Hausdorff dimenzió

A matematika , pontosabban a topológia , a Hausdorff dimenziója egy metrikus tér ( X , d ) egy pozitív vagy nulla valós szám, esetleg a végtelenbe. Felix Hausdorff matematikus vezette be 1918- ban, Abram Besicovich fejlesztette ki , ezért néha Hausdorff-Besicovich dimenziónak is nevezik .

A legegyszerűbb példa a euklideszi tér a dimenzió (abban az értelemben, vektor terek) megegyezik a n (vagy általánosabban egy valós vektortér dimenziója n ellátva távolságban társított norma ): annak Hausdorff dimenziója d is egyenlő n , a vektortér dimenziója. Bármely metrikus tér Hausdorff-dimenziója nem biztos, hogy természetes szám .

Informális bevezetés

Egy euklideszi térben dimenzió d , a labda sugarú r térfogata arányos . Intuitív módon tehát arra számítunk, hogy az egység sugarú golyó elfedéséhez szükséges r sugarú golyók N ( r ) száma kb . rd{\ displaystyle r ^ {d}}1/rd{\ displaystyle 1 / r ^ {d}}

Ezt az elképzelést bármely kompakt metrikus X térre az alábbiak szerint általánosítjuk. Legyen N (r) az X betakarásához szükséges minimális nyitott r sugarú gömb . Ha az r 0 közeledésével növekszik , akkor az X térről azt mondjuk, hogy d dimenziós . Pontosabban, d lesz az a szám, amely hajlamos 0-ra, ha s > d , és hajlamos a végtelenre, ha s < d . NEM(r){\ displaystyle N (r)}1rd{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {d}}}}NEM(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}NEM(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}

Definíciók

Sajnos az előző bekezdésben bevezetett N ( r ) r s mennyiségek korlátai nem mindig léteznek. Ezt a nehézséget megkerülhetjük az alábbiak szerint:

• A tér X jelentése borított útján megszámlálható Unió részek jelöljük A i , amelyek mindegyikének átmérője kisebb, mint r . Az a tény, használatának növekedése átmérője lehetővé teszi, hogy tetszőlegesen kis részre, például, ha az a kérdés, amely egy megszámlálható része az X , és így minimalizálni a szerepe, mint egy része a számítás dimenziója X . Bármely pozitív vagy nulla valós s esetén figyelembe vesszük a mennyiséget . Pontosabban, a lehető leggazdaságosabb megtérülés elérése érdekében vezettük be a mennyiséget:∑én=1∞dénnál nélm(NÁL NÉLén)s{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s}}Hrs(x)=infdénnál nélm(NÁL NÉLén)<r{∑én=1∞dénnál nélm(NÁL NÉLén)s|x⊆⋃én=1∞NÁL NÉLén}.{\ displaystyle H_ {r} ^ {s} (X) = \ inf _ {\ mathrm {diam} (A_ {i}) <r} {\ balra \ {\ balra. \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s} \ right | X \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right \}}.}
• A funkció van csökkenő , amely biztosítja, hogy létezik egy határérték (esetleg végtelen), amikor teszünk r hajlamosak felé 0. Ezért a definíció:r↦Hrs{\ displaystyle r \ mapsto H_ {r} ^ {s}}Hs(x)=limr→0Hrs(x).{\ displaystyle H ^ {s} (X) = \ lim _ {r \ rightarrow 0} H_ {r} ^ {s} (X).}A H s -dimenziós Hausdorff - mértéknek nevezzük .
• Ellenőrizzük, hogy ha H s ( X ) véges, akkor minden t > s esetén H t ( X ) = 0, és ha H s ( X )> 0, akkor minden t < s esetén H t ( X ) végtelen. Ezért van egy szám, amely elválasztja azokat az s számokat , amelyeknél H s ( X ) = 0, és azokat, amelyeknél H s ( X ) végtelen. Ez a szám az X Hausdorff dimenziója . Tehát kérdezzük NapH⁡(x)=inf{s∣Hs(x)=0}=sup{s∣Hs(x)=∞}{\ displaystyle \ dim _ {H} (X) = \ inf \ bal \ {s \ közepe H ^ {s} (X) = 0 \ right \} = \ sup \ left \ {s \ mid H ^ {s } (X) = \ infty \ right \}} ;

Ennek a dimenziónak az X Hausdorff-mértékét , amely önmagában valószínűleg sem nulla, sem végtelen, gyakran egyszerűen megemlítjük, és további pontosság nélkül hívjuk X Hausdorff-mértékének ; a "meglehetősen egyszerű" részhalmazok esetében arányos a Lebesgue-mértékkel . HNapH⁡(x)(x){\ displaystyle H ^ {\ dim _ {H} (X)} (X)}H(x){\ displaystyle H (X)}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Tulajdonságok

• Ha X benne van , akkor .(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}NapH⁡x≤NapH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq \ dim _ {H} {Y}}
• A metrikus terek szorzatának Hausdorff-dimenziója nagyobb vagy egyenlő a Hausdorff-dimenziók összegével. Kifejezetten az összes metrikus térre, és :(x,Dx){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,} NapH⁡(x×Y)≥NapH⁡x+NapH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {\ balra (X \ Y Y jobbra)} \ geq \ dim _ {H} {X} + \ dim _ {H} {Y}}.
• Ha X benne van , akkor Hausdorff-dimenziója kisebb vagy egyenlő n .Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
• Ha X részek megszámlálható egyesülése, az összes dimenzió kisebb vagy egyenlő, mint n , akkor . Különösen a megszámlálható metrikus tér Hausdorff-dimenziója nulla.NapH⁡x≤nem{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq n}
• Egy Lipschitz-alkalmazás csökkenti a Hausdorff dimenziót. Általánosabban, ha a metrikus szóközök között van egy - Höldérien- függvény (-vel ), akkor:f:x→Y{\ displaystyle f: X \ jobbra nyíl Y \,}nál nél{\ displaystyle a \,}0<nál nél<1{\ displaystyle 0 <a <1 \,} NapH⁡(f(x))≤1nál nélNapH⁡(x){\ displaystyle \ dim _ {H} \ bal (f (X) \ jobb) \ leq {\ frac {1} {a}} \ dim _ {H} (X) \,}.

Demonstráció

Let s legyen szigorúan pozitív, hogy van egy olyan megszámlálható nyitott burkolás kisebb átmérőjű , mint hogy: nál néls>NapH⁡x{\ displaystyle as> \ dim _ {H} {X} \,} {NÁL NÉLén|∀én,NÁL NÉLén⊂x}{\ displaystyle \ {A_ {i} | \ összes i, A_ {i} \ X részhalmaz \} \,}δ>0{\ displaystyle \ delta> 0 \,}

∑énátmxnál néls(NÁL NÉLén)<ϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ operátornév {diam} _ {X}} ^ {as} (A_ {i})} <\ epsilon}.

Amint az -Hölderian, létezik olyan , hogy elküldi bármely részét a és átmérőjét , hogy egy részét a , és átmérője olyan, hogy . Legyen kellően kicsi nyitott szomszédsága . Feltételezhetjük, hogy az átmérő de-ben kisebb, mint . Az átmérője a részek növeljük . Építéssel . Ebből következik: az . f{\ displaystyle f \,}nál nél{\ displaystyle a \,}VS{\ displaystyle C \,}f{\ displaystyle f \,}NÁL NÉL{\ displaystyle A \,}(x,Dx){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}d=átmx⁡(NÁL NÉL){\ displaystyle d = \ kezelőnév {diam} _ {X} (A) \,}f(NÁL NÉL){\ displaystyle f (A) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}d′=átmY⁡(f(NÁL NÉL)){\ displaystyle d '= \ kezelőnév {diam} _ {Y} (f (A))}d′≤VSdnál nél{\ displaystyle d '\ leq Cd ^ {a} \,}Bén{\ displaystyle B_ {i} \,}f(NÁL NÉLén){\ displaystyle f (A_ {i}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}Bén{\ displaystyle B_ {i} \,}VSátmxnál nél⁡(NÁL NÉLén){\ displaystyle C \ operátornév {diam} _ {X} ^ {a} (A_ {i}) \,}Bén{\ displaystyle B_ {i} \,}δ′=VSδnál nél{\ displaystyle \ delta '= C \ delta ^ {a} \,}∑énátmxs⁡(Bén)≤VSϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {\ kezelőnév {diam} _ {X} ^ {s} \ bal (B_ {i} \ jobb)} \ leq C \ epsilon \,}Hs(f(x))=0{\ displaystyle H ^ {s} \ bal (f (X) \ jobb) = 0 \,}nál néls>NapH⁡(x){\ displaystyle as> \ dim _ {H} (X) \,}

• A Hausdorff-dimenzió nem a homeomorfizmus által konzervált mennyiség . Például meghatározhatjuk egymással homeomorf, de különböző dimenziójú Cantor halmazokat . De ha mind a homeomorfizmus, mind pedig a reciprok mind Lipschitz-ek, akkor a dimenzió konzervált (ez az előző pont nyilvánvaló következménye). Hasonlóképpen, ha két mutató Lipschitz-ekvivalens, akkor ugyanazt a Hausdorff-dimenziót definiálják.

Gyakorlati számítás klasszikus esetben

Legyen egy valós vektortér része, amely kielégíti a következő tulajdonságot: x{\ displaystyle X}

„Vannak hasonlóságok kapcsolatok oly módon, hogy diszjunktak kettesével, és hogy unió izometrikus az . "nem{\ displaystyle n} f1,f2,...,fnem{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n}}r1,r2,...,rnem{\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n}}f1(x),f2(x),...,fnem(x){\ displaystyle f_ {1} (X), f_ {2} (X), \ ldots, f_ {n} (X)}x{\ displaystyle X}

Ezután megvan a kapcsolat:

r1d+r2d+...+rnemd=1{\ displaystyle {r_ {1}} ^ {d} + {r_ {2}} ^ {d} + \ ldots + {r_ {n}} ^ {d} = 1},

hol van a dimenzió . d{\ displaystyle d}x{\ displaystyle X}

Ez a Hausdorff-intézkedések alábbi tulajdonságából következik:

Msgstr "Minden pozitív λ esetén . " Hd(λx)=λdHd(x){\ displaystyle H ^ {d} (\ lambda X) = \ lambda ^ {d} H ^ {d} (X)}

és az invarcia izometriával .

Ez egyszerű módon kiszámítja a klasszikus fraktálok méreteit, például a Koch hópehely , a Sierpinski szőnyeg stb.

Példa

• A Cantor együttes két háromszor kisebb Cantor együttesből áll; a két hasonlóság tehát itt az 1/3 arány homotetikája, fordításokkal összeállítva.
  Tehát , mit ad: .2(13)d=1{\ displaystyle 2 \ bal ({\ frac {1} {3}} \ jobb) ^ {d} = 1}d=ln⁡2ln⁡3=napló3⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln 2} {\ ln 3}} = \ log _ {3} 2}
• Az aszimmetrikus Cantor készlet két Cantor készletből áll, az egyik kétszer kisebb, a másik négyszer kisebb. A két hasonlóság tehát itt a megfelelő 1/2 és 1/4 arány homotetikája, fordításokkal összeállítva.
  Tehát , ami oda vezet, hogy hol van az aranyarány .(12)d+(14)d=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {d} + \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {d} = 1}d=ln⁡(φ)ln⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln (\ varphi)} {\ ln 2}}}φ=1+5.2{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Példák

• A megszámlálható halmaz nulla dimenzióval rendelkezik.
• A kör Hausdorff 1. dimenzióval rendelkezik.
• A nem nulla Lebesgue - mértékhalmaz dimenziója n .Rnem{\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {n}}}
• A Lipschitz-féle valós változó függvényének grafikonja Hausdorff dimenzióval rendelkezik. Ha a függvény a-Hölderi, akkor grafikonjának Hausdorff-dimenziója 1 és 2 - a között van.
• A halmaz a Cantor hármas együttes jelentése .ln⁡2ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {3}}} ~}
• A Sierpiński háromszög Hausdorff dimenziója az .ln⁡3ln⁡2 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {3}} {\ ln {2}}} ~}
• A Sierpiński szőnyeg Hausdorff dimenziója az .ln⁡8.ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {8}} {\ ln {3}}} ~}
• A Brown-mozgás pályája a 2. dimenzióban szinte biztosan a 2. dimenzió.
• A Mandelbrot halmaz határa a 2. dimenzió.

Függelékek

Megjegyzések és hivatkozások

1. (in) Mitsuhiro Shishikura „  A halmaz a határ a Mandelbrot-halmaz és Julia halmazok  ” Ann. of Math. , repülés. 147., 1998, p. 225-267 (eredeti Stony Brook IMS Preprint , 1991-es kiadvány , arXiv : math.DS / 9201282 ).

Bibliográfia

• (de) Felix Hausdorff, „Dimension und äusseres Mass”, Math. Ann. 1919. 79. évf .  157-179 [ online olvasás ]
• (en) Dierk Schleicher, „Hausdorff dimenzió, tulajdonságai és meglepetései”, Amer. Math. Havi , vol. 114., 2007. június-július, p.  509-528 . „  Math / 0505099  ” , szabadon hozzáférhető szöveg, az arXiv oldalon .

Kapcsolódó cikkek

• Minkowski dimenzió
• Fraktál dimenzió
• Topológiai dimenzió
• Fraktál
• Lemma Frostman  (en)
• A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint

Külső linkek

• Bevezetés a Hausdorff-dimenzió fogalmába probléma formájában
• Licenc tézis mindenekelőtt a Hausdorff dimenzióval foglalkozik
• en) IG Koshevnikova , „Hausdorff-dimenzió” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , online olvasás )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">