Iterált függvények rendszere

A matematikában az iterált függvényrendszer (vagy IFS , az Iterated Function System angol kifejezés rövidítése ) egy eszköz a fraktálok szerkesztésére . Pontosabban, az iterált függvények rendszerének vonzója egy önmagához hasonló fraktál forma , amely önmagának másolatainak egyesüléséből áll, és mindegyik példányt úgy kapjuk meg, hogy egyiküket a rendszer függvényével átalakítjuk.

Az elméletet John Hutchinson, a Princetoni Egyetemen töltött tartózkodás során fogalmazta meg 1980-ban . Michael Barnsley a kollázs-tétellel bebizonyította, hogy bármilyen kompakt ponthalmaz közelíthető meg egy IFS-sel.

Meghatározás

IFS egy családi S az N funkciók ajánlatkérő egy teljes metrikus tér M . Tén:M→M{\ displaystyle T_ {i}: M \ - M}

Mi határozza származó T i új funkciót T is szerződő az összes fél kompakt az M felruházva a Hausdorff távolság , a kifejezés , az úgynevezett Hutchinson üzemeltetője a S . T(NÁL NÉL)=⋃én=1NEMTén(NÁL NÉL){\ displaystyle T (A) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {N} T_ {i} (A)}

A Banach fixpontos tétel biztosítja a T által rögzített M F részhalmaz létezését és egyediségét .

F-t IFS- attraktornak nevezzük, és | -vel jelöljük S | .

• A gyakorlatban azt választani kompakt K egy ilyen pontot, úgy véljük, a következő ( K , T ( K ), T ( T ( K )), ...) , azaz a pályán a K . Figyelemre méltó, hogy ez a szekvencia minden kompakt K esetén konvergál | S | . Innen ered az iterált kifejezés .

• A klasszikus IFS legtöbb funkciója affin függvény.

• Láng IFS fraktálokat hívunk nemlineáris függvényekkel.

Autosimilarity karakter

Visszatérve az előző jelöléseket, meg kell határozni, hogy a fix pont-tétel alkalmazzák a teljes metrikus tér K (R n ) a nemüres kompaktok R n , ellátva a Hausdorff távolság . Így, F maga is egy kompakt nem üres teret R n , azaz egy zárt korlátos teret. Azt is meg kell adni, hogy F hogyan fraktál. Átírása a egyenlőség T ( F ) = F , kapunk . Az egyenlőség fordítja az iterált függvények rendszereinek ( például a Lévy-görbe , a Cantor-halmaz , a Sierpinski-háromszög ...) vonzereinek megfigyelésével nyert intuíciót . Az autosimilaritás jellege itt tökéletesen matematikailag meghatározható, és legalábbis kihasználható az iterált függvényrendszerek vonzóinak korlátozott keretei között. Ezt választotta John Hutchinson 1980-as cikkének első oldaláról. F=⋃én=1NEMTén(F){\ displaystyle F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {N} T_ {i} (F)}

Fraktál dimenzió

Az IFS felépítéséből kikövetkeztethetjük a végső fraktál Hausdorff-dimenzióját: ha a T i térkép k i arányú lesz , és hogy T i (| S |) diszjunkt T j-vel (| S |), minden i esetén j ≤ N és i ≠ j , akkor S dimenziója a valós d szám, amely megfelel:

∑én=1NEMkénd=1.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} ^ {d} = 1.}

Gazdag fraktálforrás

Ezekkel a kifejezésekkel magyarázza Michael Barnsley a következő tétel érdeklődését:

Tétel  -  Legyen ( Y , d ) metrikus tér. Legyen X egy nem üres kompakt Y . Vagy H ( X ), mind az X nem üres tömege . Legyen f  : X → Y folyamatos és olyan, hogy X f ( X ) -ben található . Így

1. bármilyen nem üres kompakt B az X , F -1 ( B ) jelentése egy nem üres kompakt az X , és mi is így határozza meg a térképen W  : H ( X ) → H ( X ) által W ( B ) = F -1 ( B )
2. W van egy fix pont Egy adott

NÁL NÉL=limnem→+∞Wnem(x)=limnem→+∞W∘W∘...∘W⏟nem(x).{\ displaystyle A = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} W ^ {n} (X) = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ alátét {W \ circ W \ circ ... \ circ W} _ {n} (X).}

Nekünk is van NÁL NÉL=⋂nem∈NEMf-nem(x).{\ displaystyle A = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} f ^ {- n} (X).}

• Az f ( z ) = z 2 eset az egységlemezt adja.
• Az f ( z ) = z 2 - 1 eset a hozzá tartozó Júlia-halmazt adja , amelyet J -1 -vel jelölünk . X-nek vehetjük a négyzetet, amelynek középpontja 0 és a 4. oldal van.

• Általában megvan . Más szavakkal, A azon pontok halmaza, amelyek pályája nem menekül el X-ből , ahol egy pont pályáját sorrendnek nevezzük ( x , f ( x ), f 2 ( x ), ...) .NÁL NÉL={x∈x:∀nem=0,1,2 ...fnem(x)∈x}{\ displaystyle A = \ left \ {x \ in X: \ all n = 0,1,2 ... f ^ {n} (x) \ in {X} \ right \}}x∈x{\ displaystyle x \ in X}

Példák a klasszikus attraktorokra

• A Cantor együttes

• A Sierpiński szőnyeg , amelyet 1/3 arány 8 hasonlósága határoz meg.
• A Fern Barnsley négy affin összehúzódásból épült (az ábrán piros, kék, cián és zöld).
• A Takagi-görbe , affin összehúzódások párjának vonzója, amelyek olyan keresztmetszetű vegyületek, amelyek homotetikája 1/2 arányú.
• A Koch görbe és a Cesaro görbe .
• Az ördög lépcsője
• A Hilbert-görbe .
• A Lévy-görbe
• A sárkány görbe
• A Menger szivacs
• Egy fraktál fa

Hivatkozások

1. (en) John Hutchinson, „  Fraktálok és önhasonlóság  ” , Indiana University Mathematical Journal ,tizenkilenc nyolcvan egy, 714 o. ( online olvasás ) :

   "  " Külön köszönet illeti Frederick J. Almgrent , ami lehetővé tette a Princetoni Egyetemen való tartózkodásomat "  "

2. "  összehúzódások családjának vonzója  " , a matematikai görbén Robert Ferreol ,2011(megtekintve : 2018. december 19. )
3. "  afc  " , érintő felülvizsgálat esetén ,2011(megtekintve : 2018. december 19. )
4. Claude Tricot, Geometria és fraktál mérések: Bevezetés , Párizs, Ellipszis ,2008, 439  p. ( ISBN  978-2-7298-4045-7 , OCLC  377976458 , online olvasás ) , p. 4. o. 36
5. Florence Messineo, a lenyűgöző világába fraktál tárgyak , Ellipses ( ISBN  978-2-340-00812-0 és 2-340-00812-3 ) , 93. oldal
6. (in) "  Fraktál vizualizációk  "
7. "  Iterált függvényrendszer  "
8. (a) Edgar, Gerald A. , Mérték, topológia, és a fraktál geometria , Springer,2008( ISBN  978-1-4419-2569-5 , OCLC  255688131 , online olvasás ) , p. 27.
9. Barnsley, MF (Michael Fielding), 1946- , fraktálok mindenhol , Academic Press Professional,1993( ISBN  0-12-079069-6 , OCLC  28025975 , online olvasás ) , p. 268. o. 287
10. "  Julia szettje  " , a matematikai görbén
11. „  Courbe du blancmanger  ” , a www.mathcurve.com címen (hozzáférés : 2018. január 12. )
12. Robert Ferréol , „  Escalier du diable  ” , a www.mathcurve.com (elérhető 12 január 2018 )
13. Robert Ferréol , „  Courbe de Hilbert  ” , a www.mathcurve.com (elérhető 12 január 2018 )
14. "  fa fraktál  " szóló mathcurve robert Ferreol (megajándékozzuk 1 -jén december 2018 )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Fraktál
• Káosz játék , a Barnsley által kínált egyszerűsített változat.
• Kollázs tétel

Külső linkek

• Apofízis , nemlineáris funkciókat támogató fraktálok generátora.
• Glito , ingyenes program, amely lehetővé teszi a 2. dimenzió IFS- jének (affin-leképezések, szinuszos funkciók, Julia-készlet) feltárását.
• Online IFS generátor , amely klasszikus iterált függvényrendszereket kínál, és új IFS létrehozását is lehetővé teszi.

Bibliográfia

• en) Kenneth Falconer , Fractal geometry: matematikai alapok és alkalmazások , Chichester, John Wiley és Sons ,1990, 288  p. ( ISBN  0-471-92287-0 ) , p.  113–117,136.
• (en) John E. Hutchinson , „  Fraktálok és önhasonlóság  ” , Indiana Univ. Math. J. , vol.  30,tizenkilenc nyolcvan egy, P.  713-747 ( DOI  10.1512 / iumj.1981.30.30055 )