A mozdulatok összetétele
A mozgások összetételének törvénye lehetővé teszi a newtoni mechanikában, hogy két külön referenciakeretben kapcsolják össze a megfigyelt gyorsulásokat és sebességeket . Ez egy kinematikai törvény , vagyis lényegében a leírás. Mindazonáltal lehetővé teszi a tehetetlenségi erők fogalmának bevezetését nem galilei referenciakeretben .
Preambulum: Bour képlete
Legyen a nem galileai referenciakeret (R ') a galilei referenciakerethez (R) képest elforgatva a szögsebességvektor szerint .
Ω→(R′/R){\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} _ {(R '/ R)}}
Bour képlete lehetővé teszi egy vektor deriváltjának expresszióját egy mobil bázisban. Bármely vektor esetében:
B→(t){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {B}}} (t)}
(dB→dt)(R)=(dB→dt)(R′)+Ω→(R′/R)∧B→{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {B}}}} {\ mathrm {d} t}} \ right) _ {(R)} = \ left ({ \ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {B}}}} {\ mathrm {d} t}} \ right) _ {(R ')} + {\ vec {\ Omega}} _ { (R '/ R)} \ ék {\ vec {\ mathrm {B}}}}
|
jegyzet
Megtalálható eltérő jelöléseket, mint például ezek: .
(dB→dt)(R)=d(R)B→dt=dB→dt|(R){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {B}}}} {\ mathrm {d} t}} \ right) _ {(R)} = {\ frac { \ mathrm {d} ^ {\ balra (R \ jobbra)} {\ vec {\ mathrm {B}}}} {\ mathrm {d} t}} = \ balra. {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {\ mathrm {B}}}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {(R)}}
Ez a jelölés "R-ben" olvasható és azt jelenti, hogy "R-t feltételezzük".
Sebesség összetétele
Vektor kifejezés
Hagyja, hogy a nem galilei vonatkoztatási keret (R ') O' középpontba kerüljön a galilei referenciakerethez (R) képest a szögsebességvektor szerint .
Ω→(R′/R){\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} _ {(R '/ R)}}
Legyen M egy mobil pont az űrben. Meghatározzuk:
- Az M abszolút sebessége az M sebessége (R) -ben:
v→nál nél=v→(M)(R){\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {a}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) _ {(R)}}
- A relatív sebesség : M jelentése a sebesség M (R „):
v→r=v→(M)(R′){\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) _ {(R ')}}
- Az előtolás sebessége az egybeeső P pont sebessége , azaz az a sebesség, amely M-nek lenne (R) -hez képest, ha (R ') -ben rögzítenék:
v→e=v→(P)(R)=v→(O′)(R)+Ω→(R′/R)∧O′P→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {e}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {P}) _ {(R)} = {\ vec {v}} (\ mathrm {O} ') _ {(R)} + {\ vec {\ Omega}} _ {(R' / R)} \ ék {\ overrightarrow {\ mathrm {O'P}}}}
Az összetétel törvénye meglehetősen intuitív, mivel meg van írva:
v→nál nél=v→r+v→e{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {a}} = {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r}} + {\ vec {v}} _ {\ mathrm {e}} }
|
Torziós kifejezés
Az ember a szilárd anyag kinematikájába helyezi magát ; Ɛ -val jelöljük a valós teret. Tekintsünk három 0, 1 és 2 értékű szilárd anyagot; általában a szilárd 0 egy gépváz vagy a talaj. Az egyik megjegyzi „ i / j ” a szilárd i mozgását a j szilárd anyaghoz kapcsolt referenciakerethez képest . Megjegyezzük az ezt a mozgást leíró kinematikus torzort .
{Vén/j}{\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} _ {i / j} \}}
A sebesség összetételének törvényét a torzorokkal együtt a következőképpen fejezzük ki:
{V2/0}={V2/1}+{V1/0}{\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} _ {2/0} \} = \ {{\ mathcal {V}} _ {2/1} \} + \ {{\ mathcal {V}} _ { 1/0} \}}
Ez egyfajta Chasles-kapcsolat a nyomokra.
Demonstráció
A kinematikus torzor a sebességvektorok mezője. A galilei relativitáselméletben egyszerűen megvan a sebességvektorok additivitása, ami megadja nekünk a kapcsolatot.
Real -val jelöljük a valós teret. Ha figyelembe vesszük a redukciós elemeket, akkor:
∀NÁL NÉL∈E,V→(NÁL NÉL∈2/0)=V→(NÁL NÉL∈2/1)+V→(NÁL NÉL∈1/0){\ displaystyle \ forall \ mathrm {A} \ in {\ mathcal {E}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {A} \ in 2/0) = {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {A} \ 2/1-ben) + {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {A} \ 1/0-ban)}
Ω→2/0=Ω→2/1+Ω→1/0{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} _ {2/0} = {\ vec {\ Omega}} _ {2/1} + {\ vec {\ Omega}} _ {1/0}}
Vegye figyelembe, hogy az első egyenlet egyszerűen a sebesség összetételének törvényének vektor kifejezése. A második egyenlet, a forgási sebesség összetételének törvénye a lineáris sebesség összetételének törvényéből ered, a torzók addíciós tulajdonságai miatt .
Elég önmagában lefordítani a galileai relativitáselméletet. Gyakran azonban könnyebb a forgási sebesség vektorok összetételének törvényét használni, amely a lineáris sebesség összetételének törvényéhez kapcsolódik egy adott ponton , ahelyett, hogy a lineáris sebességek összetételének törvényét minden ponton alkalmaznák.
A gyorsulások összetétele
Forgó referenciakeret esete egy galilei referenciakerethez viszonyítva
A gyorsulások összetétele kevésbé intuitív, mert nemcsak a gyorsulást, hanem a Coriolis nevű további gyorsulást is magában foglalja , amelyet csak XIX . Században fedezett fel Gaspard-Gustave de Coriolis . A következőképpen határozzuk meg:
- A abszolút gyorsulás az M, mint a gyorsulás a M (R):
nál nél→nál nél=nál nél→(M)/R{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {a}} = {\ vec {a}} (\ mathrm {M}) _ {/ R}}
- a relatív gyorsulás az M, mint a gyorsulás a M (R „):
nál nél→r=nál nél→(M)/R′{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {r}} = {\ vec {a}} (\ mathrm {M}) _ {/ R '}}
- a menetgyorsulás, mint a P egybeeső pont gyorsulása , azaz d. az M gyorsulása (R) -ben, ha (R ') -ben rögzülne:
nál nél→e=nál nél→(P)(R)=nál nél→(O′)(R)+(dΩ→(R′/R)dt)(R)∧O′M→+Ω→(R′/R)∧(Ω→(R′/R)∧O′M→){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {e}} = {\ vec {a}} (\ mathrm {P}) _ {(R)} = {\ vec {a}} (\ mathrm {O} ') _ {(R)} + \ balra ({\ frac {d {\ vec {\ Omega}} _ {(R' / R)}} {dt}} \ jobbra) _ {(R) } \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {O'M}}} + {\ vec {\ Omega}} _ {(R '/ R)} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} _ {(R' / R)} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {O'M}}})}}
Figyelem ! Jellemzően képzés gyorsulás nem egyenlő a származék edzésidőket . A vezetés gyorsulás egy adott pillanatban a gyorsulást a
pont egybeesik a a (Megjegyzendő ) abban a pillanatban. Ez a pont tehát nem ugyanaz a tekintett pillanattól függően: az idő egy töredékével később az egybeeső pont az . A két fogalom közötti különbség a következő:
nál nél→e{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {e}}}
dve→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v _ {\ mathrm {e}}}}}} {\ mathrm {d} t}}}
t{\ displaystyle t}
R{\ displaystyle R}
M{\ displaystyle M}
R′{\ displaystyle R '}
Pt{\ displaystyle P_ {t}}
τ{\ displaystyle \ tau}
Pt+τ{\ displaystyle P_ {t + \ tau}}
- Az edzésgyorsulás megfelel a pont sebességének időközönkénti változásának, és amely csak egy pontot foglal magában.
nál nél→e{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {e}}}Pt{\ displaystyle P_ {t}}t{\ displaystyle t}t+τ{\ displaystyle t + \ tau}
- A származékot edzéssebességének megfelel a változása az idők folyamán az egyik, majd összehasonlítja a sebesség vektora a pillanatban , és a sebesség vektor pillanatában , amely magában foglalja a több egybeeső pont.
dve→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v _ {\ mathrm {e}}}}}} {\ mathrm {d} t}}}v→e{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {e}}}
Pt{\ displaystyle P_ {t}}t{\ displaystyle t}Pt+τ{\ displaystyle P_ {t + \ tau}}t+τ{\ displaystyle t + \ tau}
Az egyenlőség csak abban a különleges esetben válik igazsá, amikor az egybeeső pont ugyanaz marad az idő múlásával, vagyis amikor rögzül .
nál nél→e=dve→dt{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v _ {\ mathrm {e}}}}} {{mathrm {d} t}}}
M{\ displaystyle \ mathrm {M}}
R′{\ displaystyle R '}
- A Coriolis-gyorsulás :
nál nél→vs.=2Ω→(R′/R)∧v→r{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {c}} = 2 {\ vec {\ Omega}} _ {(R '/ R)} \ ék {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r}}}
A gyorsulások összetételének képletét ezután adjuk meg:
nál nél→nál nél=nál nél→r+nál nél→e+nál nél→vs.{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {a}} = {\ vec {a}} _ {\ mathrm {r}} + {\ vec {a}} _ {\ mathrm {e}} + {\ vec {a}} _ {\ mathrm {c}}}
|
Általános eset
Általános esetben a figyelembe vett referenciakeret például szöggyorsuláson eshet át a galilei referenciakerethez képest. Ezért vissza kell térnünk a gyorsulás meghatározásához. Ha megjegyezzük:
-
X R az R referenciakeretben figyelembe vett pont helyzetvektora, X R = X R 1 e 1 + X R 2 e 2 + X R 3 e 3 ;
-
X R ' az R referenciakeretben figyelembe vett pont helyzetvektora, X R' = X R '1 u 1 + X R' 2 u 2 + X R '3 u 3 ;
-
X O ' az R' referenciakeret középpontjának koordinátái az R referenciakeretben;
akkor az összetétel törvényeit írják:
A pozíciók összetétele: X R = X O ' + X R'
A fogaskerekek összetétele:
dxRdt=dxO′dt+dxR′dt=dxO′dt+∑én=13dxR′éndtuén+∑én=13xR′énduéndt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O '}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R'}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O '}}} {\ mathrm {d} t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}
A gyorsulások összetétele:
d2xRdt2=d2xO′dt2+d2xR′dt2=d2xO′dt2+∑én=13d2xR′éndt2uén+2∑én=13dxR′éndtduéndt+∑én=13xR′énd2uéndt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O '}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R '}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O '}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {i} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {u} _ {i}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
A fenti jelölések használatával:
- O 'sebesség R-hez képest: vO′/R=dxO′dt{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {O '/ R}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O'}}} {\ mathrm {d} t}}}
- relatív sebesség: vR′=∑én=13dxR′éndtuén{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {R '}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R 'i}}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {i}}
- O 'gyorsulása R-hez képest: nál nélO′/R=d2xO′dt2{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {O '/ R}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {O'}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
- relatív gyorsulás: nál nélR′=∑én=13d2xR′éndt2uén{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {R '}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathrm {X} _ { \ mathrm {R'i}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {i}}
megkapjuk a következő kifejezéseket:
A pozíciók összetétele: X R = X O ' + X R'
A fogaskerekek összetétele:
dxRdt=vO′/R+vR′+∑én=13xR′énduéndt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R}}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {v} _ {\ mathrm {O '/ R }} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {R '}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}
A gyorsulások összetétele:
d2xRdt2=nál nélO′/R+nál nélR′+2∑én=13dxR′éndtduéndt+∑én=13xR′énd2uéndt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {X} _ {\ mathrm {R}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {O '/ R}} + \ mathbf {a} _ {\ mathrm {R'}} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {i}} {\ mathrm {d} t} } + \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ mathrm {X} _ {\ mathrm {R'i}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {u} _ {i }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">