Blokk mátrix
A blokkok szerinti mátrixot blokkokra osztott mátrixnak nevezzük , az átlójával szomszédos kifejezések bármely csoportjából. Minden indexelt blokk úgy indexálódik, mint egy mátrix eleme, a két ugyanazon blokkméret szerint felosztott két mátrix összege és szorzata ugyanazokkal a formális szabályokkal készül, mint az összetevőké (de ügyelve a sorrendfaktorokra mátrix termékekben!). A mátrixok blokkban való felosztásának érdeke abból adódik, hogy egy olyan blokk szorzata, amelynek minden olyan alkotóeleme nullát jelent (null részmátrix ), null mátrix. A mátrixok felosztása lehetővé teszi a mátrixszámítások elosztását több, egyidejűleg működő processzor között: ez a párhuzamos számítás egyik alapelve .
Meghatározás
A mátrix elmélet , egy blokk mátrixot vagy particionált mátrix egy mátrix osztva négyszögletes al-mátrixok egy részlege annak átlós : ezek a sub-mátrixok nevezzük blokkokat . Azt is mondhatjuk, hogy a mátrix egymás mellé helyezett részmátrixok formájában van megírva. A blokkmátrixnak meg kell felelnie a sorok és oszlopok felosztásának következetes módjának:
- a sorok szomszédos „csoportokba” vannak csoportosítva, az oszlopok ugyanúgy;
- egyetértünk abban, hogy az átlós blokkok négyzet alakú részmátrixok.
A partíció a szomszédos vonalak csoportja által leírt téglalapokban történik, amelyek keresztezik a szomszédos oszlopok csoportját. Más szavakkal, a mátrixot elosztja a vízszintes és függőleges vonalak egy része.
Példa
A Mátrix
P=[1122211222334443344433444]{\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ kezdődik {bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 4 \ end {bmatrix}}}négy 2 × 2 blokkra osztható
P11.=[1111],P12.=[222222],P21=[333333],P22.=[444444444].{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {11} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {P} _ {12} = {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {P} _ {21} = {\ begin {bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {P} _ {22} = {\ elején {bmatrix} 4 és 4 és 4 \\ 4 és 4 és 4 \\ 4 & 4 és 4 \ end {bmatrix}}.}Ezután blokkként írhatjuk a mátrixot:
Ponál nélrténténonemnemee=[P11.P12.P21P22.].{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {\ mathrm {partitionnee}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} _ {11} & \ mathbf {P} _ {12} \\\ mathbf {P} _ {21} & \ mathbf {P} _ {22} \ end {bmatrix}}.}A mátrixok szorzata blokkokkal
A blokkokban történő felosztás homogenitásának bizonyos feltételei mellett a mátrixok szorzata blokkokkal hajtható végre, vagyis csak az almátrixokon végzett műveletek figyelembevételével. Adott egy mátrix A ( m × p ) a q válaszfalak a sorok és s oszlopok:
NÁL NÉL=[NÁL NÉL11.NÁL NÉL12.⋯NÁL NÉL1sNÁL NÉL21NÁL NÉL22.⋯NÁL NÉL2s⋮⋮⋱⋮NÁL NÉLq1NÁL NÉLq2⋯NÁL NÉLqs]{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {11} & \ mathbf {A} _ {12} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {1s} \\\ mathbf {A} _ {21} & \ mathbf {A} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {2s} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {A } _ {q1} & \ mathbf {A} _ {q2} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {qs} \ end {bmatrix}}}és egy mátrixot, B ( p × n ) a k sorban válaszfalak és r oszlop válaszfalak:
B=[B11.B12.⋯B1rB21B22.⋯B2r⋮⋮⋱⋮Bs1Bs2⋯Bsr]{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {11} & \ mathbf {B} _ {12} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {1r} \\\ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {B} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {2r} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {B } _ {s1} & \ mathbf {B} _ {s2} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {sr} \ end {bmatrix}}},
és feltéve, hogy az egyes blokkok oszlopainak száma megegyezik a blokk sorainak számával , a mátrix szorzata:
NÁL NÉLénj{\ displaystyle A_ {ij}}Bjk{\ displaystyle B_ {jk}}
VS=NÁL NÉLB{\ displaystyle \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ mathbf {B}}lehet tenni blokkokban, amely a C , mátrix ( m × n ) a Q sorban válaszfalak és R oszlopon partíciókat. A C részmátrix blokkjait a következőképpen számoljuk:
VSαβ=∑γ=1sNÁL NÉLαγBγβ,α=1,...,q,β=1,...,r.{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {\ alpha \ beta} = \ sum _ {\ gamma = 1} ^ {s} \ mathbf {A} _ {\ alpha \ gamma} \ mathbf {B} _ {\ gamma \ beta}, \ quad \ alpha = 1, \ ldots, q, \ quad \ beta = 1, \ ldots, r.}
a mátrixok szorzata nem kommutatív, ezért a tényezők sorrendje nem változik.
Átlós blokkmátrixok
A blokk-átlós (vagy blokk-átlós ) mátrix olyan négyzetmátrix , amelynek négyzetmátrix- blokkjai vannak a főátlón , úgy, hogy a nem átlós blokkok nulla mátrixok. A blokk-diagonális mátrix A formában van:
NÁL NÉL=[NÁL NÉL10⋯00NÁL NÉL2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯NÁL NÉLnem]{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & 0 \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}}}ahol A k négyzetmátrix; Más szóval, ez a direkt összege az A 1 , ..., A n . Megjegyezhetjük ezt is: vagy diag ( A 1 , A 2 , ..., A n ) , ez utóbbi ugyanabban a formalizmusban van kifejezés, mint egy átlós mátrixé . Bármely négyzetmátrix triviálisan blokk-átlós mátrixnak tekinthető, egyetlen blokkkal.
NÁL NÉL1⊕NÁL NÉL2⊕...⊕NÁL NÉLnem{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1} \ oplus \ mathbf {A} _ {2} \ oplus \, \ ldots \, \ oplus \ mathbf {A} _ {n}}
A determináns és a nyom esetében a kifejezések a következők:
det(NÁL NÉL)=det(NÁL NÉL1)⋯det(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ operátornév {det} (\ mathbf {A}) = \ operatornév {det} (\ mathbf {A} _ {1}) \ cdots \ operátornév {det} (\ mathbf {A} _ {n}) },
nyom(NÁL NÉL)=nyom(NÁL NÉL1)+⋯+nyom(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ kezelőnév {nyoma} (\ mathbf {A}) = \ kezelőnév {nyom} (\ mathbf {A} _ {1}) + \ cdots + \ kezelőnév {nyom} (\ mathbf {A} _ {n })}.
Bármely n egész számra :
(NÁL NÉL10⋯00NÁL NÉL2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯NÁL NÉLnem)nem=(NÁL NÉL1nem0⋯00NÁL NÉL2nem⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯NÁL NÉLnemnem){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {pmatrix}} ^ {n} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} ^ {n} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} ^ {n} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots és \ mathbf {A} _ {n} ^ {n} \ end {pmatrix}}}Az átlós mátrix blokkokra fordított inverze tehát a blokkok inverzének mátrixa, átlósan a blokkok között:
(NÁL NÉL10⋯00NÁL NÉL2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯NÁL NÉLnem)-1=(NÁL NÉL1-10⋯00NÁL NÉL2-1⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯NÁL NÉLnem-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1 } ^ {- 1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} ^ {- 1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} ^ {- 1} \ end {pmatrix}}}A tridiagonalis blokk meghal
A tridiagonális blokkmátrix egy másik speciális blokkmátrix , amely összehasonlítható a blokkátlós mátrixszal, vagyis egy négyzet alakú mátrixgal, amelynek négyzet alakú blokkmátrixa van a fő, az alsó és a felső átlón, a többi blokk pedig nulla mátrix. Lényegében egy tridiagonális mátrix , de a skaláris együtthatók helyett részmátrixok vannak. Egy tridiagonális mátrix blokkonként Egy a formája:
NÁL NÉL=[B1VS1⋯0NÁL NÉL2B2VS2⋱⋱⋱⋮NÁL NÉLkBkVSk⋮⋱⋱⋱NÁL NÉLnem-1Bnem-1VSnem-10⋯NÁL NÉLnemBnem]{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {1} & \ mathbf {C} _ {1} &&& \ cdots && 0 \\\ mathbf {A} _ {2} & \ mathbf {B} _ {2} & \ mathbf {C} _ {2} &&&& \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {k} & \ mathbf {B} _ {k} & \ mathbf {C} _ {k} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ &&&& mathbf {A} _ {n-1} & \ mathbf { B} _ {n-1} & \ mathbf {C} _ {n-1} \\ 0 && \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {n} & \ mathbf {B} _ {n} \ end {bmatrix }}}ahol A k , B k és C k négyzet alakú részmátrixok az alsó, a fő és a felső átlón.
A tridiagonális blokkmátrixokkal néha találkozhatunk a mérnöki problémák numerikus megoldásában ( pl . A szerkezeti számításban és a számítási folyadékmechanikában ). Rendelkezésre állnak az LU faktorizációra optimalizált numerikus módszerek , valamint algoritmusok az egyenletrendszerek megoldására egy tridiagonális mátrixszal blokkból az együtthatók mátrixához. Thomas " algoritmust , megszerzéséhez használt hatékony megoldást rendszerek egyenletek járó tridiagonális mátrixot is alkalmazható segítségével mátrix műveletek tridiagonális blokk mátrixok.
Blokkolja a Toeplitz-mátrixokat
A blokk-Toeplitz-mátrix egy másik speciális blokk-mátrix, amely a mátrix átlói mentén ismétlődő blokkokat tartalmaz, hasonlóan a Toeplitz-mátrix együtthatóihoz . Egy Toeplitz mátrix blokkonként A formában van:
NÁL NÉL=[NÁL NÉL(1,1)NÁL NÉL(1,2)⋯NÁL NÉL(1,nem-1)NÁL NÉL(1,nem)NÁL NÉL(2,1)NÁL NÉL(1,1)NÁL NÉL(1,2)NÁL NÉL(1,nem-1)⋱⋱⋱⋮NÁL NÉL(2,1)NÁL NÉL(1,1)NÁL NÉL(1,2)⋮⋱⋱⋱NÁL NÉL(nem-1,1)NÁL NÉL(2,1)NÁL NÉL(1,1)NÁL NÉL(1,2)NÁL NÉL(nem,1)NÁL NÉL(nem-1,1)⋯NÁL NÉL(2,1)NÁL NÉL(1,1)]{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} &&& \ cdots & \ mathbf {A } _ {(1, n-1)} és \ mathbf {A} _ {(1, n)} \\\ mathbf {A} _ {(2,1)} és \ mathbf {A} _ {(1 , 1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} &&&& \ mathbf {A} _ {(1, n-1)} \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\\ mathbf {A} _ {(n-1,1)} &&&&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1 )} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ mathbf {A} _ {(n, 1)} és \ mathbf {A} _ {(n-1,1)} és \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ end {bmatrix}}}Közvetlen összeg
Minden tetszőleges mátrixok A (méret m × n ) és a B (a méret p × q ), létezik egy közvetlen összege a A és B , jele által:
NÁL NÉL⊕B{\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B}}
NÁL NÉL⊕B=[nál nél11.⋯nál nél1nem0⋯0⋮⋯⋮⋮⋯⋮nál nélm1⋯nál nélmnem0⋯00⋯0b11.⋯b1q⋮⋯⋮⋮⋯⋮0⋯0bo1⋯boq].{\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {11} & \ cdots & b_ { 1q} \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end {bmatrix}}.}Például,
[132231]⊕[16.01]=[132002310000016.00001].{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}Ez a művelet természetesen általánosítható minden tetszőleges dimenziós tömbre (feltéve, hogy A és B azonos számú dimenzióval rendelkezik).
Megjegyezzük, hogy két mátrix vektortér közvetlen összegének bármely eleme mátrixok közvetlen összegeként ábrázolható.
Közvetlen termék
A közvetlen összeghez hasonlóan létezik egy közvetlen terméknek nevezett művelet, amely blokkmátrixokat tartalmaz.
Felhasználások és alkalmazások
A lineáris algebrában a blokkmátrix használata megfelel annak a lineáris alkalmazásnak , amelyet az alapvektoroknak megfelelő csoportokban gondolunk . Ez összekapcsolódik azzal az elképzeléssel, hogy közvetlen összegbontások legyenek különbözve az indulási és érkezési meghatározások halmazától . Ez különösen akkor fontos, ha a blokk nullmátrix; ez azt jelzi, hogy egy részhalmaz lineáris egy részhalmazhoz. Tekintettel erre a lineáris térképek és közvetlen összegek értelmezésére, van egy speciális fajta blokkmátrix a négyzetmátrixokra (ahol m = n ). Ebben az esetben az ilyen típusú mátrix értelmezését az n V dimenziós tér endomorfizmusaként posztulálhatjuk ; az a blokkszerkezet, amelyben a blokkok sorokba és oszlopokba vannak rendezve, fontos, mivel ez bontásnak felel meg, és egyetlen közvetlen (kettő helyett) összeget kap V-n . Ebben az esetben például a legkézenfekvőbb átlós tömbök négyzet alakúak. Ez a fajta szerkezet szükséges Jordánia redukciójának leírásához .
Ezt a technikát használják a mátrixok, az oszlop- és sorbővítések és más számítógépes alkalmazások számításainak enyhítésére , beleértve a nagyon nagy léptékű integrációs chip-tervezést is . A Strassen algoritmus a gyors mátrix termékekhez , például a Hamming-kód (7.4) a hibák észleléséhez és az adatátvitel során az adatok helyreállításához.
A társadalomtudományokban a szociális háló- elemzésben és a hasonlóság-elemzésben használják a korrelatív kölcsönhatások kimutatására .
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Blokkmátrix " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
szerint H. Ikramov ( transl. V. Polonski), Gyűjteménye lineáris algebra problémák , Mir Editions,1977, „Lineáris operátorok és mátrixok”, 1. o. 130.
-
Vö. Ciarlet 2001 , p. 6.
-
Harrison C. White , Scott A. Boorman és Ronald L. Breiger , „ Társadalmi struktúra a több hálózatból. I. Blockmodels of Roles and Positions ”, American Journal of Sociology , 1. évf . 81, n o 4,1976. január, P. 730–780 ( ISSN 0002-9602 és 1537-5390 , DOI 10.1086 / 226141 , online olvasás , hozzáférés : 2018. november 21 )
Lásd is
Kapcsolódó cikk
Blokkokkal meghatározó
Bibliográfia
Philippe Ciarlet , Bevezetés a numerikus mátrix elemzésbe és optimalizálásba , Masson, coll. "Alkalmazott matematika a mesterképzéshez",2001( 1 st ed. 1985) ( ISBN 2-225-68893-1 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">