Távolság Hausdorfftól

A matematika , pontosabban a geometria , Hausdorff távolság egy topológiai eszköz , hogy az intézkedések a távolság a két részhalmaza egy mögöttes metrikus tér .

Ez a távolság két nagyon különböző összefüggésben jelenik meg. A képfeldolgozáshoz több tulajdonságú eszköz, számos algoritmus forrása. Jelzi, hogy két alak megegyezik-e, és ha különböznek egymástól, akkor a távolság számszerűsíti ezeket az eltéréseket. A 2. dimenzióban a Hausdorff-távolság lehetővé teszi egy kép digitalizálását vagy egy alak felismerését. Ez a tiszta matematikából származó eszköz nem mindig alkalmas ipari feldolgozásra. Például két, különböző hosszúságú kontúrú alak lehet közel, e távolság értelmében. Ezen okok miatt néha variánsokat használnak, például a módosított Hausdorff-távolságot .

A matematikus, ez a távolság a geometriához, amit a norma egyenletes konvergencia , hogy elemzés . A funkcionális elemzés során az egységes konvergencia egy olyan megközelítésből indul ki, amely egy új halmazon való munkából áll. Már nem a valós vagy komplex számok viselkedését vizsgáljuk, amelyeken a függvény definiálva van, hanem egy függvényhalmaz viselkedését. Jellemzően egy kérdést próbálunk megoldani olyan funkciók segítségével, amelyeket hatalmas tér pontjainak tekintenek, és amelyek a megoldás felé konvergálnak. A Fourier-sorozat ilyen jellegű megközelítésből indul ki. Csábító ugyanúgy megközelíteni a geometriai problémát. A tér egy pontja szilárdtá válik, a megoldás felé konvergáló szilárd anyagok sorozatának felhasználásával próbálunk megoldást találni. A konvergencia fogalmához topológia szükséges, amelyre a Hausdorff-távolság indukálta a választ.

Alkalmazási példa az euklideszi sík izoperimetriai problémája . A kérdés az, hogy megtudjuk, mi a lehető legnagyobb terület felülete, adott kerületen a válasz a lemez . Az egyik módszer egy olyan szekvencia felépítéséből áll, például sokszögekből, amelyek a megoldás felé konvergálnak .

Az első felmerülő kérdések némiképp azonosak a funkcionális elemzés kérdéseivel. Ebben az esetben teljes a tér , mik a kompaktok , vannak-e folyamatos alkalmazásaink, vannak-e könnyen manipulálható és sűrű alterek , kicsit olyanok, mint a polinomok? A válaszok elég pozitívak ahhoz, hogy a folyamat eredményes legyen. Ha az alapul szolgáló tér teljes, akkor a Hausdorff-távolságot használó tér is teljes. A tömörítések, ha a metrikus tér euklideszi, a zárt, korlátozott halmazok , a sokszögek sűrű halmazt alkotnak, végül a Minkowski-összeg folyamatos.

Ezen a területen a matematikai munka közvetlen hatással van az algoritmusok kifejlesztésére, amelyek kifejezetten megfelelnek az ipar igényeinek.

Távépítés

Intuitív megközelítés

Hausdorff intuitív ötlete az, hogy meghatározza a két C és D halmaz közötti távolságot, ahogy azt a jobb oldali ábra mutatja. C a piros négyzetet, D pedig a kék korongot azonos területtel és ugyanazzal a középponttal jelöli . Ahol a két ábra egybeesik, ott a szín lila, különben kék vagy piros. A két ábra közötti különbségek 4 kék lunula és 4 szinte vörös háromszög formájában valósulnak meg.

Úgy véljük, a lényeg a tér legtávolabbi a lemez, ez egy csúcs a tér, a parttól egy a lemezről. Ezután a korong négyzettől legtávolabbi pontját vesszük figyelembe, ez a lunula teteje, és négyzetének távolságát b . A Hausdorff-távolság a kettő közül a nagyobb, ebben az esetben a választott példa esetében. Az a és b értékeket néha relatív Hausdorff-távolságnak nevezik .

Hausdorff távolsága a képalkotó mérnök számára két geometriai alak közötti hasonlóság mutatója , ami éppen ennek hasznosságának oka.

Annak érdekében, hogy ez a távolság igazolni tudja az első axiómát, vagyis azt, amely azt jelzi, hogy két különböző ábra közötti távolság soha nem nulla, nem vehetjük figyelembe az összes halmazt. Két golyó , az egyik nyitott , a másik zárt , ugyanazzal a középponttal és azonos sugárral két különböző halmaz lenne nullától távol. Egy másik ok arra készteti a figyelembe vett halmazok korlátozását. A vonal és a labda közötti távolság végtelen lenne, ami a távolság axiómái szerint nem lehetséges. Emiatt Hausdorff a készletet korlátozottakra korlátozza . Ezt a távolságot gyakran használják a véges dimenziós térhez közeli geometriák tanulmányozásához , emiatt a halmazoknak néha kompaktnak kell lenniük. Végül nem lehet értelmezni az önkényesen behatárolt zárt és az üres halmaz közötti távolságot  ; emiatt az üres halmazt nem veszik figyelembe.

Távolsági megfogalmazások

Különböző módon lehet kifejezni a d ( X , Y ) távolságot egy metrikus tér két nem üres határolt zárt X és Y halmaza között ( E , δ). Az első megfelel az előző bekezdésben szereplő meghatározásnak:

d(x,Y): =max{supy∈Yδ(x,y),supx∈xδ(x,Y)}=max{supy∈Yinfx∈xδ(x,y),supx∈xinfy∈Yδ(x,y)}.{\ displaystyle d (X, Y): = \ max \; \ {\ sup _ {y \ Y} \ delta (X, y), \ quad \ sup _ {x \ X} \ delta (x, Y) \} = \ max \; \ {\ sup _ {y \ Y} \ inf _ {x \ X} \ delta (x, y), \ quad \ sup _ {x \ X} \ inf _ {y \ Y-ben} \ delta (x, y) \}.}

Egy másik megfogalmazás az X r és Y r halmazok figyelembe vételéből áll , ahol r pozitív valós. Itt, X R (ill. Y R ) jelöli a beállított pontok E távolságban kevesebb vagy egyenlő, mint az R a X (ill. Y ). Ezután a távolság a következő formát ölti:

d(x,Y)=min{r∈R+∣x⊂YrésY⊂xr}.{\ displaystyle d (X, Y) = \ min \ {r \ in \ mathbb {R} _ {+} \ X közepe \ Yhalmaz Y_ {r} \ quad {\ text {és}} \ quad Y \ X_halmaz {r} \}.}

Formális meghatározás

Legyen ( E , δ) egy metrikus tér és E H mind zárt, határolt, E mentes . A Hausdorff távolság d az E H jelentése a térképen d , az E H × E H a ℝ + , által meghatározott a fenti képlet.

Ezeket a jelöléseket a cikk többi részében használjuk.

Megjegyzés  : a δ távolság két pontra, vagy egy pontra és egy részre vonatkozik, míg a Hausdorff d távolság két részre vonatkozik (zárt, határolt és nem üres). Például ℝ-ben:

δ(0,[-1,1])=0ésd({0},[-1,1])=1.{\ displaystyle \ delta (0, [- 1,1]) = 0 \ quad {\ text {és}} \ quad d (\ {0 \}, [- 1,1]) = 1.}

Ha az E-n lévő távolság korlátos, akkor a Hausdorff-távolságot meghatározzuk az E összes nem üres zárt részén (mindegyik be van határolva). Ellenkező esetben a korlátlan zártra kiterjesztett "távolság" végtelen értékeket vehet fel.

Az is lehetséges, hogy meghatározza a Hausdorff távolság két nem-zárt részhalmazát E , mint a Hausdorff közötti távolság az összenövések . Mi így biztosítják a beállított részhalmazainak E egy eltérést (mivel két különálló részhalmazát, de amelyeknek ugyanaz adhéziós lesz nulla Hausdorff távolság).

Példa

A háromszög és a határa közötti Hausdorff-távolság megegyezik a háromszögbe beírt kör középpontja és az egyik oldal közötti távolsággal. A Sierpinski-háromszög felé konvergáló klasszikus kompakt sorozat két egymást követő iterációja közötti Hausdorff-távolság kiszámításához azonnal alkalmazható, és segíthet megérteni a Hausdorff-távolság fogalmát. Valójában, ha ugyanaz a gyakorlat látszólag a Sierpinski-szőnyeg tanulmányozása keretében triviális, a háromszög esetében végzett kutatás arra kötelezi, hogy finom módon manipulálja a definícióban jelen lévő maximum és minimum fogalmát. a Hausdorff-távolság két tömörítés között. Ezenkívül ez a példa a Felix Hausdorff által bevezetett fogalmat a fraktálokkal , pontosabban az iterált függvényrendszerekkel kapcsolja össze , ahol ezt a fogalmat széles körben használják.

Folytonosság

Sűrű együttes

A sűrű halmazok megléte mind a matematikust, mind a képfeldolgozó mérnököt érdekli. A mérnök számára egy sűrű részhalmaz lehetővé teszi az E H bármely pontjának közelítését (a pont kifejezés a vizsgált halmaz elemét jelöli, itt geometriai ábrák). És F H sűrű az E H ha bármely pontjára X az E H és bármilyen valós szám ε szigorúan pozitív, létezik egy pont Y az F H a távolság kisebb mint ε az X .

A sűrű szerelvényt kisebbre választják , hogy kényelmesen meg lehessen dolgozni. A jobb oldali ábra két sűrű halmazt szemléltet, ha E egy euklideszi tér , mint a képfeldolgozás síkja. Az első példa pixeleknek felel meg . A teret négyzetek (bármely dimenzióban hipersíkok) teszik négyzetbe, amelyek irányai mind ortogonálisak egy ortonormális bázis vektorához, és az egymással párhuzamos vonalak rendszeresen el vannak helyezve. Ez a rács meghatározza a kis négyzetek halmazát (hiperkockák esetén, ha a méret tetszőleges), az első sűrű halmaz az, amely egy ilyen jellegű kis négyzetek véges halmazából áll. A mérnökök raszterképekről beszélnek

A matematikában gyakran választják a rács 1/2 n-nek megfelelő lépését , ahol n tetszőleges egész szám, így végtelen a lehetséges „rácsméret”, egyre pontosabban, ha n növekszik. Egy alakot, például a jobb oldali ábra lila körét, ezek a kis négyzetek közelítik meg. Egy algoritmus abból áll, hogy kiválaszt egy kis négyzetet, ha annak nem üres metszéspontja van az ábrával, amelyet hozzá kell közelítenie.

A második módszer abból áll, hogy sűrű halmazként választjuk meg a sokszögeket , vagy bármilyen dimenzió esetén akár a poliédereket is. Egy mérnök számára sokkal kevesebb információra van szükség egy geometriai ábra leírásához ezzel a módszerrel. Ez a megközelítés vagy időmegtakarítást, vagy nagyobb pontosságot tesz lehetővé. A jobb oldali második ábra egy sokszögű közelítés, amelyet vektorképnek is nevezünk . A matematikus számára a poliéder egy halmazt alkot, amely szigorúan az előzőt tartalmazza, ezért természetes, hogy ez is sűrű.

Néha hasznos a konvexitás megtartása , ismételten a konvex poliéderek sűrű halmazot alkotnak a domború E H között .

Demonstráció

Itt E a d dimenzió euklideszi terét jelöli . Itt, G H Valamennyi hiperkockák zárva a rács és a szélei hosszúságú 2 n , és X jelentése egy korlátos zárt E H . A tüntetés kicsit gazdagabb, mint a bekezdésben bejelentett.

• Létezik egy sokszög ( P n ) szekvencia , amely csökken az inklúzió miatt, úgy, hogy P n X-et tartalmaz, és olyan, hogy X és P n közötti távolság kisebb (d / 2 2n ) 1/2  :

Úgy véljük, a készlet hiperkockákra a G n , amelyek egy nem zéró keresztezi X , az unió a elemeinek ez a halmaz jelöli P n . A készletből kettő látható a jobb oldali ábrán. Az X ábra egy sokszög, fekete szegéllyel. Az első bemutatott halmaz megfelel a kék négyzeteknek, a második, kétszer vékonyabb és részben elrejti a kék négyzeteket, a piros szín.

A szekvencia csökkenését, valamint azt a tényt, hogy P n tartalmaz X-et, a konstrukció garantál.

A lehető legnagyobb távolság akkor érhető el, ha X csak egy csúcsban metszi a hiperkockát, a legtávolabbi csúcs az X- től legtávolabbi P n pont , a legnagyobb átlónak a távolsága, amely egyenlő (d / 2 2n ) 1/2 .

A P n és X távolsága 0 felé halad, a határ meghatározása szerint a 4 X valóban a sokszögeké.

• Ha X konvex, akkor a P n sokszögek konvex burkolatainak ( K n ) szekvenciája csökkenő szekvencia a befogadáshoz, oly módon, hogy Q n X-et tartalmaz, és hogy X és Q n közötti távolság kisebb (d / 2 2n- 2 ) 1/2  :

Az érvelés megegyezik az előzővel, elegendő észrevenni, hogy egy kis kocka réteg hozzáadása olyan ábrát hoz létre, amely tartalmazza a K n domború burkolatot .

Folyamatos funkciók

Ha egy függvény folyamatos, akkor azt kis módosításokkal jól megőrzi, amit képvisel. Lényeges példa a Minkowski-összeg . Két X és Y halmaz összekapcsoljuk az x + y alakú vektorok halmazát, ahol x X eleme és Y y része . A képeken egy alak kis összegzéssel történő összegzése lehetővé teszi a kontúrok csillapítását. A tiszta matematikában a Minkowski-összeg sok izoperimetrikus tételben szerepel . Az a tény, hogy C konvex kompakt, a C + C = 2 C egyenlőséget jelenti (ami nem nyilvánvaló, az első rész Minkowski-összegnek felel meg, a második pedig a 2-es arány dilatációjának ). Ez kulcsfontosságú eleme Minkowski tételének bizonyításában , amelyet az algebrai számelméletben használtak .

Egy másik példa van által adott intézkedés funkciót , ha E jelentése egy euklideszi térben. A Lebesgue-mérés egy alakhoz társította a mennyiségét . Van egyfajta folytonossága a Hausdorff-távolságra, fent félig folytonos . Ez azt jelzi, hogy ha egy algoritmus egyre pontosabb közelítések felhasználásával készít egy ábrát, akkor a végső ábrának van egy olyan mértéke, amely nem ugrik le. Matematikailag egy olyan ábrák szekvenciája ( X n ) modellezi, amely Hausdorff értelmében egy X ábrához konvergál . Az X ábra térfogata nem sokkal kisebb, mint X n értéke , ha n nagy. Ha μ jelöli a Lebesgue-mértéket, vagyis azt a függvényt, amely a térfogatát egy ábrához társítja:

lim supnem→∞μ(xnem)≤μ(x).{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu (X_ {n}) \ leq \ mu (X).}

Ha nincs lefelé ugrási lehetőség, akkor lehet felfelé ugrás. Ezt úgy valósíthatjuk meg, hogy egymás után következő lépésekkel konstruálunk egy képet ( X n ). Feltételezzük, hogy a kép túl kicsi pixelekből áll, hogy látható legyen. Minden lépésnél az algoritmus néhány izolált pontot ad hozzá a C területhez . Mivel el vannak szigetelve, az X n képek nem tartalmaznak semmi láthatót C-ben , amíg n kicsi marad. Másrészt, ha n nagyon magasra kerül, láthatjuk, hogy látható felület jelenik meg C- ben, nem nulla méréssel , ami gyakran nemkívánatos műtárgy. Matematikailag ez abból adódik, hogy van egy megszámlálható pontkészlet, amelyek mindegyike nulla mértékű halmazot alkot, amelyek tapadása nem nulla mértékű. Például C pontokat vehetünk fel racionális koordinátákkal.

A hangerővel ellentétben a kerületi függvénynek , pontosabban a határ mértékének nincs folytonossága. Két nagyon hasonló ábrát lehet szerkeszteni, Hausdorff értelmében, és olyan kerületekkel, amelyek a kívánt távolságra vannak egymástól. A Koch-görbe segítségével konvergens geometriai ábrák sorozatát lehet felépíteni, amelyek egymást követő kerületei egymástól eltérnek. Ez a megszakítás a mérnök számára azt jelenti, hogy a kizárólag Hausdorff-távolságra épülő algoritmus azt kockáztatja, hogy nem veszi pontosan figyelembe a kontúrokat. Ez a módosított távolságok alkalmazásának egyik oka .

Tüntetések

Itt E egy euklideszi teret jelöl.

• A Minkowski-összeg folyamatos:

Vagy X és Y két elem E H . A cél annak bemutatása, hogy a Minkowski-összeg folytonos ( X , Y ) -ben , vagyis:∀ϵ>0∃η>0∀x1,Y2∈EHd(x,x1)≤ηésd(Y,Y1)≤η⇒d(x+Y,x1+Y1)≤ϵ{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ egzist \ eta> 0 \ quad \ forall X_ {1}, Y_ {2} \ E_ {H} \ quad d (X, X_ {1}) \ leq \ eta \ quad {\ text {et}} \ quad d (Y, Y_ {1}) \ leq \ eta \; \ Rightarrow \; d (X + Y, X_ {1} + Y_ {1}) \ leq \ epsilon} Az η értéket egyenlőnek választjuk ε / 2-vel. Legyen x + y egy X + Y pont . Létezik egy pont x 1 (ill. Y 1 ) Az X 1 (ill. Y 1 ) a parttól kevesebb, mint ε / 2 X (ill. Y). Az X 1 + Y 1 x 1 + y 1 pontja szükségszerűen kisebb távolságra van, mint X + Y ε értéke . Megmutatjuk azt is, hogy X 1 + Y 1 bármely pontja kisebb, mint ε távolság, mint X + Y , ami a javaslatot mutatja.

Mielőtt Lebesgue mérésének folytonosságát tanulmányoznánk, két közbülső javaslat egyszerűsíti a bizonyítást.

• Az E H korlátozott, zárt szekvenciája ( X n ) , amely csökken az inklúzió szempontjából, Hausdorff értelmében konvergens. A határ a szekvencia elemeinek metszéspontja:

Legyen X a szekvencia elemeinek metszéspontja. Az X halmaz korlátos, mert egy korlátozott halmazba tartozik, például X 1 . A halmaz zárt, mert a zárt kereszteződése zárt.Csak továbbra is azt mutatják, hogy ha ε egy szigorúan pozitív valós, létezik egy egész szám N úgy, hogy minden n nagyobb, mint N , egy eleme X n soha nem egy nagyobb távolságra X , mint ε. Összehasonlítással ez azt jelenti, hogy bármely y elem, amely nagyobb távolságra van X-től, mint ε, nincs bármely X n-ben , ha n nagyobb, mint n , vagy egyszerűen csak y nincs Y n-ben . Mivel y nincs X-ben és X a különböző X n metszéspontja , e halmazok közül legalább az egyik nem tartalmazza. Jelölje X N-vel , ezek közül az egyik, ha n nagyobb, mint N , X n benne van az X N-ben, és nem tartalmazhat y-t . Arra következtetünk, hogy X tartalmazza a szekvencia határát ( X n ). Ezzel szemben a határ szükségszerűen X-et tartalmaz , amely minden X n-ben szerepel .

Amint a csökkenő szekvencia viselkedése ismert, be tudjuk mutatni annak mértékének konvergenciáját.

• Legyen egy korlátozott zárt szekvencia ( X n ) az E H mérhető elemeiről , csökken a befogadás szempontjából. Az X határ mérhető, és az X mértéke az X n intézkedéssorozat határértéke  :

X a mérhető halmazok megszámolható metszéspontja, ez egy mérhető halmaz. Tekintsük a szekvenciája funkciók (χ n ) a E , hogy R , ahol χ n jelentése a funkció, amely a X társult 0, ha X jelentése nem eleme X 1 , vagy ha X egy olyan eleme, X n és 1 egyébként. Ez egy pozitív növekvő függvénysorozat, amely egyszerűen konvergál a függvényhez. A monoton konvergencia tétel azt mutatja, hogy:limnem→∞∫Eχnem=∫Eχ{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} \ chi _ {n} = \ int _ {E} \ chi} Ami a halmazmérés szempontjából a következő formát ölti és igazolja az állítást:limnem→∞μ(x1)-μ(xnem)=μ(x1)-μ(x){\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu (X_ {1}) - \ mu (X_ {n}) = \ mu (X_ {1}) - \ mu (X) \;}

A két köztes állítás lehetővé teszi számunkra a következtetést. A mérés félig folytonosságának bemutatásához elegendő megmutatni, hogy ha egy X n mérhető E H szekvencia egy X ábra felé konvergál , akkor az X n mérések felső határa nem haladja meg az X értékét . Ezt a módszert alkalmazzák a bemutatón.

• A Lebesgue-mérték félig folyamatos:

Először egy olyan szekvencia felépítésével kezdjük, amelyre lehetőség van a két lemma alkalmazására. Legyen Y n az X p egyesülésének tapadása , ha p értéke nagyobb, mint n . Az ( Y n ) szekvencia valóban csökkenő zárt szekvencia. Meg kell még mutatni, hogy korlátos, és határa az X ábra . Egy bizonyos rangból az X p szekvencia bármely eleme szerepel az X + B-ben , ahol B az egységgolyót jelöli. X p uniója , ha p meghaladja ezt a rangot, azért határolt, mert X van. Az Y n halmaz a korlátozott halmazok véges egyesítése, az első X p és egy másik korlátozott halmaz, az X p uniója , amikor p meghaladja az előző rangot, Y n jól be van kötve.Igazoljuk, hogy a határ ( Y n ) jelentése X . Legyen x X eleme, és ε szigorúan pozitív valós. Mivel x egy olyan eleme, a beállított X , létezik egy N úgy, hogy minden n nagyobb, mint N a labdát Központ x és sugara ε megfelel X n . Arra a következtetésre jutunk, hogy ez a labda metszi az Y n szekvencia összes elemét . Ez a tulajdonság minden ε-ra igaz, ami azt mutatja, hogy x mindezen uniók tapadásában van, és szükségszerűen minden Y n-ben , ami azt jelenti, hogy a beállított határértékhez tartozik. Tegyük fel, hogy ott nincs X , ez nem a markában, mert X zárva van, van egy igazi ε mint a gömb közepén van és a sugár 2ε nem felel X . Más szavakkal, az y középpontú és az ε sugarú gömb nem találkozik a szekvencia ( X n ) befejező szakaszának egyetlen tagjával sem . Ez azt mutatja, hogy egy bizonyos rangtól kezdve y nincs a végszakasz egyesülésének tapadásában, és nincs semmilyen Y n-ben , ha n kellően magas.Véglegesítsük a demonstrációt. Igyekszünk bizonyítani, hogy ha ε egy szigorúan pozitív valós, létezik egy egész N , hogy ha n egy egész szám nagyobb, mint N , akkor az intézkedés X n nem haladja meg az összeg az intézkedés X és ε. Az Y mértékeinek követése csökkenő szekvencia, amely hajlamos az X mérésére . Egy bizonyos N besorolásból nem haladja meg az X és ε mértékének összegét . Azonban nem intézkedés X n meghaladja Y N amelynek végződése a bizonyíték:∀nem≥NEMμ(xnem)≤μ(YNEM)≤μ(x)+ϵéslim supnem→∞μ(xnem)≤μ(x){\ displaystyle \ forall n \ geq N \ quad \ mu (X_ {n}) \ leq \ mu (Y_ {N}) \ leq \ mu (X) + \ epsilon \ quad {\ text {and}} \ quad \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu (X_ {n}) \ leq \ mu (X)}  

Tulajdonságok

A Hausdorff távolság E meghatároz egy távolságot minden K ( E ) kompakt, nem üres E . A K ( E ) ekkor egy metrikus tér, és topológiája függ E-től .

Ha E jelentése egy teljes térbeli , majd K ( E ) befejeződött. A Banach fixpontos tétel tehát érvényes. A fixpontos tétel K (E) -re való alkalmazása az iterált függvények rendszerének tanulmányozásának alapja . A kötési tételt is levezetjük .

Ha E jelentése egy kompakt térben , majd a K ( E ) egy kompakt.

Következésképpen a K ( E ) halmazok bármely szekvenciája , amely csökken az inklúzióban, engedélyez egy határt Hausdorff távolság szempontjából, nevezetesen(NÁL NÉLnem)nem∈NEM{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}⋂nem∈NEMNÁL NÉLnem.{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} {A_ {n}}.}

Ingatlan

A Hausdorff-távolság D H ( S , T ) akkor és csak akkor nulla, ha S = T, és növekszik az eltérések jelentőségével S és T között .

A Hausdorff távolság számítás segítségével végezhető a távolságot térképet .

Csontváz összehasonlítás

Choi és Seidel  (de) szerint a meghatározott Hausdorff-távolság nem alkalmas a formák súlyozott csontvázuk szerinti összehasonlítására . Valójában a csontvázazás olyan átalakulás, amely nagyon érzékeny a formákban megjelenő zavarokra. Annak ellenére, hogy két alak Hausdorff távolsága nagyon kicsi (az alakok nagyon hasonlóak), csontvázaik nagyon eltérőek lehetnek. Így a csontvázak közötti Hausdorff-távolság nem felel meg eredeti alakjuk hasonlóságának.

E probléma megoldása érdekében Choi és Seidel azt javasolta, hogy a Hausdorff-távolság kiszámításakor az euklideszi távolságot hiperbolikus távolsággal helyettesítsék .

Megjegyzések és hivatkozások

1. Ismert Hausdorff távolság-Pompeiu , például (in) R. Tyrrell Rockafellar és Roger JB Wets, Variational analysis , Springer Verlag 1998 ( ISBN  9783540627722 ) online olvasható .
2. (in) W. Rucklidge, Hatékony vizuális felismerés a Hausdorff-távolság használatával , LNCS 1173, Berlin, Springer, 1996 ( ISBN  978-3-540-61993-2 ) .
3. A tömörség megválasztása nem mindig történik meg, ezután elfogadunk minden zárt korlátot : (en) J. Henrikson, "  A Hausdorff-metrika teljessége és teljes korlátozottsága  " [PDF] , MIT Undergraduate Journal of Mathematics , vol. 1., 1999. o.  69-79 .
4. Például egy normált vektor teret , a beállított X R jelentése a Minkowski összege az X és rB , ahol B jelentése a zárt egységet labdát .
5. Az utolsó két kifejezést használjuk például (en) Andrejs Treibergs: Egyenlőtlenségek, amelyek implikálják az izoperimetrikus egyenlőtlenséget , Utah -i Egyetem , 2002.
6. Ilyen jellegű példa az É. Baudrier és mtsai. , „  A képek összehasonlításának módszere…  ”, GRETSI Symposium, 2007. szeptember 11–14., Troyes , p.  1309-1312 .
7. (in) Sung Woo Choi és Hans-Peter Seidel, "hiperbolikus Hausdorff távolság mediális tengely transzformáció  " grafikus modellek , vol. 63, n o  5, 2001, p.  369-384 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Gromov-Hausdorff konvergencia
• A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint
• Hausdorff dimenzió

Bibliográfia

• (en) Herbert Federer , Geometriai méréselmélet , Springer, nád. 1996 ( ISBN  978-3-540-60656-7 )
• en) James Munkres , topológia; Első tanfolyam , Prentice Hall , 2 e . 1997 ( ISBN  978-9-81307682-2 )

Külső hivatkozás

en) Hausdorff távolság a domború sokszögek között

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">