Rendezés (csoportelmélet)
A matematika egyik csoportelméletében a sorrend kifejezést két, egymással szorosan összefüggő értelemben használják:
- A sorrendben egy csoport a számossága a mögöttes készlet. Azt mondják, hogy a csoport véges vagy végtelen, annak rendje véges vagy végtelen.
- Ha egy elem van egy csoport G generál a G egy alcsoport ( monogénes ) véges rendű d , azt mondjuk, hogy egy véges érdekében, és különösen annak érdekében, d . Ha az alcsoport által generált egy végtelen, azt mondjuk, hogy egy olyan végtelen érdekében. Ha egy olyan véges rendű, annak érdekében a legkisebb szigorúan pozitív egész szám, m úgy, hogy egy m = e (ahol e jelentése a semleges eleme a csoport, és ahol egy m jelöli a termék m elemek egyenlő az a ).
A G csoport sorrendjét feljegyezzük, vagy ( G ), | G | vagy # G , és a sorrendben egy elem egy van írva ord ( a ) vagy | a |.
Példák
A Rubik-kocka csoportban
A Rubik-kocka szemlélteti a csoport elemének sorrendjét, ahol a kocka nagyon elemi gyakorlatában számos különféle rendű mozgást fedezünk fel (2, 3, 4, 6, ...).
Ciklikus csoportok
Megjegyzés: a ciklikus kifejezést néha véges csoportok számára tartják fenn. Ebben az esetben a ℤ monogénnek mondható.
- A véges ciklusos csoportot ℤ / n ℤ a n > 0, a sorrendben az osztály k modulo n egy egész szám, k jelentése N / GCD ( n , k ).
Szimmetrikus S 3 csoport
A három objektum összes permutációjából álló S 3 (en) = D 6 szimmetrikus csoport a következő szorzótáblával rendelkezik :
•
|
e |
s |
t |
u |
v |
w
|
---|
e
|
e |
s |
t |
u |
v |
w
|
---|
s
|
s |
e |
v |
w |
t |
u
|
---|
t
|
t |
u |
e |
s |
w |
v
|
---|
u
|
u |
t |
w |
v |
e |
s
|
---|
v
|
v |
w |
s |
e |
u |
t
|
---|
w
|
w |
v |
u |
t |
s |
e
|
---|
Ennek a csoportnak hat eleme van, tehát ord (S 3 ) = 6.
Definíció szerint a semleges elem, e sorrendje 1. s , t és w minden négyzete egyenlő e-vel , tehát a csoport ezen elemei sorrendben vannak. A felsorolás befejezésével u és v egyaránt 3. sorrendben, mert u 2 = v , u 3 = vu = e , v 2 = u és v 3 = uv = e .
A csoport felépítése
A csoport sorrendje és elemeinek sorrendje információt nyújt a csoport felépítéséről. Informálisan, minél bonyolultabb a sorrend lebontása, annál nagyobb a csoport.
Az 1. rend egyetlen csoportja ( az izomorfizmusig ) a triviális csoport .
A csoport 1. sorrendjének egyetlen eleme a semleges elem.
Egy elem akkor és csak akkor 2-es rendű, ha egyenlő az inverzével, és különbözik a semleges elemtől.
Az a csoport, amelynek minden eleme 2. rendű (a semleges elem kivételével) abeli, mivel egy ilyen csoportban
nál nélb=(nál nélb)-1=b-1nál nél-1=bnál nél.{\ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba.}![{\ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc26e7283aa09085d2d1d5bf48c3c39265400bb2)
Kapcsolat a két fogalom között
Az, hogy a egy elem egy egyenlő a sorrendben az alcsoport által generált egy , amely
⟨nál nél⟩={nál nélk∣k∈Z}.{\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}.}![{\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088a41bf197d0f5d8eff8e67591d302d1e1bf1fe)
A G elemének sorrendje elosztja a G csoport sorrendjét (például a fenti S 3 szimmetrikus csoport 6-os, és elemeinek sorrendje 1, 2 vagy 3). Általánosabban, Lagrange-tétel biztosítja, hogy a sorrendben bármely alcsoportjának H a G osztja a sorrendben G (egész szám ord ( G ) / ORD ( H ), jelöljük [ G : H ], az úgynevezett index a H a G ).
A következő részben ellenkezője igaz, ha G egy véges csoport : Cauchy-tétel biztosítja, hogy ha p egy prímszám , amely megosztja a sorrendben G , akkor létezik a G eleme sorrendben p (a feltétellel, hogy p először elengedhetetlen: például a Klein-csoportnak nincs egy eleme a negyedik sorrendből). Tudjuk használni ezt a tételt, hogy azt mutatják, hogy egy véges csoport egy p -csoport (amelyek minden elemnek van a rend hatalma p ) akkor és csak akkor, ha annak érdekében, olyan erő, a prímszám p .
Termék rendelése
Ha egy olyan végtelen rend, akkor minden hatáskörét a szintén végtelen érdekében. Ha egy olyan véges rendű, akkor a következő képlet az, hogy a hatásköre a :
ord(nál nélk)=ord(nál nél)pgcd(ord(nál nél),k){\ displaystyle {\ mbox {ord}} (a ^ {k}) = {\ frac {{\ mbox {ord}} (a)} {{\ mbox {pgcd}} ({\ mbox {ord}} ( a), k)}}}![{\ displaystyle {\ mbox {ord}} (a ^ {k}) = {\ frac {{\ mbox {ord}} (a)} {{\ mbox {pgcd}} ({\ mbox {ord}} ( a), k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e285aa74d47a3a982bd2edb9845f049881380e7)
minden k egész számra . Különösen a egészek k úgy, hogy a K = e a többszörösei a sorrendben egy (jellemző a sorrendben a ), és az inverz a egy ugyanolyan nagyságrendű, mint a .
Nincs általános képlet, amely az ab termék sorrendjét az a és b sorrendjéhez kapcsolná . Még az is lehetséges, hogy a és b egyaránt véges sorrendben vannak, míg ab végtelen sorrendben vannak, vagy hogy a és b egyaránt végtelen sorrendűek, míg ab véges sorrendűek.
Ha a és b ingázik , akkor legalább azt mondhatjuk, hogy az ab sorrend osztja az a és b sorrendek PPCM-jét , és ha az ord ( a ) és az ord ( b ) elsődlegesek egymásnak, akkor még egyenlő a termék ord ( a ) × ord ( b ).
Ez lehetővé teszi, hogy létrejöjjön, a két elem egy és b amely közlekedhetne, egy elem, amelynek érdekében a PPCM a megrendelések egy és b , ami azt bizonyítja, hogy a beállított megrendelések az elemei Abel-csoport jelentése stabil által PPCM. Ennek egyik következménye, hogy ha egy abeli csoport kitevője véges, akkor egyenlő a csoport egyik elemének sorrendjével. Véges, nem abeli csoportok esetében nincs meg ez a tulajdonság (lásd például a „ Landau-funkciót ”).
Egyéb tulajdonságok
- A véges csoportjából, bármely egész szám d > 0, az elemek száma a rend d a termék száma (esetleg nulla) az alcsoportok érdekében d által Euler mutatószám φ ( d ) - szerint a lemma a pásztorok - és ugyanígy egy végtelen csoportban, a d rendű alcsoportok száma , amelyek végtelenek lehetnek. Például S 3 esetén φ (3) = 2, és pontosan két elemünk van a 3. sorrendben. A tétel nem nyújt hasznos információt a 2. rend elemeiről, mert φ (2) = 1.
- Csoport morfizmusok hajlamosak csökkenteni a megrendelések az elemek:
- Ha f: G → H morfizmus, és a véges rendű G eleme , akkor az ord ( f ( a )) osztja az ord ( a ) -t . Például az egyetlen h : S 3 → Z / 5 Z morfizmus a null morfizmus, mert a Z / 5 Z nulla kivételével minden szám 5-ös rendű, amely nem osztja fel S, 1, 2 és 3 rendjét 3 .
- Ha f jelentése injektıv , majd ORD ( f ( a )) = ord ( a ). Ez lehetővé teszi annak kimutatását, hogy két konjugált elem azonos sorrendű, ráadásul gyakran felhasználható annak bizonyítására, hogy két adott csoport között nincs injektív homomorfizmus.
- A megrendelésekkel kapcsolatos fontos eredmény az osztályegyenlet ; a véges G csoport sorrendjét a Z ( G ) középpont sorrendjéhez és a nem triviális konjugációs osztályok méretéhez kapcsolja :|G|=|Z(G)|+∑éndén,{\ displaystyle | G | = | Z (G) | + \ összeg _ {i} d_ {i},}
ahol a d i a nem triviális konjugációs osztályok mérete; ezek a méretek nem triviális osztók | G |, mert megegyeznek a G nem triviális alcsoportjainak indexeivel (abban az értelemben, hogy különböznek a G-től és a triviális csoporttól ). Például az S 3 középpontja csak a triviális csoport, és az egyenlet így hangzik: | S 3 | = 1 + 2 + 3.
- Az 1902-es Burnside-probléma egy csoport és annak elemeinek sorrendjét foglalja magában; e kérdések egy része még nyitva áll. ( Burnside 1905-ös tétele ad első választ.)
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Order (csoport elmélet) ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
Fogalommeghatározások N. Bourbaki , Algebra szerint : 1–3. Fejezet , Párizs,1970, P. I.29.
-
Definíciók a Bourbaki szerint , p. I.49.
-
A csoporttörvényt általában multiplikatív módon veszik figyelembe. Az additív jelölés az abeli csoportok számára van fenntartva . Ebben az esetben az a m = e egyenletet ma = 0 váltja fel .
-
Lásd például az 5. linket az alábbi linken a Wikiverzió javított gyakorlataival kapcsolatban .
-
(in) Joseph galliai, kortárs absztrakt algebra , Cengage Learning ,2012( online olvasható ) , p. 85.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">