Rieszi lemma

A lemma a Riesz miatt a matematikus Riesz Frigyes , annak az eredménye, funkcionális elemzés a altereinek vektor zárva egy vektor normált tér igazi . A fő következménye az, Riesz-tétel , amely szerint a valós normált vektor tér véges dimenzió akkor és csak akkor, ha a zárt golyók vannak kompakt . Általánosságban elmondható, hogy egy külön valódi topológiai vektortér véges dimenzióval rendelkezik és csak akkor, ha lokálisan kompakt . Ez a tétel tehát ekvivalenciát teremt egy algebrai tulajdonság és egy topológiai tulajdonság között .

A lemma állítása

Legyen $E$ egy valós normált vektortér, $F$ egy zárt vektor altér és $r$ a valós szigorúan kisebb, mint 1.
Ha $F$ nem egyenlő teljesen $E-vel$ , akkor $E-$ ben létezik egy $u$ vektor , amely

{\ displaystyle \ | u \ | = 1 \ qquad {\ text {és}} \ qquad \ mathrm {d} (u, F) \ geq r}

Ebben a nyilatkozatot, $d ( u , F )$ jelöli a távolságot $u$ és $F$ a távolságot társított a norma , azaz

{\ displaystyle \ mathrm {d} (u, F) \ geq r \ Longleftrightarrow \ forall y \ in F, ~ \ | uy \ | \ geq r}

By contraposed ez lemma egyenértékű:

Legyen

E

valóságos normált vektortér,

G

pedig tetszőleges vektortér. Ha van egy igazi

r

szigorúan kisebb, mint 1 úgy, hogy minden egység vektor

u

E

van

d ( u , G ) < r

, akkor

G

jelentése sűrű az

E

. Demonstráció

Az $R \leq 0$ , az eredmény triviális . Tegyük fel, hogy $r > 0$ . Legyen $x$ egy $E$ vektor, amely nincs $F-ben$ .

Mivel

F

zárva van, a távolság

δ

közötti

x

és

F

jelentése szigorúan pozitív, így

δ / r > δ

. Ezért létezik egy olyan vektor,

v

F

olyan, hogy

{\ displaystyle \ | xv \ | \ leq {\ frac {\ delta} {r}}}

. Kérdéssel

{\ displaystyle u = {\ frac {xv} {\ | xv \ |}}}

F

bármelyik

y

vektorára következtetünk :

{\ displaystyle \ | uy \ | = {\ frac {\ | x- (v + \ | xv \ | y) \ |} {\ | xv \ |}} \ geq {\ frac {\ delta} {\ | xv \ |}} \ geq r}

(a δ redukciót levezetjük ). ${\ displaystyle v + \ | xv \ | y \ F-ben}$

Riesz-tétel

Tétel - Legyen $E az$ egy igazi normált tér . A következő négy tétel egyenértékű:

$E$ jelentése a véges dimenzió ;
bármely korlátos része $E$ jelentése viszonylag tömör (azaz a kompakt adhézió );
az $E$ zárt egységgömbje kompakt;
$E$ jelentése lokálisan kompakt .

Ez az állítás a komplex normalizált vektorterekre is vonatkozik , mivel ezek (a struktúrát elfelejtve) valós normalizált vektorterek.

Demonstráció

1 ⇒ 2 a Borel-Lebesgue-tétel következménye : minden ℝ n-be behatárolt zárt tömör. Most , ha $E$ jelentése dimenzió $n$ , akkor azonosul ℝ n .

A 2., 3. és 4. állítás egyértelműen egyenértékű.

Lássuk be 3 ⇒ 1 contraposed , a lemma $R = 1 / 2$ , és az a tény, hogy minden compact megszámlálható kompakt , azaz minden szekvencia legalább egy tapadást értéket . Tegyük fel tehát, hogy $E$ végtelen dimenziójú, és konstruáljunk egységgömbjében egy tapadásérték nélküli szekvenciát. Először egy tetszőleges $u 0$ egységvektort választunk, és a lemmát alkalmazzuk az általa generált $F 0$ egyenesre ( véges dimenziójú és ezért $E-ben$ zárt ): létezik olyan $u 1$ egységvektor , amely $d ( u 1 , F 0 ) \geq 1 / 2$ . Ezután alkalmazzuk a lemmát az $($ $u$ $0$ $,$ $u$ $1$ $)$ által generált $F 1$ síkra : létezik olyan $u$ $2$ egységvektor , amely $d ($ $u$ $2$ $,$ $F$ $1$ $) \geq$ $1$ $⁄$ $2$ stb. Így a zárt $egységgömbben$ $($ $u$ $n$ $)$ $n$ $sequence$ szekvenciát $kapunk,$ amely konstrukcióval igazolja:

{\ displaystyle \ | u_ {n} -u_ {m} \ | \ geq {\ frac {1} {2}} \ quad {\ text {si}} \ quad m \ neq n}

ezért nincs konvergens szekvenciája , ami azt bizonyítja, hogy ez a labda nem tömör.

Ellenpéldák más szervekről

A nem other értékelt mezőn normalizált vektorterekben találunk ellenpéldákat, amikor a mező nem lokálisan kompakt (mint a racionálisok mezője ), vagy amikor diszkrét (mint a véges mezők ):

ℝ egy végtelen dimenziójú ℚ -vektortér, amelyet a szokásos abszolút érték normalizál, de zárt egységgömbje kompakt, bármely bekerített rész viszonylag kompakt és a halmaz lokálisan kompakt;
Ezzel szemben ℚ az 1. dimenzió vektortere, de az origó egyetlen szomszédsága sem kompakt;
Az F 2 mezőben szereplő értékekkel rendelkező szekvenciák tere , a nullszekvencián kívül 1-vel egyenlő állandó normával ellátva, helyileg kompakt (mert diszkrét ), de végtelen méretű, és zárt egységgömbje nem kompakt.

Ha $E$ csak egy különálló valós topológiai vektortér , akkor is megvan:

$E$ helyileg csak akkor kompakt, ha véges méretű.

Az előretekintés igazolása alapvetően a tömörség meghatározásán és azon alapul, hogy $E-ben$ lokálisan kompakt - $e$ a kompakt nulla tapadási vektor nyitott szomszédsága (normalizált vektortér esetén ez a $B$ szomszédság lehet választva egyenlő a nyitott egységgömbbel).

Demonstráció

Ha $E$ véges dimenziójú, akkor topológiája egy normalizált vektortéré , amelyre az előző tétel vonatkozik: $E$ lokálisan kompakt.

Tegyük fel, hogy

E-ben van

egy nyitott

B,

amely 0- at tartalmaz, és amelynek

B

tapadása kompakt. Nekünk van

{\ displaystyle {\ overline {B}} \ subset \ bigcup _ {x \ in {\ overline {B}}} x + B / 2}

ezért a tömörségi a

B

, létezik egy véges halmaz

Egy

olyan, hogy

{\ displaystyle {\ overline {B}} \ A + B / 2 részhalmaz

Most $F$ lesz a vektor alterét $E$ által generált véges halmaz $egy$ . Mutassuk meg, hogy $B$ szerepel $F-ben$ .

Tól

B \subset F + B / 2

vezetjük le (szorozva 1 / 2 ):

B / 2 \subset F + B / 4

, így (kicserélésével ez a kifejezés a

B / 2

az első felvétel)

B \subset F + B / 4

. Indukcióval bizonyítjuk, hogy bármely

n

≥ 1 egész számra

{\ displaystyle B \ F + B / 2 részhalmaz ^ {n}}

Most hagyjuk $x$ egy tetszőleges $B$ elemet . Bármely $n$ ≥ 1 egész szám esetén létezik olyan $x n \in F$ és $y n \in B / 2 n$ , hogy $x = x n + y n$ . Most $B$ kompakt és ezért a topológiai vektorterek értelmében korlátozott (ami ekvivalens a szokásos értelemben, ha $E$ normalizált vektortér), ezért $y n \to 0$ , azaz $x n \to x$ , tehát $x$ az $F$ tapadásához tartozik, vagyis $F-hez,$ mivel ez az altér véges dimenziójú és ezért zárt . Így, $B \subset F$ .

Mivel $B$ jelentése abszorbens , akkor arra következtetünk, hogy $az E \subset F$ , ezért $E$ jelentése a véges dimenzióban.

Megjegyzések és hivatkozások

Walter Hengartner, Marcel Lambert és Corina Reischer, Bevezetés a funkcionális elemzésbe , PUQ , 1981 ( ISBN 978-2-76050293-2 ) , p. 162–163. , Az $r = 1 ⁄ 2$ lemma, valamint a tétel és a bizonyítások állításai .
Claude Wagschal, Topológia és funkcionális elemzése , Hermann , coll. „Methods”, 1995, 3.7.4 . Tétel, p. 268. , nyilatkozat és demonstráció.
Georges Skandaiis , topológia és elemzés 3 rd év , Dunod , coll. „Sciences Sup”, 2001, p. 182 .