Átmetszés

A transzvekcióval egy geometriai transzformáció .

Ezt a cikket a dilatációkról szóló cikkel együtt kell olvasni .

Eredeti rajz
Átmetszés eredménye

Vektor keresztmetszet

Legyen $f$ egy E vektortér endomorfizmusa , $H$ $= Ker ($ $f$ $- id)$ az invariáns vektorok halmaza, és $D$ $= Im ($ $f$ $- id)$ (a rangtétel szerint $dim ($ $H$ $) + dim ($ $D$ $) = homályos ($ $E$ $)$ ).

Azt mondjuk, hogy $f$ egy keresztmetszet, ha $f$ az azonosság, vagy ha H egy hipersík ( a keresztmetszet alapja ) (ami azt jelenti, hogy D , a keresztmetszés iránya egy egyenes ), és D szerepel H-ben (ez van, az összes $X$ a E , $f ( x ) - x$ tartozik H ).
1. ekvivalens feltétel: $f$ lineáris, $Ker ( f - id)$ teljes tér vagy hipersík, és $( f - id) 2 = 0$ .
Egyenértékű 2. feltétel: létezik egy lineáris formában $h$ a E és a vektor, $u$ a $Ker ( h )$ olyan, hogy az összes $x$ az E : $F ( x ) = x + H ( x ) u$ .

A keresztmetszetek bijektívek ( $f -1 ( x ) = x - h ( x ) u$ ), és véges dimenzióban 1 meghatározóval rendelkeznek; hozzák létre a speciális lineáris csoport SL ( E ) az E . A készlet bázis transvections H képez alcsoport, izomorf az adalékanyag-csoport H (a $u$ a H , egyezik a transzvekcióval $x \mapsto x + H ( x ) u$ ).

Transvection mátrix

Egy olyan E bázisban, amely H bázist tartalmaz , amelynek egyik vektora D irányadó vektora , a transzvektió a mátrix számára egy olyan típusú mátrixot tartalmaz

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&& 0 \\ & 1 && \ lambda & \\ && \ ddots && \\ & 0 && 1 & \\ &&&& 1 \ end {pmatrix}} = I_ {n} + \ lambda E_ {i, j}}

ahol $i \neq j$ , az $E i, j$ mátrix mindenütt nullákból áll, kivéve az 1-et $( i, j ) helyzetben$ .

Ezeket az $I n + λ E i, j$ mátrixokat transzvektív mátrixoknak nevezzük ; generálják az SL n ( K ) lineáris speciális csoportot .

A legtöbb redukált forma, amely Jordan formája , az identitás különböző átmetszésének mátrixa

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} I_ {n-2} & {\ begin {matrix} 0 és 0 \\\ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 \ end {mátrix}} \\ {\ begin {mátrix } 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 \ end {mátrix}} és {\ begin {mátrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {mátrix}} \ end {pmatrix}} = I_ {n} + E_ {n-1, n}.}

Példák

A mátrixhoz kapcsolódó transzkció , szemléltetve. R²-ben vegye figyelembe u-t, amelyet u határoz meg: X = (x, y) → (x + 2y, y) = (x, y) + y (2,0) = X + g (X) c, ahol g: X = (x, y) → y lineáris forma és c = (2,0). u az x tengely és a jobb oldalon az x tengely hipersíkjának keresztmetszete. Megtaláljuk az általános definícióban javasolt formát (ekvivalens 2. feltétel). ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 és 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$
A Takagi-görbe meghatározásához használt keresztmetszetek .

Affin transzvekció

A transzvekcióval egy affin tér E jelentése vagy az azonosság vagy egy affin térképet a E a E , amelynek meghatározott invariáns pontok egy hipersík H a E ( bázis a transzvekcióval), és úgy, hogy minden ponton M vektor párhuzamos marad H . A vektorok ezután egy vektor vonalat alkotnak (a keresztmetszet iránya). ${\ displaystyle {\ overrightarrow {MM '}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {MM '}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {D}}}$

A lineáris transzvekciónak megvan a vektor transzvekciójának egy lineáris része. Ezzel ellentétben, a vektortranszekció lineáris részével rendelkező affin leképezések a csúsztatott transzformációk , amelyek egy bázissal párhuzamos transzvekcióból és egy vektor transzlációból állnak.

Két A és A ' pontot megadva úgy, hogy az egyenes ( AA' ) párhuzamos legyen a H hipersíkkal , de ebbe a hipersíkba nem tartozik, egyetlen H bázistovábbítás van, amely A- t A-hoz küld ; a kép M " egy pont M könnyen kapjuk az építőiparban a figura ellenkező.

Projekciós transzvekció

Ha belemerítjük az affin E teret a projektív komplementerébe, hozzáadva egy hipersíkot a H ' végtelenben , akkor tudjuk, hogy a H hipersík E' komplementerét affin tér struktúrájával biztosíthatjuk (a egy pont a H az E párhuzamossá válik a E „ és azok, amelyek párhuzamosak a E vált szekáns ponton a H” ).

Ahhoz, hogy bármely hipersíkot transzvekcióval H a E ezután kapcsolatba affin térképet E " , amely nem más, mint a fordítás.

Az átvezetések tehát valójában "perspektívában történő fordítások". Ha síkban nézzük a horizont horizontjával párhuzamos vektor transzlációját, akkor látunk egy keresztmetszetet (lásd a szemközti ábrát).

Ha most egy másik hipersíkot küldünk, mint H és H ', a végtelenbe, akkor a transzvízió egy speciális homológiává válik .

Összefoglalva, a projektív geometriában megegyezik a fordítások, az átmetszések és a speciális homológiák közötti azonosság.

Euklideszi átmetszés

Legyen $f lehet$ egy transzvekcióval egy euklideszi térben , egy normál és normált vektor annak bázis és D iránya normált irányító vektor . ${\ vec {n}}$ ${\ vec {u}}$

Az ellentétes jelölésekkel megvan

{\ displaystyle {\ overrightarrow {MM '}} = \ lambda {\ overline {HM}} {\ vec {u}}.}

A $λ$ szám ekkor a keresztmetszet együtthatója, $θ$ szögét pedig $tan θ = λ$ határozza meg .

Transzekció végrehajtása párhuzamos perspektívával

Nézzük merítsük az euklideszi térben $E n$ dimenziós $n$ , mint egy hipers'ıkot egy tér $E n +1$ dimenzió $n 1$ és hagyja, hogy $az E n$ forog körül hipersíkot H , úgy, hogy egy-egy példányt . ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}$

Bármely pont M az $E n$ van egy példánya a , így is a kép M " az M egy bázissal transzvekcióval H . ${\ tilde M}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}$

Megmutatjuk, hogy a vonal tartja a rögzített irányba D , ami azt mutatja, hogy a nyert vetülete M in $E$ $n$ $+1$ ( bázis vetítési és iránya a D ). ${\ displaystyle (M {\ tilde {M}} ')}$ ${\ tilde M} '$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n}}$

Megjegyzések és hivatkozások

" Testmozgás " , a persón. univ-rennes1 .fr / marie-pierre.lebaud / agint / .
Jean Dieudonné , Lineáris algebra és elemi geometria , Hermann,1968( OCLC 602892060 ) , fej . III, 3. bekezdés, 6. gyakorlat.
Ennek a folyamatnak a konkrét megvalósítását lásd a Modenai Egyetem honlapján .

Forrás a projektív részhez: Alain Bigard, Geometry, Corrected Course and Practices for the Capes and aggregation , Masson, 1998