Aláírt mérték

A matematikában és különösen a méréselméletben az aláírt mérés a mérés fogalmának kiterjesztése abban az értelemben, hogy negatív értékek megengedettek, ami nem érvényes egy klasszikus mérés esetében, amely definíció szerint pozitív értékekkel jár.

Meghatározás

Vegyünk egy mérhető teret , vagyis egy párot, amely egy törzs által biztosított halmazból áll . Az aláírt mérték egy függvény(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})} x{\ displaystyle X} NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

σ:NÁL NÉL→R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle \ sigma: {\ mathcal {A}} \ - {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

amely a következő két tulajdonságot ellenőrzi

• σ(∅)=0{\ displaystyle \ sigma (\ lakkozás) = 0} ;
• ( Sigma additivitás ) bármely sorrendben a diszjunkt in  :(NÁL NÉLnem)nem∈NEM{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

∑nem≥0μ(NÁL NÉLnem) -ban van meghatározva R¯   és   μ(⋃nem=0∞NÁL NÉLnem)=∑nem=0∞μ(NÁL NÉLnem)A {\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) {\ text {a}} {\ overline {\ mathbb {R}}} ~~ {\ text {and}} ~ szövegben van megadva ~ \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n})}.

Az aláírt mérés akkor fejeződik be, ha csak valós értékeket vesz fel, vagyis ha soha nem veszi fel az értékeket vagy . -∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

A pontosítás érdekében az egyszerű „mérés” helyett a „pozitív mérés” kifejezést fogjuk használni az aláírt mérésekhez, amelyek soha nem vesznek szigorúan negatív értékeket.

Tulajdonságok

Ebben a szakaszban a mérhető téren egy előjel látható . σ{\ displaystyle \ sigma}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

Ha egy aláírt mérték veszi az értéket, akkor soha nem veszi fel az értéket és fordítva. Pontosabban-∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Az ingatlan  -  Nincsenek , mint és . NÁL NÉL,B∈NÁL NÉL{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}σ(NÁL NÉL)=-∞{\ displaystyle \ sigma (A) = - \ infty}σ(B)=+∞{\ displaystyle \ sigma (B) = + \ infty}

Ha egy mérhető halmaz egy olyan véges intézkedés, akkor mindezek mérhető részhalmaza akkor még mindig véges mérték. Összegezve

Tulajdon  -  Ha olyan, hogy akkor mindenért mi is rendelkezünk . NÁL NÉL∈NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}σ(NÁL NÉL)∈R{\ displaystyle \ sigma (A) \ in \ mathbb {R}}B⊂NÁL NÉL,B∈NÁL NÉL,{\ displaystyle B \ A A, \, B \ részhalmaz {{mathcal {A}},}σ(B)∈R{\ displaystyle \ sigma (B) \ in \ mathbb {R}}

Az aláírt mérték akkor és csak akkor véges, ha korlátozott. Más szavakkal

Tulajdonság (ugyanolyan, mint a véges)  -  korlátos. ∀NÁL NÉL∈NÁL NÉL,σ(NÁL NÉL)∈R⟺{σ(NÁL NÉL):NÁL NÉL∈NÁL NÉL}{\ displaystyle \ forall \, A \ in {\ mathcal {A}}, \, \ sigma (A) \ in \ mathbb {R} \ Longleftrightarrow \ {\ sigma (A): \, A \ in {\ mathcal {NÁL NÉL}}\}}

A következő kapcsolataink vannak

Tulajdon (elemi viszonyok)  -  1) Ha ilyenek, akkor és akkor . NÁL NÉL,B∈NÁL NÉL{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}σ(B)∈R{\ displaystyle \ sigma (B) \ in \ mathbb {R}}B⊂NÁL NÉL{\ displaystyle B \ A részhalmaz}σ(NÁL NÉL∖B)=σ(NÁL NÉL)-σ(B){\ displaystyle \ sigma (A \ setminus B) = \ sigma (A) - \ sigma (B)}

2) Mindenre, ami van . NÁL NÉL,B∈NÁL NÉL{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}σ(NÁL NÉL∪B)+σ(NÁL NÉL∩B)=σ(NÁL NÉL)+σ(B){\ displaystyle \ sigma (A \ B csésze) + \ sigma (A \ cap B) = \ sigma (A) + \ sigma (B)}

3) Mindenért, ami van . NÁL NÉL,B∈NÁL NÉL{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}σ(NÁL NÉLΔB)+2σ(NÁL NÉL∩B)=σ(NÁL NÉL)+σ(B){\ displaystyle \ sigma (A \ Delta B) +2 \ sigma (A \ cap B) = \ sigma (A) + \ sigma (B)}

A következő eredmény hasonló az aláírt intézkedés folytonosságának tulajdonságához

Tulajdonság (az aláírt mértékek folytonossága)  -  1) Ha a mérhető halmazok növekvő szekvenciája (befogadás céljából) (NÁL NÉLnem)nem{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}

σ(⋃nemNÁL NÉLnem)=limnemσ(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ sigma (A_ {n})}.

2) Ha a mérhető halmazok csökkenő szekvenciája (inklúzió céljából), amelyek nem akkor mérhetőek(NÁL NÉLnem)nem{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}

σ(⋂nemNÁL NÉLnem)=limnemσ(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcap _ {n} A_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ sigma (A_ {n})}.

Példák

• Ha két pozitív mérték van a mérhető térben, és ha az egyik véges, akkor a különbségük előjeles mérték .μ1,μ2{\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}σ=μ1-μ2{\ displaystyle \ sigma = \ mu _ {1} - \ mu _ {2}}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}
• Legyen egy mért tér ( pozitív mértékkel). Legyen egy integrálható függvény valós értékekkel, majd a függvény(x,NÁL NÉL,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}μ{\ displaystyle \ mu}f∈L1(x,NÁL NÉL,μ){\ displaystyle f \ itt: {\ mathcal {L}} ^ {1} (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

σ:NÁL NÉL→RNÁL NÉL↦∫NÁL NÉLf(x)dμ{\ displaystyle {\ begin {tömb} {cccc} \ sigma: & {\ mathcal {A}} & \ to & \ mathbb {R} \\ & A & \ mapsto & \ int _ {A} f (x) d \ mu \ end {tömb}}}aláírt intézkedés befejeződött .(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}Sőt, ha mi meg és ahol rendre a pozitív és negatív részei az , akkor olyan pozitív intézkedések és .μ1(NÁL NÉL): =∫NÁL NÉLf+dμ{\ displaystyle \ mu _ {1} (A): = \ int _ {A} f ^ {+} d \ mu}μ2(NÁL NÉL): =∫NÁL NÉLf-dμ{\ displaystyle \ mu _ {2} (A): = \ int _ {A} f ^ {-} d \ mu}f+,f-{\ displaystyle f ^ {+}, f ^ {-}}f{\ displaystyle f}μ1,μ2{\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}σ=μ1-μ2{\ displaystyle \ sigma = \ mu _ {1} - \ mu _ {2}}

Hahn bomlás

Definíció (teljesen negatív, nulla és pozitív halmaz)  -  Legyen előjeles mérték egy mérhető térben és . Azt mondjuk, hogy az , az σ{\ displaystyle \ sigma}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}NÁL NÉL∈NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}σ{\ displaystyle \ sigma}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

1) teljesen negatív, ha bármilyen mérhető halmazra vonatkozik  ; B⊂NÁL NÉL{\ displaystyle B \ A részhalmaz}σ(B)≤0{\ displaystyle \ sigma (B) \ leq 0}

2) teljesen nulla, ha bármilyen mérhető halmazunk van  ; B⊂NÁL NÉL{\ displaystyle B \ A részhalmaz}σ(B)=0{\ displaystyle \ sigma (B) = 0}

3) teljesen pozitív, ha bármilyen mérhető halmazra rendelkezünk . B⊂NÁL NÉL{\ displaystyle B \ A részhalmaz}σ(B)≥0{\ displaystyle \ sigma (B) \ geq 0}

Hans Hahn osztrák matematikus Hahn bontási tétele a következőket állítja

Tétel (Hahn-bontás)  -  Legyen előjeles mérték egy mérhető tér felett . Két mérhető halmaz létezik, mint pl σ{\ displaystyle \ sigma}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}P,NEM∈NÁL NÉL{\ displaystyle P, N \ {{mathcal {A}}}

1)  ; P∪NEM=x{\ displaystyle P \ cup N = X}

2)  ; P∩NEM=∅{\ displaystyle P \ cap N = \ lakkozás}

3) teljesen pozitív  ; P{\ displaystyle P}σ{\ displaystyle \ sigma}

4) teljesen negatív . NEM{\ displaystyle N}σ{\ displaystyle \ sigma}

A Hahn-bontás meghatározása szerint a fenti tétel négy tulajdonságát kielégítő pár adata. Ha két Hahn-bontás van , akkor és teljesen nulla a (ahol a szimmetrikus különbséget jelöli ). σ{\ displaystyle \ sigma}(P,NEM){\ displaystyle (P, N)}(P,NEM),(P′,NEM′){\ displaystyle (P, N), (P ', N')}σ{\ displaystyle \ sigma}PΔP′{\ displaystyle P \ Delta P '}NEMΔNEM′{\ displaystyle N \ Delta N '}σ{\ displaystyle \ sigma}Δ{\ displaystyle \ Delta}

Jordan bomlás

Camille Jordan francia matematikus által készített Jordan bontási tétel Hahn bontási tételének következménye. A következőket állítja

Tétel (Jordan bomlás)  -  Legyen előjeles mérhető mérhető tér felett . Egyedülálló pár pozitív lépés van a következő két feltétel teljesítéséhez σ{\ displaystyle \ sigma}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}(σ+,σ-){\ displaystyle (\ sigma _ {+}, \ sigma _ {-})}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

1)  ; σ=σ+-σ-{\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {+} - \ sigma _ {-}}

2) létezik olyan, hogy és . E∈NÁL NÉL{\ displaystyle E \ itt: {\ mathcal {A}}}σ-(E)=0{\ displaystyle \ sigma _ {-} (E) = 0}σ+(x∖E)=0{\ displaystyle \ sigma _ {+} (X \ setminus E) = 0}

Az aláírt mérték Jordan-bontása könnyen felépíthető egy Hahn-bontásból. Ez a konstrukció ráadásul nem függ a választott Hahn-bontástól, pontosabban

Jordánia bomlásának tulajdonsága  -  Legyen előjeles mérték egy mérhető térben és Jordán bomlása. Így σ{\ displaystyle \ sigma}(x,NÁL NÉL){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}(σ+,σ-){\ displaystyle (\ sigma _ {+}, \ sigma _ {-})}

1) Bármely Hahn-bontásért és mindannyiunkért, ami van, és (ez tehát nem a Hahn-bomlástól függ); (P,NEM){\ displaystyle (P, N)}NÁL NÉL∈NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}σ+(NÁL NÉL)=σ(NÁL NÉL∩P){\ displaystyle \ sigma _ {+} (A) = \ sigma (A \ cap P)}σ-(NÁL NÉL)=-σ(NÁL NÉL∩NEM){\ displaystyle \ sigma _ {-} (A) = - \ sigma (A \ cap N)}

2) mindenre, ami van NÁL NÉL∈NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}

σ+(NÁL NÉL)=supB⊂NÁL NÉL,B∈NÁL NÉLσ(B){\ displaystyle \ sigma _ {+} (A) = \ sup _ {B \ A, B \ halmaz, {\ mathcal {A}}} \ sigma (B)}és .σ-(NÁL NÉL)=-infB⊂NÁL NÉL,B∈NÁL NÉLσ(B){\ displaystyle \ sigma _ {-} (A) = - \ inf _ {B \ A, B \ halmaz, {\ mathcal {A}}} \ sigma (B)}

Hivatkozások

1. Samuel Nicolay, „  Mesure  ” , http://www.afaw.ulg.ac.be/ , 2019/2020 , p.  81.
2. François de marçay, „  Az integráció absztrakt elmélete és a Radon-Nikodym-tétel  ” , https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/ , p.  18.

Kapcsolódó cikkek

• Teljes variáció (matematika)
• Mérés (matematika)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">