Cauchy fő értéke
A matematika , a Cauchy legfőbb érték , az úgynevezett tiszteletére Augustin Cauchy , hozzárendel egy értéket bizonyos helytelen integrálok az egyébként nem definiált.
Meghatározás
Hadd c legyen a szingularitás a függvény egy valós változó f és tegyük fel, hogy a < c < b , az alábbi határérték
limε→0∫nál nélvs.-ϵf(x)dx+limη→0∫vs.+ηbf(x)dx=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {a} ^ {c- \ epsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ lim _ {\ eta \ to 0} \ int _ {c + \ eta} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}létezik és véges. Tehát azt mondjuk, hogy az intervallumon belül a helytelen f ( x ) integrál létezik, és értékét L határozza meg .
Ha a fenti határ nem létezik, akkor lehetséges, hogy akkor létezik, amikor ε és η nulla felé hajlik, miközben egyenlő marad , vagyis ha a határérték
limε→0(∫nál nélvs.-εf(x)dx+∫vs.+εbf(x)dx)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {a} ^ {c- \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ int _ {c + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ jobbra = L}létezik és véges. Ebben az esetben az L határértéket annak a helytelen integrálnak a Cauchy-nak a fő értékének nevezzük , amelyet ír:
v.o.∫nál nélbf(x)dx=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}A meghatározás a következőképpen terjed ki: esetében a n szingularitásokhoz :
nál nél<x1,...,xnem<b{\ displaystyle a <x_ {1}, ..., x_ {n} <b}
ha ε> 0 esetén az integrálok léteznek, végesek és a határ
∫nál nélx1-εf(x)dx,...,∫xnem+εbf(x)dx{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x, \ ldots, \ int _ {x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}
limε→0(∫nál nélx1-εf(x)dx+⋯+∫xnem+εbf(x)dx)=L{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {a} ^ {x_ {1} - \ varepsilon} f (x) \ mathrm {d} x + \ dots + \ int _ { x_ {n} + \ varepsilon} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x \ right) = L}létezik, felmerül: .
v.o.∫nál nélbf(x)dx=L{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x = L}
Példák
Teljesítmény funkció
Legyen a függvény f által definiált 1. ábrán bemutatott ellentétes, van:
f(x)=x-3{\ displaystyle f (x) = x ^ {- 3}}
limε→0∫-∞-εdxx3+limη→0∫η+∞dxx3=limε→0-12ε2+limη→012η2{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ mathrm {d} x \ x x {3}} + \ lim _ {\ eta \ ide: 0} \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {- 1 \ over 2 \ varepsilon ^ {2}} + \ lim _ {\ eta \ to 0} {1 \ over 2 \ eta ^ {2}}}Ez a határ nem létezik, ha ε és η függetlenül nullázódnak. Másrészt az ε = η beállításával létezik a határ, és egyenlő nulla értékkel. Ezért:
v.o.∫-∞+∞dxx3=0{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {3}} = 0}Ez megfelel az intuíciónak, mivel a függvény páratlan, és amit szimmetrikus intervallumon belül integrálunk.
Integrált logaritmus
Az integrált logaritmusfüggvény nagy szerepet játszik az analitikus számelméletben . Meghatározza
lén(x)=∫0xdtln(t).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}Ez a jelölés visszaélésszerű, valóban meg kell látnunk ezt az x > 1 definíciót, mint Cauchy fő értékét:
lén(x)=limε→0(∫01-εdtln(t)+∫1+εxdtln(t)).{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {\ mathrm {d} t} { \ ln (t)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} \ jobb).}
Kapcsolat az eloszláselmélettel
Hagyja a készlet sima függvények a kompakt támogatásával a férgek . Ezután meghatározhatunk egy alkalmazást
VSvs.∞(R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
v.o.(1x):VSvs.∞(R)→VS{\ displaystyle \ kezelőnév {vp} \ balra ({\ frac {1} {x}} \ jobbra) \,: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R }) \ to \ mathbb {C}}mint például
v.o.(1x)(f)=limε→0+(∫-∞-εf(x)xdx+∫ε∞f(x)xdx) mindenkinek f∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ kezelőnév {vp} \ balra ({\ frac {1} {x}} \ jobbra) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {f (x)} { x}} \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {for all}} f \ in {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R })}Ez a térkép jól körülhatárolható, és az 1. sorrend eloszlása .
Általánosabb módon meghatározhatjuk nagyszámú integrált operátor fő értékét az egyes kernelekkel. Legyen egy olyan függvény, amely 0-nál szingularitást fogad el, de folytatja . Bizonyos esetekben a következő függvény jól definiált és eloszlás.
K:R→VS{\ displaystyle K: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}R-{0}{\ displaystyle \ mathbb {R} - \ {0 \}}
v.o.(K)(f)=limε→0+(∫-∞-εf(x)K(x)dx+∫ε∞f(x)K(x)dx) mindenkinek f∈VSvs.∞(R){\ displaystyle \ kezelőnév {vp} (K) (f) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {- \ varepsilon} f (x) K (x ) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x \ right) \ quad {\ text {for all} } f \ itt: {\ mathcal {C}} _ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}Egyéb jelölések
Az irodalomban a Cauchy fő értékét is néha megjegyzik:
P∫f(x)dx,PV∫f(x)dx,VP∫f(x)dx,∫∗f(x)dx,∫ f(x)dx{\ displaystyle P \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, PV \ int f (x) \, \ mathrm {d} x, VP \ int f (x) \, \ mathrm {d} x , \ int ^ {*} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ int \! \! \! \! \! \! \! {! frac {} {\ \}} f (x ) \, \ mathrm {d} x}ahol a PV az angol fő értéket jelenti .
Hivatkozások
-
(in) King, Frederick W. , Hilbert átváltozik. 1. kötet , Cambridge University Press ,2009( ISBN 978-0-511-72145-8 , 0511721455 és 9780521887625 , OCLC 776.965.734 , olvasható online ) , p. 14
Lásd is
Hivatkozások
-
(en) ET Copson , Bevezetés a komplex változó funkcióinak elméletébe , Oxford University Press , 1955 ( ISBN 978-0-198-53145-6 )
-
Murray R. Spiegel (en) , Komplex változók , McGraw-Hill , 1991 ( ISBN 978-2-7042-0020-7 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">