Labda (topológia)

A topológiában a labda egy adott típusú szomszédság a metrikus térben . A név helyesen idézi a szilárd gömböt a szokásos háromdimenziós térben, de a fogalmat többek között nagyobb (vagy kisebb) dimenziós vagy nem euklideszi normákra terelik . Ebben az esetben a labda nem lehet "kerek" a kifejezés szokásos értelmében.

Általános meghatározás

A szokásos térben, mint bármely metrikus térben : $(E, d)$

a zárt labda, amelynek középpontja egy pontban van és valós sugara , az a pontok halmaza , amelyek távolsága kisebb vagy egyenlő : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ balra \ {M \ E-ben \, \ közepe \, d (M, P) \ leq r \ jobb \}}

;

a megfelelő nyitott labda az a pontkészlet , amelynek távolsága szigorúan kisebb, mint : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ bal \ {M \ E-ben \, \ közep \, d (M, P) <r \ jobb \}}

Egy normalizált vektortér , a nyitott egység labdát a nyitott labdát origó középpontú és sugarú 1 (Hasonlóképpen, a zárt egység labda a zárt labdát ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

Az euklideszi sík golyóit korongoknak is nevezzük .

Megjegyzés: a gömbök meghatározása kiterjedhet olyan álometrikus terekre is, amelyek általánosítják a metrikus tér fogalmát.

Példák kétdimenziós térben

Kétdimenziós térben a következő három szabvány esetében a megfelelő 1 sugarú golyók különböző alakúak. $\ mathbb {R} ^ {2}$

az 1. szabvány : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
az euklideszi norma : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
a "végtelen" szabvány : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ balra (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ jobbra).$

Tulajdonságok

A nyitott labda mindig nyitott egyike annak a metrikus térnek, amelyben meghatározták. Hasonlóképpen, a zárt labda mindig zárt .
A szigorúan pozitív sugárú nyitott labda belső része nem üres (mivel ez a belső tér maga a labda).
A metrikus tér összes golyója korlátos rész .
Normalizált vektortérben minden szigorúan pozitív sugarú nyitott (vagy zárt) gömb transzláció és homotetika szempontjából hasonló, és bármelyik gömb szimmetrikus a közepéhez képest.
Valódi normalizált vektortérben a gömbök domborúak .
Egy valós normált vektor tér, a belső tér egy zárt labda a nyitott labdát az azonos központ és az azonos sugarú, és a tapadást egy nem üres nyitott el van a megfelelő zárt labdát (innen a határ d „egy nem üres gömb a megfelelő gömb ). Bármely metrikus térben csak:

{\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {és}} \ qquad \ operátornév {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operátor neve {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Példák egzotikus labdákra

A végtelen normával ellátott valós háromdimenziós térben a golyók köb alakúak, a tengelyekre merőleges felületekkel.
Egy diszkrét térben (ellátva a diszkrét távolsággal), bármely részét (különösen bármely nyitott labdát, és bármilyen zárt labda) egy nyitott-zárt .
Egy térben látva egy ultrametric távolság (mint például a gyűrű Z p a p -adic egészek vagy a tér N N szekvenciák az egész számok ), a golyók nyitott-zárt, bármely pontján a labda egy központ, és ha két golyó találkozik , az egyik a másikban található.

használat

A metrikus tér egy része csak akkor korlátozott, ha azt egy labda tartalmazza.
A metrikus tér egy része csak akkor nyílik meg, ha csak a benne lévő nyitott golyók találkozása .
Elválasztható metrikus térben (például egy euklideszi térben ) minden nyitott a nyitott gömbök megszámlálható egyesülése .
Az azonos középpontú és szigorúan pozitív sugarú golyók (nyitott vagy zárt) a központ szomszédságainak alapvető rendszerét alkotják . Ha önkényesen kis sugarak sorozatára korlátozódunk, még a szomszédságok megszámlálható alaprendszerét is megszerezzük .
A Riesz tömörség tétel kimondja, hogy egy igazi vektortér normalizálódik véges dimenziós akkor és csak akkor zárt egység labda kompakt .

Kapcsolódó cikk

Gömb