Rendezés (csoportelmélet)

A matematika egyik csoportelméletében a sorrend kifejezést két, egymással szorosan összefüggő értelemben használják:

A G csoport sorrendjét feljegyezzük, vagy ( G ), | G | vagy # G , és a sorrendben egy elem egy van írva ord ( a ) vagy | a |.

Példák

A Rubik-kocka csoportban

A Rubik-kocka szemlélteti a csoport elemének sorrendjét, ahol a kocka nagyon elemi gyakorlatában számos különféle rendű mozgást fedezünk fel (2, 3, 4, 6, ...).

Ciklikus csoportok

Megjegyzés: a ciklikus kifejezést néha véges csoportok számára tartják fenn. Ebben az esetben a ℤ monogénnek mondható.


Szimmetrikus S 3 csoport

A három objektum összes permutációjából álló S 3 (en) = D 6 szimmetrikus csoport a következő szorzótáblával rendelkezik :  

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Ennek a csoportnak hat eleme van, tehát ord (S 3 ) = 6.

Definíció szerint a semleges elem, e sorrendje 1. s , t és w minden négyzete egyenlő e-vel , tehát a csoport ezen elemei sorrendben vannak. A felsorolás befejezésével u és v egyaránt 3. sorrendben, mert u 2 = v , u 3 = vu = e , v 2 = u és v 3 = uv = e .

A csoport felépítése

A csoport sorrendje és elemeinek sorrendje információt nyújt a csoport felépítéséről. Informálisan, minél bonyolultabb a sorrend lebontása, annál nagyobb a csoport.

Az 1. rend egyetlen csoportja ( az izomorfizmusig ) a triviális csoport .

A csoport 1. sorrendjének egyetlen eleme a semleges elem.

Egy elem akkor és csak akkor 2-es rendű, ha egyenlő az inverzével, és különbözik a semleges elemtől.

Az a csoport, amelynek minden eleme 2. rendű (a semleges elem kivételével) abeli, mivel egy ilyen csoportban

Kapcsolat a két fogalom között

Az, hogy a egy elem egy egyenlő a sorrendben az alcsoport által generált egy , amely

A G elemének sorrendje elosztja a G csoport sorrendjét (például a fenti S 3 szimmetrikus csoport 6-os, és elemeinek sorrendje 1, 2 vagy 3). Általánosabban, Lagrange-tétel biztosítja, hogy a sorrendben bármely alcsoportjának H a G osztja a sorrendben G (egész szám ord ( G ) / ORD ( H ), jelöljük [ G  : H ], az úgynevezett index a H a G ).

A következő részben ellenkezője igaz, ha G egy véges csoport  : Cauchy-tétel biztosítja, hogy ha p egy prímszám , amely megosztja a sorrendben G , akkor létezik a G eleme sorrendben p (a feltétellel, hogy p először elengedhetetlen: például a Klein-csoportnak nincs egy eleme a negyedik sorrendből). Tudjuk használni ezt a tételt, hogy azt mutatják, hogy egy véges csoport egy p -csoport (amelyek minden elemnek van a rend hatalma p ) akkor és csak akkor, ha annak érdekében, olyan erő, a prímszám p .

Termék rendelése

Ha egy olyan végtelen rend, akkor minden hatáskörét a szintén végtelen érdekében. Ha egy olyan véges rendű, akkor a következő képlet az, hogy a hatásköre a  :

minden k egész számra . Különösen a egészek k úgy, hogy a K = e a többszörösei a sorrendben egy (jellemző a sorrendben a ), és az inverz a egy ugyanolyan nagyságrendű, mint a .

Nincs általános képlet, amely az ab termék sorrendjét az a és b sorrendjéhez kapcsolná . Még az is lehetséges, hogy a és b egyaránt véges sorrendben vannak, míg ab végtelen sorrendben vannak, vagy hogy a és b egyaránt végtelen sorrendűek, míg ab véges sorrendűek.

Ha a és b ingázik , akkor legalább azt mondhatjuk, hogy az ab sorrend osztja az a és b sorrendek PPCM-jét , és ha az ord ( a ) és az ord ( b ) elsődlegesek egymásnak, akkor még egyenlő a termék ord ( a ) × ord ( b ).

Ez lehetővé teszi, hogy létrejöjjön, a két elem egy és b amely közlekedhetne, egy elem, amelynek érdekében a PPCM a megrendelések egy és b , ami azt bizonyítja, hogy a beállított megrendelések az elemei Abel-csoport jelentése stabil által PPCM. Ennek egyik következménye, hogy ha egy abeli csoport kitevője véges, akkor egyenlő a csoport egyik elemének sorrendjével. Véges, nem abeli csoportok esetében nincs meg ez a tulajdonság (lásd például a „  Landau-funkciót  ”).

Egyéb tulajdonságok

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Order (csoport elmélet)  ” ( lásd a szerzők listáját ) .
  1. Fogalommeghatározások N. Bourbaki , Algebra szerint  : 1–3. Fejezet , Párizs,1970, P.  I.29.
  2. Definíciók a Bourbaki szerint , p.  I.49.
  3. A csoporttörvényt általában multiplikatív módon veszik figyelembe. Az additív jelölés az abeli csoportok számára van fenntartva . Ebben az esetben az a m = e egyenletet ma = 0 váltja fel .
  4. Lásd például az 5. linket az alábbi linken a Wikiverzió javított gyakorlataival kapcsolatban .
  5. (in) Joseph galliai, kortárs absztrakt algebra , Cengage Learning ,2012( online olvasható ) , p.  85.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">