömege.

Így például ha egy héj repülés közben felrobban, és a levegő súrlódását elhanyagoljuk, akkor az összes töredék súlypontjának pályája ugyanazt a pályát követi, mintha a héj ép lenne.

Tüntetések

Két lényeges pont esete

Az anyagi pont vizsgálata (G, m )

Helyezzük magunkat egy galilei referenciakeretbe R g referencia . Tekintsünk két különálló anyagpontot (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ). Az M 1 pont olyan erőknek van kitéve, amelyek eredményét - a vektorösszeget - megjegyezzük  ; ugyanígy jelezze az M 2 -re eső erők eredőjét . A Σ rendszer két anyagi pont halmaza: Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}; ennek a rendszernek a környezetét Σ- vel jelöljük („  kiegészítve a sigmával”). (O,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}

Alkalmazzuk a dinamika alapelvét minden lényeges pontra:

{m1nál nél→1= F→1m2nál nél→2= F→2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} \\ m_ { 2} {\ vec {a}} _ {2} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} \\\ end {aligned}} \ right.}

A tömegközéppont gyorsulása

nál nél→G=d2dt2OG→=1md2dt2(m1OM→1+m2OM→2)=1m(m1nál nél→1+m2nál nél→2){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} {\ overrightarrow { \ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} + m_ {2} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2}) = {\ frac {1} {m}} (m_ { 1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2})}

van

mnál nél→G=m1nál nél→1+m2nál nél→2=F→1+F→2{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2 } = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}.

Látható tehát, hogy a tömegközép úgy viselkedik, mint egy m = m 1 + m 2 tömegű anyagi pont, amely a rendszer anyagi pontjain kifejtett összes erőnek alávetné magát. A tehetetlenségi központ tehát lehetővé teszi a rendszer tanulmányozásának egyszerűsítését. F→1+F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}

Az M 1 anyagi ponton végrehajtott műveletek eredményei a következőkre bonthatók  : F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→1=F→ext/1+F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {2/1}}

• F→ext/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}}}a rendszer the külseje által az M 1-en végrehajtott műveletek eredménye  ; azt is megjegyezzük , vagy  ;F→Σ¯/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} / 1}}}F→ext→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext \ to 1}}}F→Σ¯→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} \ to 1}}}
• F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}az M 2 M 1-re gyakorolt hatásának eredménye  ; lehet gravitációs vonzás, elektrosztatikus, kontakt hatás (húzza keresztül a kábel közvetlenül toló- vagy keresztül egy bár, ...); azt is megjegyzik .F→2→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2 \ - 1}}

Hasonlóképpen bomlunk . A kölcsönös cselekvések elve szerint (Newton harmadik törvénye) megvan F→2=F→ext/2+F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {1/2}}

F→2/1=-F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}.

Ebből következik, hogy

F→1+F→2=F→ext/1+F→2/1+F→ext/2+F→1/2=F→ext/1+F→ext/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ { \ mathrm {ext / 2}}}.

A Σ súlypontján kifejtett műveletek eredménye a külső tevékenységekre redukálódik. A rendszeren belüli forces erők, az M 1 és M 2 közötti műveletek "eltűnnek a mérlegből"

Ezért egyszerűsíthetjük a vizsgálatot azáltal, hogy az anyagi pontot (G, m ) tanulmányozzuk a Σ = {(M 1 , m 1 ) halmaz helyettesítőjeként ; (M 2 , m 2 )}. A (G, m ) rá kifejtett mechanikai hatások a Σ-ra kifejtett külső cselekvések, vagyis a Σ rá Σ hatásai .

Az n pont esetére való kiterjesztést a barycenter matematikai tulajdonságainak figyelembevételével végezzük.

Az anyagpontok (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ) vizsgálata a tömegközéppont referenciakeretében

Helyezzük most magunkat az R 'vonatkoztatási középpont referenciakeretébe . Az anyagi pontok tehetetlenségi erőkön és . Az M 1 anyagi ponthoz tartozó erők eredményét felírjuk: (G,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→én1=-m1nál nél→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} = - m_ {1} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}F→én2=-m2nál nél→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I2}} = - m_ {2} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}

F→R1= F→1+F→én1= F→1-m1m(F→1+F→2)= 1m(mF→1-m1F→1-m1F→2)= 1m(m2F→1-m1F→2){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} \\ = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} - {\ frac {m_ {1}} {m}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}} } _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec { \ mathrm {F}}} _ {2}) \\\ end {igazítva}}}.

Az anyagi M 2 ponthoz ez van írva:

F→R2=1m(m1F→2-m2F→1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}} = {\ frac {1} {m}} (m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} -m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1})}.

Látjuk, hogy ebben a referenciában a priori, nem a galilei, az anyagi pontok ellentétes erőknek vannak kitéve, és ugyanolyan intenzitással járnak . F→R1=-F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}

Vegye figyelembe, hogy itt

F→R1=F→2/1+1m(m2F→ext/1-m1F→ext/2){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ frac {1} {m} } (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}})}

ahogy a rendszer „belsejében” tanulmányozzuk Σ, normális, hogy a cselekvéseket benne találjuk Σ.

Deformálhatatlan szilárd anyag esete

Ha az anyagi pontokat egy elhanyagolható tömegű, deformálhatatlan oszlop köti össze - az M 1 M 2 távolság állandó -, akkor Σ alkotja azt, amit „deformálhatatlan szilárd anyagnak” nevezünk. Az R 'tömegközéppont referenciakeretében a solid szilárd anyagnak forgási mozgása van a G-n áthaladó pillanatnyi tengely körül, mivel a GM 1 és GM 2 távolságok is állandóak - a tengely orientációja idővel változhat. Így meghatározhatunk egy pillanatnyi szögsebesség- vektort úgy, hogy az R '-ben lévő anyagpontok sebessége megérje: ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}

v′→1=M1G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {1} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ ék {\ vec {\ omega}}} v′→2=M2G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ ék {\ vec {\ omega}}}

és az R ' anyagpontok pillanatnyi szöggyorsulása , például a tangenciális komponensükre csökkentett gyorsulások: α→{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}}}

nál nél′→1= ddtv′→1= ddt(M1G→∧ω→)= ddt(M1G→)∧ω→+M1G→∧ddtω→= -v′→1∧ω→+M1G→∧α→= M1G→∧α→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a '}} _ {1} = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {v'} } _ {1} \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ ék {\ vec {\ omega}}) \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}) \ ék { \ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ omega }} \\ = \ & - {\ vec {v '}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \ end {aligned}}}

és ugyanaz

nál nél′→2=M2G→∧α→{\ displaystyle {\ vec {a '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ ék {\ vec {\ alpha}}}.

Az erő G-hez viszonyított pillanata meg van írva: F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}

M→G(F→R1)= GM→1∧F→R1= m1GM→1∧nál nél′→1= m1GM→1∧(M1G→∧α→)= m1GM12αbűn⁡(M1G→,α→)⋅u→= m1GM12bűn⁡(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ ék {\ vec {a '}} _ {1} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}) \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2 } \ alpha \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ cdot {\ vec {u}} \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}} \ end {igazítva}}}

hol van a pillanat vektor egységvektora. Ha R 1 = GM 1 és R 2 = GM 2-vel jelöljük , akkor: u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

M→G(F→R1)=m1R12bűn⁡(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = m_ {1} \ mathrm {R} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}

és ugyanaz

M→G(F→R2)=m2R22bűn⁡(M1M2→,α→)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = m_ {2} \ mathrm {R} _ {2} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}.

Hívjuk a tehetetlenségi momentumot a tengely (Δ) = mennyiségek vonatkozásában (G,u→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {u}})}

J Δ1 = m 1 R 1 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ)) J Δ2 = m 2 R 2 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))

és így van

M→G(F→R1)=JΔ1α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 1} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}} M→G(F→R2)=JΔ2α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 2} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}

A két vektor azonos orientációjú, mivel és kollináris és reverz, és és és szintén kollináris és reverz. M1G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}}M2G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}}}F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}

Az R 'referenciakeretben a solid szilárd anyagot teljes nyomatéknak vetik alá

M→=M→G(F→R1)+M→G(F→R2)=(JΔ1+JΔ2)α⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = (\ mathrm {J} _ {\ Delta 1} + \ mathrm {J} _ {\ Delta 2}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}.Következtetés

Az anyagi pontok (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ) Σ rendszerének dinamikus vizsgálata két részre bontható:

• a tanulmány az anyag pont (G, m ) a galileai referenciakeretben R g , vetjük alá, a kapott a erők külső Σ;
• az anyagi pontok (M 1 , m 1 ) és (M 2 , m 2 ) vizsgálata az R 'tömegközéppont referenciakeretében;
• abban az esetben, ha Σ alakíthatatlan szilárd anyag, meghatározhatjuk a J Δ tehetetlenségi nyomatékot (kg inm 2-ben ) a Δ pillanatnyi szöggyorsulás tengelyéhez képest, amely leírja az objektum tömegének eloszlását a tengely körül, és amely a fordítási dinamika alapelvéhez hasonló egyenletet biztosít a forgatáshoz: M→=JΔα→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = \ mathrm {J} _ {\ Delta} {\ vec {\ alpha}}}.

Példák

Illusztráljuk a tehetetlenségi központ által két egyedi eset által hozott egyszerűsítést.

Az első eset a {Nap, Föld, Hold} rendszer ( a három test problémája ) heliocentrikus vonatkoztatási rendszerében van: a Földet és a Holdat két anyagi pontnak tekinthetjük,

• a Föld a Nap vonzásának és a Hold vonzásának van kitéve  ;F→S/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}}}F→L/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {L / T}}}
• a Hold a Nap vonzerejének és a Föld vonzásának van kitéve .F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}F→T/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {T / L}}}

A vizsgálat leegyszerűsítése érdekében úgy tekintünk a {Föld, Hold} rendszerre, mintha egyetlen objektumról lenne szó. A {Föld, Hold} rendszer tehetetlenségi középpontjára kifejtett erők eredője tehát megéri . F→S/T+F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}

A második eset két golyó {1; 2} elhanyagolható tömegű merev rúddal van összekötve a földi referenciakeretben.

• Az 1 golyó súlyának és a rúd által közvetített másik golyó hatásának van kitéve  ;P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}
• a 2 golyó súlyának és a rúd által közvetített másik golyó hatásának van kitéve .P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}

A tanulmány egyszerűsítése érdekében figyelembe vesszük a rendszert {1; 2} mintha egyetlen tárgyról lenne szó. A {1 súlypontjára kifejtett műveletek eredője; 2} a külső cselekvésekre is korlátozódik . P→1+P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}

Deformálhatatlan folytonos szilárd anyag esete

A folytonos szilárd anyagot ρ (M) sűrűsége határozza meg, ahol M jelentése Σ pontja. Figyelembe vesszük a dV végtelen kis térfogatának elemét az M körül; lényeges pontot képez (M, ρ (M) dV). A Σ tehetetlenségi középpontját úgy határozzuk meg, hogy a pontok matematikai tömegközéppontját (M, ρ (M) dV) vesszük fel , amely a barycenter folyamatos változata:

OG→=1m∫Σρ(M)OM→⋅dV{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ cdot \ mathrm {dV}}

val vel

m=∫Σρ(M)dV {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}.

Meg van írva az anyagi pont (G, m ) fordításának alapelve az R g galilei vonatkoztatási rendszerben

F→ext/Σ=mnál nél→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma} = m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}

ahol a Σ-ra ható külső erők eredője. F→ext/Σ{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}

Lásd is

• Gravitáció középpontja
• Nyomásközpont

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">