Az euklideszi geometriában a hasonlóság olyan transzformáció, amely megszorozza az összes távolságot egy fix állandóval, az úgynevezett arányával. Egy ilyen alkalmazás bármely alakjának képe hasonló ábra , vagyis intuitív módon "azonos alakú".
Az izometria azt jelenti, hogy a távolságokat megőrző transzformációk hasonlóságot mutatnak az egyes esetekkel; alakokat alakítanak át azonos alakú és méretű alakokká. A többi hasonlóság az izometria és a méretarány összetétele, amely növeli vagy csökkenti az ábrák méretét. A hasonlóságok közül egyesek megtartják az orientációt , közvetlen hasonlóságoknak nevezik őket . A többit közvetett hasonlóságnak nevezzük .
A síkban a fordítások , az elfordulások , az ortogonális szimmetriák egy tengely mentén , a dilatációk a hasonlóság speciális esetei. Bizonyítjuk, hogy a sík hasonlósága mindig legfeljebb két ilyen típusú átalakításra bontható. A síkbeli hasonlóság komplex kifejezése a pont illesztése és képének ragasztása közötti kapcsolat adata, a közvetlen hasonlóság komplex kifejezése a test komplexeire történő affin alkalmazás .
A minden euklideszi térben , a hasonlóság segítségével írjuk le egy mátrixot . Abban az esetben, egy vektor hasonlóság, ez a mátrix invertálható , és a fordított mátrixban arányos a átültetett mátrix .
A hasonlóság általánosabban meghatározható bármely más kvadratikus formával ellátott vektortérben is .
Ha figyelembe vesszük, az euklideszi síkon, a transzformáció, azaz bijekciót a sík önmagába, f , a következő állítások ekvivalensek:
A terv ezen átalakításait, amelyek kielégítik ezeket a javaslatokat , a tervezés hasonlóságának nevezzük .
Ezt a meghatározást számos műben és a Francia Nemzeti Oktatási Irányelvekben megtaláljuk , de nem mindig szükséges eleve azt feltételezni, hogy a sík ƒ függvénye önmagában bijekció:
Hasonlóságok, amelyek megőrzik a távolságarányokat és az igazításokat, megőrzik a barycentereket és a köröket is. Ezzel szemben a sík átalakulása, amely köröket körökké alakít, hasonlóság.
Közvetlen és közvetett hasonlóságokAz orientált szögeket tartó hasonlóságokat közvetlen hasonlóságnak, más hasonlóságot közvetettnek nevezzük. Bizonyítjuk, hogy a sík közvetett hasonlóságai az összes orientált szöget ellentétesre változtatják.
A közvetlen izometriákat elmozdulásoknak nevezzük . A közvetett izometriákat antiszekcióknak nevezzük.
A hasonlóság aránya az első geometriai ábra hossza és az első képének megfelelő hosszúsága közötti hasonlóság k aránya. Meghatározásához elegendő két különálló A és B pont, valamint ezek képeinek, A 'és B' ismerete. A hasonlóság kapcsolata ekkor a kapcsolat .
Más szavakkal, a k arány hasonlóságában a második ábra az elsőt reprodukálja a k skálán . A k × k vagy k 2 szám ekkor a megfelelő területek közötti arányossági együttható . Például egy tízes arány-hasonlóság megszorozza a hosszakat tízzel, a területeket pedig százal.
Ha az arány nagyobb, mint 1, akkor az ábrák nagyításra kerülnek, ha az arány kisebb, mint 1, akkor az értékek csökkennek. Ha az arány egyenlő 1-vel, akkor az ábrák azonos méretűek, akkor a hasonlóság izometria .
A homotetikák hasonlóságok, és meg kell jegyeznünk a róluk szóló jelentés kétértelműségét . A homotetika aránya vektorokat érint, negatív lehet, míg a hasonlóság aránya a távolságok aránya, mindig pozitív. Például a –1 negatív arányú dilatáció hasonlóság az 1. pozitív aránnyal, szimmetriaként tekinthetünk a középpontjára vagy 180 ° -os elfordulásra (fél fordulat). A k arányú homotetika minden esetben hasonlóság a pozitív arányhoz k |.
A hasonlóságok jellemzője, hogy bármelyik alakot elküldjük egy hasonló alakra, vagyis "azonos alakú", de nem feltétlenül "azonos méretű". Például: * a négyzet képe hasonlóság szerint négyzet;
A hasonlóság az egyenlő oldalú háromszöget egyenlő oldalú háromszöggé változtatja.
Közvetlen hasonlóság szögeA közvetlen hasonlóság megtartja az orientált szögeket. Ezután bebizonyítjuk, hogy a vektor által képével képzett szög állandó. Ezt a szöget a közvetlen hasonlóság szögének nevezzük .
Közvetett hasonlóság esetén a vektor képével képzett szög változó. Ez az oka annak, hogy nem határozhatunk meg szöget egy közvetett síkbeli hasonlósághoz.
Hasonlóságok a középponttalA k aránynak az 1-től eltérő bármilyen hasonlósága, vagyis az izometriától eltérő bármilyen hasonlóságnak egyedi invariáns I pontja van, amelyet a hasonlóság középpontjának nevezünk . Számos módszer létezik a hasonlóság középpontjának geometriai meghatározására két különálló A és B pont, valamint A 'és B' képeik ismeretében.
Az egyik abból áll, hogy azt a tényt használjuk, hogy az M pontok összessége egy A 1 A 2 átmérőjű kör, ahol A 1 és A 2 az A és A 'baricentrumai, amelyekhez k és ± 1 együtthatók vannak hozzárendelve . A hasonlóság I. középpontja a körökön és . Általában ezek a körök két ponton találkoznak. Az egyik a közvetlen hasonlóság (A, B) (A ', B') alakításának központja, a másik a közvetett hasonlóság központja.
Az (A, B) (A ', B') alakítású közvetlen hasonlóság középpontjának keresésére Euler egy egyszerűbb módszert javasol körülírt körök alkalmazásával.
De van egy módszer a közvetlen hasonlóság középpontjának megtalálásához, amely nem igényli a körök felépítését. Azt a tényt használja, hogy az I központ közvetlen hasonlóságában az (MM ') és (NN') egyenesek csak akkor párhuzamosak, ha az I, M és N pontok egybe vannak állítva, valamint az I, M 'és N '. Ezután elegendő két közvetlenül hasonló ABCD és A'B'C'D 'négyzet felépítése. Az előző módszerhez hasonlóan könnyen kezelhető az az eset, amikor az (AB) és (A'B ') egyenesek párhuzamosak. Ellenkező esetben az (AB) és (A'B '), (BC) és (B'C'), (CD) és (C 'D') egyenesek P, Q, R és S metszéspontjait konstruáljuk , (DA) és (D'A '). A vonalak (PR) és (QS) metszéspontja adja a hasonlóság központját. Az elv az, hogy P és képe be van kapcsolva (A'B '), R és képe be van kapcsolva (C'D'). A (PP ') és (RR') vonalak párhuzamosak, a hasonlóság középpontja ekkor (PR) és (P'R ').
Négyféle izometria létezik:
A fent leírt módszerek egyikével vagy másikával lehet meghatározni a forgás középpontját, vagy meg lehet keresni az [AA '] és [BB'] merőleges felezőinél közös pontot.
Az azonosság mellett (az 1. arány közvetlen hasonlósága, nulla szög, nincs egyetlen középpont) az alapvető hasonlóságok a következők:
Bármilyen hasonlóság alapvető hasonlóság vagy kettőjük együttese. Amíg jól választja őket, addig ez a két alapvető hasonlóság ingázik egymással, vagyis ƒ ∘ g = g ∘ ƒ.
A k aránynak az 1-től eltérő hasonlóságának van egy középpontja. Ez az I. középponttal és a k aránysal rendelkező homotetika és a rögzített pont (ok) izometriájának kommutatív vegyülete , vagyis mondjuk az I középpont elfordulása vagy egy visszaverődés. .
A közvetlen vagy közvetett hasonlóságot teljes egészében két különböző pont képe határozza meg. Pontosabban, ha 4 A, B, A ', B' pontot veszünk figyelembe úgy, hogy A ≠ B és A '≠ B', akkor egyedi közvetlen hasonlóság és egyedi közvetett hasonlóság létezik (A, B) (A ') , B ').
Két pont képe által meghatározott közvetlen hasonlóságA hasonlóság k arányát a par szög adja meg . Ha az arány 1 és a szög nulla, akkor az vektor transzláció . Minden más esetben a hasonlóságnak van egy I középpontja, amelyet geometriai úton lehet meghatározni.
Közvetett hasonlóság, amelyet két pont képe határoz megA hasonlóság k arányát a . Erről a hasonlóságról nem beszélünk, mert közvetett.
A komplex síkban minden M pontnak van toldása. Ha ƒ önmagában a sík térképe, és ha z 'M pont rögzítését' M ponttal ƒ-vel jelöljük , akkor a z 'és z között fennálló viszonyt a térkép komplex kifejezésének nevezzük.
A közvetlen hasonlóság komplex kifejezéseTétel - A sík transzformációja csak akkor hasonlít közvetlen összehasonlításra, ha komplex írása z '= az + b alakú , rögzített.
DemonstrációValójában, ha a = 1, akkor az a fordítás, amelynek a vektor b- toldalékkal rendelkezik , és ha a ≠ 1, akkor az Ω rögzítési pont rögzül, és az átalakítást z '- ω = ke i θ ( z - ω) ( k = | a | és θ = arg ( a )), ezért ez a homotetika Ω középpontú és k arányú vegyülete a Ω középponttal és θ szöggel történő forgatással.
Legyen O és A a megfelelő 0 és 1 toldalék pontja, O ', A' képeik (ezzel a transzformációval megkülönböztethetők) és b , c ragadásaik. Legyen M ≠ O bármely pont, z toldalékkal és M 'képe, z ' toldalékkal . Így
ebből kifolyólag
azaz jelöli egy komplex c - b (amely nem nulla):
z '= az + b(és ez az egyenlet továbbra is igazolt M = O, M '= O' esetén: b = a ⋅0 + b ).
A komplex kifejezés megkönnyíti a közvetlen hasonlóság jellemző elemeinek meghatározását:
Különleges esetek:
Ha tudjuk, hogy két különálló pontok ( z A ) és B ( z B ) és képek A '( z A' ) és B '( z B' ), tudjuk meg az értékeket a és b :
DemonstrációLegyen z A , z B , z A ' , z B' ennek a négy pontnak az illesztése, és S közvetlen hasonlóság, amelyet z '= az + b írnak . Így
ennélfogva a megoldás létezése és egyedisége , vagyis az S megoldás.
Közvetett hasonlóság komplex kifejezéseA sík ƒ térképe önmagában közvetett hasonlóság akkor és csak akkor, ha két a és b komplex van , a nem nulla, így a complex komplex kifejezése
z '= a z + b .Ami a közvetlen hasonlóságot illeti, a közvetett hasonlóság komplex kifejezése lehetővé teszi annak jellemző elemeinek meghatározását:
A hasonlósági jelentés szerint a karaktereket meghatározó elemek megváltoznak:
Ha tudjuk, hogy két különálló pontok ( z A ) és B ( z B ) és képek A '( z A' ) és B '( z B' ), tudjuk meg az értékeket a és b :
Amikor a k és a k ' arány két hasonlóságát megalkotjuk , ismét a kk ' arány hasonlóságát kapjuk . A k arány hasonlóságának fordítottja az 1 / k arány hasonlósága . Az összetétel törvényével biztosított hasonlóságok összessége tehát egy csoport . Ez nem kommutatív: a ƒ vegyülete g -vel általában különbözik a g- től a compound vegyülettel .
Amikor két izometriát állítunk össze, izometriát kapunk, és az izometria reciproka továbbra is izometria. Az izometriák halmaza tehát a hasonlóságok csoportjának alcsoportja.
Amikor a k és k ' arány, valamint a θ és θ' szög két közvetlen hasonlóságát megalkotjuk , a kk 'és a θ + θ' szög közvetlen hasonlóságát kapjuk . A k arány és a angle szög közvetlen hasonlatának reciproka az 1 / k arány és a –θ szög közvetlen hasonlósága . A közvetlen hasonlóságok halmaza tehát a hasonlóságok csoportjának alcsoportja. De amikor két közvetett hasonlóságot állítunk össze, közvetlen hasonlóságot kapunk, a közvetett hasonlóságok halmaza ezért nem stabil a függvények összetételében.
A hasonlóságok csoportjának számos alcsoportja van, megemlíthetjük például az elmozdulások csoportját, a homotetikus fordítások csoportját, az azonos középpontú hasonlóságok csoportját. Az I. középponttal rendelkező homotetika és a fordítások alcsoportja kommutatív alcsoport.
A síkvektor-hasonlóság a P vektorsík önmagába mutató lineáris térképe , amely szorosan megszorozza a normákat egy szigorúan pozitív k állandóval . Ha a vektorsíknak ortonormális alapja van , akkor a vektor-hasonlóságot annak mátrixa jellemzi .
Az M mátrix a közvetlen hasonlóság mátrixa akkor és csak akkor, ha van két a és b valós , amelyek nem mindkettő nulla, oly módon, hogy . A mátrix készletet az ilyen típusú bármely egy , és b (amely most már nulla egyidejűleg), feltéve, azzal a kiegészítéssel, és a szorzás a mátrixok , képez kommutatív mezőt izomorf területén komplexek. Ez a strukturális azonosság oda vezetett, hogy a komplexek halmazát néha e négyzetmátrixok halmazaként határozták meg.
Például, ha egy = 1 és b = 1, megkapjuk a hasonlóságot által leírt egyenlettel Z '= (1 + i ) Z , egyenértékű x ' = x - y és y „= x + y , amely levelek stabil a gyűrű a Gauss egészek .
Az M mátrix akkor és csak akkor van közvetett hasonlóság mátrixa, ha van két a és b valós szám , és mindkettő nem nulla, így .
A hasonlóság fogalma nem korlátozódik a sík hasonlóságára, hanem megtalálható bármely euklideszi térben , vagyis a valós számok mezejében véges dimenzióval rendelkező bármely vektorban vagy affin térben, skaláris szorzattal felruházva ( u | v ).
Ha φ önmagában az Euklideszi E vektortér lineáris térképe , akkor a következő állítások ekvivalensek:
Az ilyen endomorfizmust ekkor vektor-hasonlóságnak nevezzük. Jelentése az .
Ortonormális alapot választunk, az n dimenziós euklideszi tér minden endomorfizmusával társíthatunk egy M négyzetmátrixot. Az M mátrix akkor és csak akkor hasonlóságú mátrix, ha megfordítható, és ha van valós szigorúan pozitív γ oly módon, hogy t M = γM –1 .
A vektor-hasonlóságok halmaza az E-n, a kompozíciós törvénnyel együtt a GL (E) alcsoportja, amelyet GO (E) -nek jelölünk. Az O (E) ortogonális csoporthoz a következő összefüggés kapcsolódik: ℝ * + × O (E) alkalmazása GO (E) -ben, amely a ( k , φ) párhoz társítja az endomorfizmust, k of az izomorfizmusa csoportok. A vektor-hasonlósági csoport az izometriák és a szigorúan pozitív arányú homotetikai alcsoport közvetlen szorzata .
Mivel vannak közvetlen izometriák, amelyek az O + (E) csoportot alkotják, és közvetett izometriák, amelyek egyesülnek az O - (E) halmazban , meghatározhatjuk a GO + (E) csoportot alkotó közvetlen hasonlóságokat és a „halmaz GO - egységekben egyesített közvetett hasonlóságokat. (E). Ha a hasonlóság közvetlen, akkor a mátrixának meghatározója pozitív. Egyébként negatív.
Önmagában egy olyan tér affin affin térképét , amelynek társított lineáris térképe vektor hasonlóság, affin hasonlóságnak nevezzük. Az euklideszi affin tér esetében az affin hasonlóságok alcsoportja a vektor hasonlóságok csoportja szerinti fordítások félig közvetlen szorzata.
Az önmagába mutató térkép a szigorúan pozitív k arány közvetlen hasonlósága, ha csak akkor szorozza meg a távolságokat k-val .
Az önmagába vetett ection csak akkor hasonlít hasonlóságra, ha kielégíti a következő tulajdonságok egyikét:
Ha k értéke 1, az affin hasonlóság affin izometria. Ha k különbözik 1-től, akkor az affin hasonlóságnak van egy egyedi invariáns pontja, amelyet a hasonlat középpontjának neveztem el, ez az I középponttal és a k arányú izometriával rendelkező homotetika kommutatív vegyülete, amelynek invariáns pontjai az mínusz I pontban találhatók. .
Például a háromdimenziós affin térben az affin hasonlóságok vannak
Annak érdekében, hogy ezeket a transzformációkat azonos formátumú mátrixszorzókkal jelenítsük meg, a digitális grafika mindig homogén koordinátákat használ. Az n + 1 hosszúságú ekkor egy ilyen mátrix utolsó sora mindig ugyanaz, nem szükséges minden transzformációhoz a memóriában tárolni. Utolsó tagját 1 minden nulla tag előzi meg.
Sok klasszikus attraktorok a rendszerek iterált függvények megépítésük hasonlóságokat. Gyakran előfordul, hogy bár nem mindig, az elemek a család az összehúzódások lesz hasonlóság.
A hasonlóság fogalma bármely másodfokú térre általánosítható (a V mező a K mezőben Q másodfokú alakkal van ellátva ).
Az or automorfizmus a nulla nélküli α szorzó hasonlósága csak akkor, ha V bármely v vektorára Q (ƒ ( v )) = αQ ( v ). A k -nél nem nulla arányú dilatáció egy példa a k ² szorzó hasonlóságára .
Ha Q nem degenerált, akkor az or automorfizmus az α szorzó hasonlósága csak akkor, ha van hozzá kapcsolódó ad * endomorfizmusa, amely kielégíti φ * = αφ -1 értékét .
Ha a K mező a valós számok mezője, és ha Q pozitív határozott, vagyis ha skaláris szorzathoz kapcsolódik, akkor a valós α szigorúan pozitív, és négyzetgyöke a hasonlóság aránya.