Fraktál dimenzió

A fraktálgeometriában a D fraktáldimenzió olyan mennyiség, amelynek célja a fraktálkészlet terének kitöltésének lefordítása minden skálán. A fraktálok esetében nem egész szám és nagyobb, mint a topológiai dimenzió .

Ez a kifejezés egy általános kifejezés, amely több meghatározást is lefed. Mindegyik eltérő eredményt adhat a figyelembe vett halmaztól függően, ezért elengedhetetlen megemlíteni a halmaz fraktáldimenziójának értékelésekor használt definíciót. A legfontosabb meghatározások a Hausdorff dimenzió , a Minkowski-Bouligand dimenzió (vagy " dobozszámlálás ") és a korrelációs dimenzió.

Egyszerű fraktálhalmazok esetén (különösen szigorú én-hasonlóság) feltételezzük, hogy ezek a definíciók azonos eredményeket adnak.

A nyelvvel való visszaélés során néha a "fraktál dimenzió" kifejezést olyan nem geometriai mennyiségekre utaljuk, mint például a statisztikai eloszlás törvényeiben szereplő hatványtörvények kitűzője vagy az idősorok , a méretarány változatlanok, különösen a pénzügyekben.

Didaktikai megközelítés

A szokásos geometriai ábrák teljes dimenzióval rendelkeznek:

A dimenzió D szegmens, egy kör és egy szabályos görbe 1. Hossza szorozni , ha annak mérete megduplázódik. $2 = 2 ^ {1}$
Egy egyszerű és határolt felület D dimenziója 2. Véges területe van, és ezt a területet meg kell szorozni, amikor a mérete megduplázódik. $4 = 2 ^ {2}$
Egy egyszerű és térben kötött térfogat D dimenziója 3. Véges térfogatú, és ezt a térfogatot meg kell szorozni, amikor a mérete megduplázódik. $8 = 2 ^ {3}$

Ha D az objektum dimenziója, akkor az objektum mértékét meg kell szorozni, amikor az objektum méretét megszorozzuk . $n ^ {{\ mathrm {D}}}$ $nem$

Például például a Koch-görbe hosszát megszorozzuk 4-gyel, ha a mérete megháromszorozódik (Valóban, ez a görbe pontosan meghatározható úgy, hogy négy önmagából háromszor kisebb példányból áll). Mivel intuitív módon belegondolhatunk, hogy dimenzióobjektumról van szó (pontosabban ). Ez már nem egyszerű egydimenziós görbe, és nem is felület, hanem „között van”. Ez a "fraktáldimenzió", nem egész szám, a fraktálhalmazokra jellemző. ${\ displaystyle 4 \ kb 3 ^ {1,26}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} \ kb. 1.26}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} = \ log (4) / \ log (3)}$

Egy másik megközelítés

Egyszerűsítve és első közelítésként a fraktálobjektum olyan objektum, amelynek belső homotémiája van, vagyis a tárgy egy része azonos a teljes objektummal. Vegyünk egy egyszerű példát, a Koch hópehelyet : ez a görbe rekurzívan épül fel, egy vonalszakaszból indulunk ki, és minden egyes szegmenst egy szegmensre cserélünk, amelynek közepén egy chevron található.

Ezt a műveletet végtelenül megismételjük. Ez a görbe egy vonal (tehát a közönséges értelemben az 1. dimenzió). Hossza végtelen, mivel minden lépésnél megszorozzuk a hosszát 4/3-mal, és végtelen számú lépés van. A végtelen vonallal ellentétben azonban mindig találhatunk olyan véges hosszúságú görbét, amely közel van a von Koch görbéhez. Ezért tulajdonképpen azt mondhatjuk, hogy ha azt találjuk, hogy a von Koch-görbe hossza végtelen, az azt jelenti, hogy „rossz” dimenzióban értékeljük, és hogy a „jobb” mérésével „hasznos” lenne mér, kész.

Vissza kell térnünk a fizika standard fogalmához:

A hosszúság mércéje egy rögzített hosszúságú vonalzó (1. méret): egy hosszúság méréséhez megnézzük, hogy hány vonalzó illeszkedik a végéhez a görbén;
A felületi szabvány egy rögzített oldalú (négyzet alakú) csempe (2. méret): a felület méréséhez megnézzük, hogy hány csempét helyezhetünk el egymás mellett a felületen;
A hangerő standard a fix él blokkja (kocka) (3. dimenzió): a hangerő méréséhez megnézzük, hogy hány blokkot rakhatunk az objektumba.

Csak egy 1-dimenziós objektum hosszát tudjuk értékelni: egy apró szabály megfogadásával sem tartalmazhat soha egy pont, és fordítva egy felületen végtelen számú szabályt tehetünk egymás mellé. nulla vastagság).

Hasonlóképpen, csak egy kétdimenziós objektum területét tudjuk értékelni: egy pontot vagy egy görbét soha nem lehet négyzetekkel (akár nagyon kicsi) is kikövezni, és egy kötetben végtelen számú csempét rakhatunk egymásra nulla vastagság).

Csak egy háromdimenziós tárgy térfogatát tudjuk értékelni, mivel nem helyezhetünk el térburkolatot egy pontba, egy ívbe vagy egy felületbe.

Tehát, ha d o -nak nevezzük az objektum dimenzióját, és d e-nek a standard méretét , akkor:

ha d e > d o , a mérés 0-t ad: egyetlen standardot sem tehetünk az objektumba; ez a helyzet a von Koch-görbével, amikor egy olyan területet használunk, amely azt jelzi, hogy annak fraktálmérete szigorúan kisebb, mint 2.
ha d e < d o , akkor a mérték ∞-t ad: annyi szabványt adhatunk az objektumba, amennyit csak akarunk; ez a helyzet a von Koch-görbével, ha hosszúságú mértéket használ, ami azt jelzi, hogy a fraktálmérete szigorúan nagyobb, mint 1.
ha d e = d o , akkor a mérés véges számot adhat (ha a mért tárgy nem végtelen), az objektum lefedéséhez szükséges szabványok számát; problémánk tehát a „helyes” dimenzió megtalálása (ha létezik), amely véges mértéket ad nekünk (ha az objektum véges).

Ennek a mérésnek az elvégzéséhez a mén „mérete” nincs hatás nélkül. Ha a szabvány túl nagy, akkor nem fér bele az objektumba (a mérés nulla), de egyre kisebb szabványok (általában) közelebb kerülnek a mérésekhez. Ha egy vonal méréséhez ℓ hosszúságú vonalzót használunk, annál kisebb ℓ, annál több szabványt tudunk felvenni a mérendő tárgyba. A mérés a termék a szám a szabványok által a méret a szabvány : Ha teszünk N ℓ hosszúságú uralkodók ℓ, lesz a mérés

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 1

Side oldalú burkolólap esetén a burkolat területe ℓ² lesz, és ha lefedjük az N ℓ burkolat területét, akkor a mérték

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 2

Edge élblokk esetén a blokk térfogata ℓ 3 lesz , és ha N objektumokkal töltjük fel az objektumot , akkor a mértéke

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 3

Látjuk, hogy a dimenzió az exponens is, amely részt vesz a mérték kiszámításában.

Egy szokásos vonal esetén, ha ℓ hosszúságú szabályt osztunk kettővel (vagy hárommal, négyzel,…, N-vel), akkor a normál körülbelül kétszerese (vagy három, négy,…, N) többszöröse lehet az objektum: a mérés alig változik, és végül, ahogy csökken a méret a szabványos, kapunk egy sorozatot a mérések, hogy konvergálnak: a pontos hossza a görbe az M határértéket (ℓ), mint ℓ közelít 0, akkor valós szám.

Vegyünk egy felület példáját; csempékkel való burkolásakor csak a területének közelítését kapjuk meg (sokszöggel közelítjük meg a felszínt). Ha N ℓ hosszúsági szabályokat ℓ tartunk , akkor a mérték az lesz

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 2

A görbe pontos területe M (ℓ) határértéke, ahogy ℓ megközelíti a 0. A másik oldalon

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 1

+ ∞, és

M (ℓ) = N ℓ × ℓ 3

0. felé hajlik. Számítással megtaláljuk, amit a geometria alapján megállapítottunk.

Abban az esetben, a von Koch-görbe, azt láthatjuk, hogy ha elosztjuk a hossza szabvány szerint 3 , tudjuk be 4 -szer több szabványoknak. Hirtelen a hosszmérések sorozata

M (ℓ / 3) N = ℓ / 3 × (ℓ / 3) 1 = 4N ℓ × ℓ 1 /3 = 4/3 × M (ℓ)> M (ℓ)

nem konvergál és a területmérés sorrendje

M (ℓ / 3) N = ℓ / 3 × (ℓ / 3) 2 = 4N ℓ / 3 × ℓ 2 /9 = 4/9 × M (ℓ) <M (ℓ)

0-ra hajlamos.

De elképzelhető egy frakcionális dimenzió, a „dimenzió” folyamatos változtatása. És valójában a dimenzióért

d o = log 4 / log 3 ≈ 1,2619.

konvergálhatjuk a von Koch-görbe mértékét:

M (ℓ) = N ℓ × ℓ do

A fő meghatározások

A következő, leggyakrabban előforduló meghatározások bővelkednek az irodalomban (lásd a részletes cikkeket vagy a cikk végén idézett hivatkozásokat: Mandelbrot vagy Falconer).

Meghatározás	Alkalmazhatóság	Képlet	Hozzászólások
Hausdorff dimenzió	a legszigorúbb és mindenki számára meghatározható, nem könnyű megvalósítani.	$D_ {H} = \ inf \ bal \ {s, H ^ {s} (X) = 0 \ right \} = \ sup \ left \ {s, H ^ {s} (X) = \ infty \ right \ }$ hol van a halmaz Hausdorff-mértéke $H ^ {s} (X)$	Ez egy intézkedésen, a Hausdorff-intézkedésen alapul . Ez az s kritikus értéke, amelyre a mérés értéke 0-tól a végtelenig terjed. $H ^ {s} (X)$
Homothety dimenzió (1)	A belső homotétikájú készletekre korlátozódik	$D_ {h}$ olyan megoldás, ahol N a homotetika száma és r k a k rang homotetikus aránya . Azonos jelentések esetén elfogad egy egyszerű analitikai megoldást (lásd alább) $\ sum _ {{k = 1}} ^ {N} r_ {k} ^ {{D_ {h}}} = 1$	Ez a Hausdorff-dimenzió legegyszerűbb fordítása, csak a belső homotétiával rendelkező fraktálkészletekre alkalmazható, ahol az őket alkotó homotetika két diszjunkt. Figyelem, ez a képlet nem alkalmazható affin vagy nem lineáris transzformációk esetén.
Homothety dimenzió (2)	Csak azonos arányú belső tágulatokkal rendelkező halmazokra korlátozva	$D_ {h} = {\ frac {\ ln (N)} {\ ln ({\ frac {1} {r}})}}$ ahol N a homotetika száma és r a homotetikai arány	Ez egy speciális eset a fenti általános egyenlet megoldására. A homotetika dimenziója ekkor megegyezik a halmaz belső tágulásainak száma közötti logaritmikus hányadossal , a homotetika arányának inverzén.
Minkowski-Bouligand dimenzió vagy " Dobozszámolás "	Együtt	$D _ {{{\ text {box}}}}} = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log (1 / \ varepsilon)}}$ ahol N (ε) a halmaz lefedéséhez legfeljebb olyan ε átmérőjű részhalmazok szükségesek.	A fraktál dimenziójának numerikus mérésének leggyakoribb és legegyszerűbb módja. Alapul veszi a fraktál lefedettségét a csökkenő méretű halmazok által. A számlálás és nem a mérés koncepcióján alapul, ami kevésbé univerzálissá teszi. Lehet tehát nagyobb, mint a Hausdorff dimenzió, de soha nem kevesebb.

Egyéb meghatározások

Ezek a meghatározások ritkábbak az irodalomban. Meghatározott összefüggésekben használják őket ( például a káoszelmélet ).

Meghatározás	Alkalmazhatóság	Képlet	Hozzászólások
Korrelációs dimenzió	Pontcsoportokra vonatkozik (különösen vonzók)	$D_ {c} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0, M \ rightarrow \ infty}} {\ frac {\ log (g _ {\ varepsilon} / M ^ {2})} {\ log \ varepsilon} }$ ahol M a fraktál előállításához felhasznált pontok száma, és g ε azon pontpárok száma, amelyek kölcsönös távolsága kisebb, mint ε.	A sorrend Rényi dimenziója 2. Főként a káoszelméletben használják az attraktorok fraktáldimenziójának becslésére , amelyet számított pontok halmaza képvisel. Figyelembe veszi azon pontpárok számát, amelyek kölcsönös távolsága kisebb, mint egy adott távolság. Előnye, hogy lehetővé teszi a gyors számításokat és gyakran más számítási módszerekkel egyetértésben.
Információs dimenzió	Pontcsoportokra vonatkozik (különösen vonzók)	$D_ {I} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0}} {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} P_ {i} \ log {P_ {i}}} {\ napló {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}$ ahol N az oldalt hiperkockák száma, amelyek megosztják a teret, és annak valószínűsége, hogy egy pont az i index kockájába esik $\ epsilon$ $P_i$	Rényi dimenziója érdekében 1. Az információs dimenzió tartja az információ bemutatásához szükséges a sejtek által elfoglalt pontok attraktor, mivel a mérete ezeknek a sejteknek csökken.
Rényi dimenziója	Pontcsoportokra vonatkozik (különösen vonzók)	$D _ {\ alpha} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0}} {\ frac {{\ frac {1} {1- \ alpha}} \ log (\ sum _ {{i}} p_ {i } ^ {\ alpha})} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}$ ahol a számláló az α rendű Rényi-entrópia határa	Mérésére alkalmas attraktoroknak . A Minkowski dimenzió, az információ dimenzió és a korrelációs dimenzió az α rend Rényi dimenziójának egyedi eseteinek tekinthető. Az α = 0 Rényi-dimenzió az attraktortámogatás minden részét azonos módon kezeli. Nagyobb α értékek esetén nagyobb súlyt kapnak az attraktor leggyakrabban felkeresett részei. Egy attraktort, amelynek a Rényi-dimenziói nem mind egyenlők, multifraktálisnak tekintik , vagy multifraktális felépítésű.
Csomagolási méret	Együtt	....	A Hausdorff dimenzió kettős. A diszjunkt golyók maximális számát veszi figyelembe, amelyek középpontja a fraktálhalmazhoz tartozik, és nem a fraktált borító golyók minimumát veszi figyelembe.
Osztó dimenzió	Önmetszés nélküli görbékre alkalmazva	$D_ {d} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0}} {\ frac {\ log N _ {\ varepsilon}} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}$ hol van a görbe legnagyobb pontjainak száma, amelyek egymástól egyenlő távolságra vannak egy adott hosszúságtól ( például ) $N _ {\ varepsilon}$ $x_k$ $\| x _ {{k + 1}} - x_ {k} \| = \ varepsilon$	Fontolja meg az egyre kisebb mértékegységek ismételt alkalmazását (lásd a cikk tetején található ábrát). Lewis Fry Richardson használta Nagy-Britannia partjainak méretének mérésére.

A dimenziók közötti kapcsolatok

Általános esetben megmutatjuk, hogy: ahol: $D_ {t} \ leq D_ {c} \ leq D_ {i} \ leq D_ {H} \ leq D _ {{{{{text {box}}}}} \ leq D_ {d}$

D_ {t}

a topológiai dimenzió a készlet

D_ {c}

a halmaz korrelációs dimenziója (Rényi a 2. sorrendben)

D_ {i}

a halmaz információs dimenziója (Rényi 1. rend)

D_ {H}

a Hausdorff dimenziója (vagy a homothety dimenzió)

D _ {{{\ text {box}}}}

a Minkowski-Bouligand dimenziója a készlet

D_ {d}

a halmaz "ossza" dimenziója

Szigorú autosimilaritás esetén sejtjük (Schroeder, 1991), hogy és egyenlőek. $D_ {H}$ $D _ {{{\ text {box}}}}$

Egy attraktor esetében, ha az attraktor minden elemének azonos valószínűsége van a látogatásra, akkor és egyenlőek. $D_ {i}$ $D _ {{{\ text {box}}}}$

Alkalmazások és korlátozások

A fraktál dimenzió mérése számos kutatási területen megtalálható, például fizikában, képelemzésben, a Riemann-függvény nulláinak akusztikai elemzésében vagy elektrokémiai folyamatokban.

A valós objektumok fraktáldimenziójának becslése nagyon érzékeny a zajra és a rendelkezésre álló adatok mennyiségére. Ezért óvatosnak kell lennünk a kapott értékkel kapcsolatban.

Az előző szakaszokban bemutatott fraktáldimenzió-meghatározások a határértéknél kijönnek, amikor az ε megközelíti a nullát. Ezt a határt azonban a fizikai világ soha nem éri el molekuláris vagy kvantumhatárok miatt. Emiatt a szoros értelemben vett fizikai fraktál nem létezik.

A fraktál dimenziót a gyakorlatban csak egy meghatározott időközönként számolják, általában az ε látható értékeire (vagy szignifikánsak azokra a tulajdonságokra nézve, amelyeket tanulmányozni kíván). Így definiálunk egy látszólagos vagy hozzávetőleges fraktál dimenziót .

Egy ilyen látszólagos fraktál dimenzió mérése gyakran Minkowski-Bouligand módszert vagy "dobozszámlálási" módszert használ dobozok számlálásával. Ez áll

mérje meg az ε különböző értékeinek értékeit a kiválasztott intervallumban, $N (\ varepsilon)$
majd ábrázolja ezeket az értékeket egy grafikonon , amelynek függvényében . Ha az ábra önmagához hasonló, akkor ezek a pontok igazodnak, $\ log (N (\ varepsilon))$ $\ log (1 / \ varepsilon)$
végül határozza meg ennek az egyenesnek a meredekségét, amely megadja a kívánt fraktálméret értékét.

Ez a korlátozás vonatkozhat tisztán geometriai konstrukciókra is. Mivel ellen-például, az ábrán hátránya, meghatároztunk egy paradox fraktál ábra, amelynek a megjelenése a Koch-görbe , de a fraktál dimenzióját Cantor set : . Koch módjára épül az első iterációkra, amelyek a látható hosszúságú intervallumokra vonatkoznak, de végtelenül folytatódik a Cantor triádikus együttesének felépítésével. Ha ragaszkodunk a látható aspektushoz, akkor a látható ε intervallumain figyelembe vehetjük annak látszólagos fraktáldimenzióját , amely megegyezik a Koch-görbe méretével:. $\ log (2) / \ log (3)$ $\ log (4) / \ log (3)$

Ez a példa azt is szemlélteti, hogy a fraktál dimenzió és a látszólagos „érdesség”, amelyet Mandelbrot népszerűsített koncepció, nem mindig járnak együtt.

Lásd is

A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint

Megjegyzések

(in) Manferd Robert Schroeder , fraktálok, káosz, Teljesítmény Laws: percekre Végtelen Paradise , New York, WH Freeman and Co (Sd) 1991, 6 th ed. , 429 p. ( ISBN 978-0-7167-2136-9 , LCCN 90036763 )
Tőzsdei index fraktál dimenziója
(in) Kenneth Falconer , Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications , Chichester, John Wiley & Sons, Ltd., 1990 és 2003 2 és szerk. , zseb ( ISBN 978-0-470-84862-3 , LCCN 2004271361 )
korrelációs dimenzió a Mathworld-en
Mathworld információ dimenziója
Renyi dimenziója a Scholarpedián
Rényi dimenziója a Mathworld-en
Minkowski dimenziója a Mathworld-en
(en) B. Dubuc, JF Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot és SW Zucker, " A profilok fraktáldimenziójának értékelése " , Phys. Fordulat. A , vol. 39,1989, P. 1500–12 ( DOI 10.1103 / PhysRevA.39.1500 )
(in) P. Soille és JF Rivest, " A fraktál dimenziómérések érvényességéről a képelemzésben " , Journal of Visual Communication and Image Representation , vol. 7,1996, P. 217–229 ( DOI 10.1006 / jvci.1996.0020 , online olvasás )
(a) Tolle, CR, McJunkin, TR, és Görisch, DJ, " szuboptimális Minimális Cluster Volume Cover-alapú módszer Mérési fraktál dimenzió " , IEEE Trans. Minta Anal. Mach. Intell. , vol. 25, n o 1,2003. január, P. 32–41 ( DOI 10.1109 / TPAMI.2003.1159944 )
(in) P. Maragos és A. Potamianos, " A beszédhangok fraktál dimenziói: Számítás és alkalmazás az automatikus beszédfelismeréshez " , Journal of Acoustical Society of America , vol. 105, n o 3,1999, P. 1925 ( PMID 10089613 , DOI 10.1121 / 1.426738 )
(in) O. Shanker, " Véletlen mátrixok, általánosított zétafunkciók és nulla eloszlás önhasonlósága " , J. Phys. V: Matematika. Tábornok , vol. 39,2006, P. 13983–97 ( DOI 10.1088 / 0305-4470 / 39/45/008 )
(in) Ali Eftekhari, " Az elektrokémiai reakciók fraktál dimenziója " , Journal of the Electrochemical Society , Vol. 151, n o 9,2004, E291–6 ( DOI 10.1149 / 1.1773583 )
fizikai objektum, amely szigorúan kör vagy négyzet alakú. Ez a tartalék nem korlátozódik a fraktálgeometriára

Hivatkozások

Benoît Mandelbrot , Fraktál tárgyak: Alak, Esély és Dimenzió , Flammarion,1973
Benoît Mandelbrot , Les Objets fraktálok, a fraktál nyelv áttekintése , Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995
(en) Benoît Mandelbrot : „ Meddig van Nagy-Britannia partja? Statisztikai én-hasonlóság és törtrész. ” , Science , New Series , vol. 156, n o 37751967, P. 636-638 ( DOI 10.1126 / science.156.3775.636 )
(in) Kenneth Falconer , Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications , Chichester, Wiley , 1990 & 2003 2 és szerk. , zseb ( ISBN 978-0-470-84862-3 , LCCN 2004271361 )

Külső linkek