Szerződéskötési kérelem

A matematikában , és különösen az elemzésben , a kontrakciós leképezés vagy összehúzódás olyan alkalmazás, amely "hozza a képet ", pontosabban egy $k-$ lipipschitzienne alkalmazás, amelynek $k <1$ . A legegyszerűbb és legszélesebb körben használt fixpont tétel a szerződésekre vonatkozik.

Meghatározás és példák

Egy alkalmazása f egy metrikus tér ( E , d ) önmagában azt mondják, hogy a K-szerződő ha 0 ≤ k <1, és ha, bármely két pont x és y a E , d ( f ( x ), F ( y )) ≤ kd ( x , y ). Azt mondják, hogy akkor szerződik, ha k -szerződés egy bizonyos k állandóra .

A normált vektortér endomorfizmusa , amelynek normája szigorúan kisebb, mint 1 (vagy egy ilyen endomorfizmushoz társított affin térkép ), egy összehúzódó térkép. A legegyszerűbb példa a λ arány tágulása | λ | -val <1.

Általánosságban elmondható, hogy a véges lépések egyenlőtlensége lehetővé teszi annak megmutatását, hogy a k <1 normában korlátozott derivált derivált függvénye összehúzódik; ez például a térkép R- jén található , k = 2/3 értékkel. $x \ mapsto (x + \ sin x) / 3$

Rögzített pont tétel a szerződéses alkalmazáshoz

Tétel - Legyen E egy metrikus tér teljes (nem üres) és

f

kérelem

k

-contractive az E a E . Létezik egy egyedülálló fix pont

x *

F

(azaz egy

X *

az E olyan, hogy

az f ( x *) = x *

). Sőt, az E elemeinek bármely olyan sorozata, amely kielégíti a megismétlődést

x _ {{n + 1}} = f (x_ {n})

ellenőrizze a jelölést

{\ displaystyle d (x_ {n}, x ^ {*}) \ leq {\ frac {k ^ {n}} {1-k}} \ d (x_ {0}, x_ {1})}

Ezért konvergál $X *$ .

A klasszikus bizonyítás lényegében abból áll, azt mutatja, hogy bármilyen sorrendben kielégítő , van . $x _ {{n + 1}} = f (x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + p}) \ leq {\ frac {k ^ {n}} {1-k}} \ d (x_ {0}, x_ {1})}$

Változat A kontrakciók alapvető egyenlőtlensége

Minden $x$ és $y$ esetében E- ben

d (x, y) \ leq {\ frac {d (x, f (x)) + d (y, f (y))} {1-k}}.

Valójában háromszög egyenlőtlenség, ${\ kezdődik {igazítva} d (x, y) & \ leq d (x, f (x)) + d (f (x), f (y)) + d (f (y), y) \\ & \ leq d (x, f (x)) + kd (x, y) + d (f (y), y). \ vég {igazítva}}$

Egyediség

Az alapvető egyenlőtlenség szerint azonnal.

Létezés

Az alapvető egyenlőtlenség azt is eredményezi $d (x_ {n}, x_ {m}) \ leq {\ frac {d (x_ {n}, x _ {{n + 1}}) + d (x_ {m}, x _ {{m + 1 }})} {1-k}} \ leq {\ frac {k ^ {n} + k ^ {m}} {1-k}} d (x_ {0}, x_ {1}).$ Következtethetünk, mint a „klasszikus bizonyításban”, a szekvencia konvergenciája és a hiba növekedése, és a létbizonyítás vége azonos.

Ezt a tételt gyakran Banach Fixpont Tételének nevezik - aki 1920-ban az integrálegyenletek megoldásának részeként fogalmazta meg - vagy Picard Fixpont Tételének nevezik .

Következmény egy olyan alkalmazáshoz, amelynek iterációja szerződéses

A következő következményeket alkalmazzuk a Cauchy-Lipschitz-tétel bizonyos bizonyításaiban , amely eltekint a szokásos bizonyítás óvintézkedéseitől , amelyet olyan helyzetbe kívánnak helyezni, ahol az $f$ térkép összehúzódik.

Következmény - Legyen E egy teljes metrikus tér (nem üres) és $f$ kérelem (nem feltétlenül folyamatos csökkenésével) E az E köztük egy iterált $f q$ szerződő (azt mondjuk, hogy $az f$ van erő $q$ szerződő -ik). Ekkor $f-$ nek egyedi rögzített $x *$ pontja van, és az E bármely elemének az $x n +1 = f ( x n )$ ismétlődést kielégítő elemeinek konvergenciája $x *$ -be konvergál .

jegyzet Amint a tétel, a konvergencia az szekvencia legalább geometriai (ész k 1 / q , ha

f q

jelentése k -contracting).

Egymást követő közelítések

Ezek az eredmények algoritmust adnak a fix pont kiszámításához (ez az „egymást követő közelítések módszere”), ellentétben más fixpontos tételekkel, amelyek csak a rögzített pontok létezéséről biztosítanak bennünket anélkül, hogy jeleznék azok meghatározásának módját. Ezenkívül az utasítás megadja a hiba felső határát.

Megjegyezzük, hogy a fő tétele, ha mi jelöljük $k n$ a Lipschitz állandója $F n$ , már határolt $k n$ a $k n$ . Ez a növekedés gyakran nagyon rossz , ami megmagyarázza, miért $d ( x n , x *)$ előző kötése gyakran pesszimista. Ha feltételezzük, hogy az $f$ valamivel erősebb, mint a fenti következmény, de nem annyira, mint a tételé, jobb növekedésekhez vezethet (például a differenciálegyenletek felbontása esetén): ha, minden egész $n$ , a térkép $f n$ jelentése $k n$ -lipschitzian és ha a sorozat az általános kifejezés $k n$ jelentése konvergens -, amely lehetővé teszi, hogy alkalmazza a következménye, mivel k q <1 q elég nagy -, akkor, megjegyezve a korábban $x *$ $f$ és $x n = f n ( x 0 )$ rögzített pontja ( E tetszőleges x 0 pontja esetén ),

\ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad d (x_ {n}, x ^ {*}) \ leq \ left (\ sum _ {{i = n}} ^ {{\ infty}} k_ {i } \ jobbra) d (x_ {0}, x_ {1}).

Demonstráció

Ugyanazokkal az érvekkel, mint a "klasszikus bizonyítás" elején, ${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall p \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad d (x_ {n}, x_ {n + p} ) & \ leq d (x_ {n}, x_ {n + 1}) + d (x_ {n + 1}, x_ {n + 2}) + \ ldots + d (x_ {n + p-1}, x_ {n + p}) \\ & \ leq (k_ {n} + k_ {n + 1} + \ ldots + k_ {n + p-1}) \ d (x_ {0}, x_ {1}) , \ end {igazítva}}}$ ezért a bejelentett növekedés azzal a határral túllépve, amikor a p végtelenbe hajlik.

Tipikus alkalmazások

Numerikus egyenletek megoldása, lásd különösen Newton módszerét
A lineáris rendszerek hozzávetőleges felbontása iterációval
Megoldása differenciálegyenletek : Cauchy-Lipschitz tétel
Az implicit függvények tétele
Alkalmazás az iterált függvények rendszerének attraktorának meghatározására

Megjegyzések és hivatkozások

Jean-Pierre Bourguignon , Calculus varinel , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2008, 328 p. ( ISBN 978-2-7302-1415-5 , értesítést BNF n o FRBNF41120749 , online prezentáció ) , p. 7. és 27-28.
Jean-Pierre Demailly , numerikus elemzés és differenciálegyenletek [ a kiadások részlete ], P. 93 , előnézet a Google Könyvekben .
Alain Yger és Jacques-Arthur Weil, alkalmazott matematika L3: Teljes tanfolyam 500 kijavított teszttel és gyakorlattal , Párizs, Pearson,2009, 890 p. ( ISBN 978-2-7440-7352-6 , értesítést BNF n o FRBNF42034458 , online prezentáció ) , p. 141.
Részletes bemutatás található a Wikegyetem teljes terének tulajdonságaiban .
(in) Richard S. Palais , " single A proof of the Banach contraction princip " , Journal of Fixed Point Theory and Applications , Vol. 2,2007, P. 221–223 ( online olvasás ).
S. Banach, „ Az elvont halmazú műveletekről és azok alkalmazásáról az integrálegyenletekre ”, Alap. Math. , vol. 3,1922, P. 133-181 ( online olvasás ), reprodukálva: Stefan Banach művei , p. 305-348 (a disszertáció 1920 júniusában került bemutatásra a Lvivi Egyetemen ), fej. II. 2. bek., 6. tétel.
(in) Philippe G. Ciarlet , lineáris és nemlineáris Funkcionális elemzés alkalmazásokkal , SIAM ,2013( online olvasható ) , p. 157.
(in) AN Kolmogorov és SV Fomin ( transz. Leo F. bór), elemei az elmélet a funkciók és funkcionális analízise , vol. 1, Dover Publications ,1999( 1 st szerk. 1957) ( olvasott sort ) , p. 46-49 (az 1954-es orosz kiadásból fordítva).
Bemutatót lásd például a Wikiverzió javított gyakorlatában .
E. Ramis, C. Deschamps és J. Odoux, Speciális matematika tanfolyam , vol. 3: Topológia és elemzési elemek , Masson ,1976, P. 64., Tétel.
Ciarlet 2013 , p. 154., 3.7-2 .
(in) DR intelligens fixpont tételek , UPC , al. "Cambridge Tracts matematika" ( n o 66)1980( 1 st ed. 1974), 100 p. ( ISBN 978-0-521-29833-9 , online előadás ) , p. 38, 5.2.1 . Tétel .
Kolmogorov és Fomin 1999 , p. 50-51, adja meg ezt a tételt, és alkalmazza a Volterra integrálegyenletére . Lásd még könyvük nagyon lazán szerkesztett változatát: (en) RA Silverman, Introductory Real Analysis , Dover,2012( 1 st szerk. 1970) ( olvasható online ) , p. 70. és 75-76.
Kolmogorov és Fomin 1999 , p. 43.

Kapcsolódó cikkek