Heaviside funkció
A matematika , a Heaviside függvény (szintén egység lépés funkciót , lépcsőház funkció ), elnevezett Oliver Heaviside , a indikátor függvény a .
R+{\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {+}}
Ezért a H függvény (mondjuk 0-nál folytatódik ) veszi az összes pozitív valós értékre az 1- es értéket, a szigorúan negatív valósakra pedig a 0-t:
∀x∈R, H(x)={0sénx<0Unemdefsénx=01sénx>0.{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ H (x) = \ bal \ {{\ \ begin {matrix} 0 & \ mathrm {si} & x <0 \\ Undef & \ mathrm {si} & x = 0 \\ 1 & \ mathrm {si} & x> 0. \ vége {mátrix}} jobb.}
Bemutatás és tulajdonságok
Ez egy primitív a Dirac eloszlás az elosztás elmélete . A H (0) értéke nagyon kevéssé fontos, mivel a függvényt leggyakrabban integrálban használják . Egyes szerzők H (0) = 0, mások H (0) = 1. Gyakran használják a H (0) = 0,5 értéket, mert a kapott függvény így szimmetrikus. A meghatározás ekkor:
∀x∈R, H(x)={0sénx<012sénx=01sénx>0.{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ H (x) = \ bal \ {{\ \ begin {matrix} 0 & \ mathrm {si} & x <0 \\ {\ frac {1} { 2}} & \ mathrm {si} & x = 0 \\ 1 & \ mathrm {si} & x> 0. \ vége {mátrix}} \ jobb.}Az érték a funkció 0 néha jelölt egy index: A funkció H van elégedett egyenlőség H a (0) = a számára egy valódi.
A függvényt a jelfeldolgozás matematikájában használják arra, hogy a kapcsolót egy adott időpontban bezárva és korlátlanul zárva tartva kapott jelet ábrázolják.
Derivált
A származék meghatározott eloszlások a Heaviside függvény a Dirac eloszlás : .
H′=δ{\ displaystyle \ H '= \ delta}
Valójában azzal, hogy először a levezetés kifejezéséből indulunk ki az eloszlások értelmében :
⟨H′,ϕ⟩=-⟨H,ϕ′⟩{\ displaystyle \ langle H ', \ phi \ rangle = - \ langle H, \ phi' \ rangle}Ezt a Heaviside szintre alkalmazva a következőket kapjuk:
⟨H′,ϕ⟩=-∫-∞+∞H(x)ϕ′(x)dx{\ displaystyle \ langle H ', \ phi \ rangle = - \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} H (x) \ phi' (x) \ mathrm {d} x}A primitív az .
ϕ′(x){\ displaystyle \ phi '(x)}ϕ(x){\ displaystyle \ phi (x)}
Ezután:
⟨H′,ϕ⟩=-∫0+∞ϕ′(x)dx=-limx→∞ϕ(x)+ϕ(0){\ displaystyle \ langle H ', \ phi \ rangle = - \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ phi' (x) \ mathrm {d} x = - \ lim _ {x \ to \ infty} \ phi (x) + \ phi (0)}Most , tér teszt funkciók on így .
ϕ∈D{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}limx→∞ϕ(x)=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ phi (x) = 0}
Innen következtethetünk a Heaviside lépés deriváltjának kifejezésére (az eloszlások értelmében):
⟨H′,ϕ⟩=ϕ(0)=⟨δ,ϕ⟩,{\ displaystyle \ langle H ', \ phi \ rangle = \ phi (0) = \ langle \ delta, \ phi \ rangle,}definíció szerint a Dirac impulzus .
δ{\ displaystyle \ delta}
Primitív
A Heaviside függvény primitív (az eloszlások értelmében) a rámpafüggvény . Valóban,
R: =xH:x↦xH(x){\ displaystyle R: = XH: x \ mapsto xH (x)}
R′=(xH)′=x′H+xH′=H+xδ=H.{\ displaystyle R '= (XH)' = X'H + XH '= H + X \ delta = H.}Folyamatos közelítések
A Heaviside függvényt néha gyorsan változó jelenségek modellezésére használják. Egy jelenség azonban ritkán szakad meg, és a Heaviside-függvény bevezetése a viselkedési egyenletekbe néha aberráns eredményeket ad. Például, ha figyelembe vesszük a kiindulási egy gép vagy egy jármű, gyakran úgy vélik, hogy a gyorsulás nulla megkezdése előtt, és egy fix érték a kiindulási fázisban, a „gyorsítás funkció” a ( t ) tehát mintájára egy séta funkció. A gyorsulást azonban az anyag alakváltozásával járó mechanikai hatás okozza ; az anyag nem léphet azonnal „nyugalmi” állapotból „deformált” állapotba, így a valóságban az átmenet „gördülékenyebb”. Ezenkívül a gyorsulás pillanatnyi változása végtelen rángásnak ( Dirac függvény ) felelne meg a mozgásegyenletek tekintetében, ami nem lehetséges.
Az első megoldás abból áll, hogy a Heaviside függvényt felváltja egy rámpafüggvény, azaz egy lineáris függvény, amely áthalad y = 0 és y = 1 között, amikor x 0-ról egy meghatározott δ x értékre halad :
∀x∈R, rnál nélmoe(x)={0ha x<0xδxha 0⩽x<δx1ha x⩾δx{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {ramp} (x) = {\ begin {esetben} 0 \ qquad {\ text {si}} x <0 \\ {\ frac {x } {\ delta x}} \ qquad {\ text {si}} 0 \ leqslant x <\ delta x \\ 1 \ qquad {\ text {si}} x \ geqslant \ delta x \ end {esetek}}}Ez a függvény folyamatos, de 0-ban és δ x-ben nem differenciálható .
A differenciálható funkció eléréséhez gyakran használunk 3 fokú polinom függvényt; kétszer differenciálható, de a második származék az átmenet kezdetén és végén szakaszos:
ha az átmenet egy δ x (valós konstans) intervallumon keresztül megy végbe , akkor meghatározzuk a progressziós függvényt
Δ(x)=xδx{\ displaystyle \ Delta (x) = {\ frac {x} {\ delta x}}}
és
∀x∈R, mnál nélrvs.he(x)={0ha x<0Δ2(x)⋅(3-2Δ(x))ha 0⩽x<δx1ha x⩾δx{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {walk} (x) = {\ begin {esetben} 0 \ qquad {\ text {si}} x <0 \\\ Delta ^ {2 } (x) \ cdot (3-2 \ Delta (x)) \ qquad {\ text {si}} 0 \ leqslant x <\ delta x \\ 1 \ qquad {\ text {si}} x \ geqslant \ delta x \ end {esetek}}}
Általánosságban, ha a függvény y = h 0- ról y = h 1- re megy, amikor x x 0- ról x 1- re megy , akkor:
Δ(x)=x-x0x1-x0{\ displaystyle \ Delta (x) = {\ frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}
nál nél=h1-h0{\ displaystyle a = h_ {1} -h_ {0}}
∀x∈R, mnál nélrvs.he(x)={h0ha x<x0h0+nál nél⋅Δ2(x)⋅(3-2Δ(x))ha x0⩽x<x1h1ha x⩾x1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {walk} (x) = {\ begin {esetben} h_ {0} \ qquad {\ text {si}} x <x_ {0} \ \ h_ {0} + a \ cdot \ Delta ^ {2} (x) \ cdot (3-2 \ Delta (x)) \ qquad {\ text {si}} x_ {0} \ leqslant x <x_ {1 } \\ h_ {1} \ qquad {\ text {si}} x \ geqslant x_ {1} \ end {esetek}}}
Például egy 5-ös fokú polinom nagyon rövid ideig használható (ezt a funkciót gyakran úgy hívják step5, hogy szó szerint „walk5”); az átmenet folyamatos, kétszer differenciálható, de a harmadik derivált szakaszos az átmenet kezdetén és végén: ugyanazokkal a jelölésekkel, 0 és 1 közötti átmenet esetén 0- tól x- ig x
∀x∈R, mnál nélrvs.he5.(x)={0ha x<0Δ3(x)⋅(10.-15Δ(x)+6.Δ2(x))ha 0⩽x<δx1ha x⩾δx{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {marche5} (x) = {\ begin {esetben} 0 \ qquad {\ text {si}} x <0 \\\ Delta ^ {3 } (x) \ cdot (10-15 \ Delta (x) +6 \ Delta ^ {2} (x)) \ qquad {\ text {si}} 0 \ leqslant x <\ delta x \\ 1 \ qquad { \ text {si}} x \ geqslant \ delta x \ end {esetek}}}és általánosabban:
∀x∈R, mnál nélrvs.he5.(x)={h0ha x<x0h0+nál nél⋅Δ3(x)⋅(10.-15Δ(x)+6.Δ2(x))ha x0⩽x<x1h1ha x⩾x1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ mathrm {marche5} (x) = {\ begin {esetben} h_ {0} \ qquad {\ text {si}} x <x_ {0} \ \ h_ {0} + a \ cdot \ Delta ^ {3} (x) \ cdot (10-15 \ Delta (x) +6 \ Delta ^ {2} (x)) \ qquad {\ text {si}} x_ {0} \ leqslant x <x_ {1} \\ h_ {1} \ qquad {\ text {si}} x \ geqslant x_ {1} \ end {esetek}}}Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">