A fraktálfigura olyan matematikai tárgy , amely minden skálán hasonló szerkezetet mutat .
Ez egy „végtelenül töredezett” geometriai objektum, amelynek részletei tetszőlegesen választott skálán megfigyelhetők. Az ábra egy részének nagyításával meg lehet találni az egész ábrát; akkor azt mondják, hogy "önmagához hasonló".
A fraktálok paradox módon vannak meghatározva, kissé olyanok, mint az orosz babák, amelyek egy figurát tartalmaznak, amely többé-kevésbé megegyezik a legközelebbi skálával: a fraktál tárgyak bármikor beágyazott struktúrának tekinthetők - és nem csak számos pontként. Ez a holografikus (minden ponton beágyazott) fraktálkoncepció magában foglalja ezt a rekurzív definíciót: a fraktálobjektum olyan objektum, amelynek minden eleme egyben (hasonló) fraktálobjektum is.
Számos természeti jelenség - például a partvonal elrendezése vagy a Romanesco káposzta megjelenése - közelítőleges fraktál alakú.
Sok példát fraktálok, mint például a Koch-görbe , vagy szőnyeg Serpinski fedezték fel a késő 19 -én században, de Benoit Mandelbrot , aki 1975-ben felhívta a figyelmet, hogy ezek a tárgyak és jelenvalóság jellegű, ami ebből az alkalomból a jelzőt „fraktál” a Latin gyökér fractus , ami "törött", "szabálytalan" és az "-al" végződés a "haditengerészet" és "banál" (többes szám: haditengerészet, banálok, fraktálok) melléknevekben; Ezután a fraktál főnevet a fraktál geometriai alakjának vagy egyenletének kijelölésére szabta .
A fraktál tárgy a következő jellemzők legalább egyikével rendelkezik:
A fraktálfiguráknak nem kell kielégíteniük a fent említett tulajdonságokat, hogy modellként szolgálhassanak. Elég, ha megfelelő közelítéseket készítenek arról, ami az adott érvényességi területen érdekel (Mandelbrot Fractal Objects alapító könyve sokféle példát hoz fel). Az alveolusok mérete a tüdőben, például az a méret, amelynél abbahagyja a frakcionális felosztást, összefügg az oxigénmolekula testhőmérsékleten mért átlagos szabad útjának méretével.
Az alkalmazott dimenzió Hausdorffé , és megfigyelhetjük, hogy ez megfelel a szabálytalan felületek új tulajdonságának. Ismerjük a Hausdorff-méretek érvényességi tartományait a Földön, hegyek, felhők stb.
A fraktál figurákra példákat adnak Julia, Fatou és Mandelbrot. A Fractal Lyapunov , a Cantor készlet , a Sierpinski szőnyeg , a Sierpinski tömítés , a Peano görbe vagy a Koch hópehely . A fraktálfigurák lehetnek determinisztikus vagy sztochasztikus fraktálok. Gyakran megjelennek a kaotikus rendszerek tanulmányozásában .
A fraktál figurák három nagy kategóriába sorolhatók:
Mindezen fraktálfigurák közül csak az iterált függvények rendszerei által létrehozott ábrák mutatják meg általában az én-hasonlóság tulajdonságát, vagyis komplexitásuk a skálaváltozás következtében invariáns.
A gyakorlatban a véletlenszerű fraktálokat használják a legszélesebb körben, és a való világ számos rendkívül szabálytalan tárgyának leírására használhatók. Ilyenek például a felhők, hegyek, folyékony turbulencia , partvonalak és fák. A fraktál technikákat alkalmazták a képek fraktál tömörítésében , valamint számos tudományos területen.
Az egyenes, a kör és a szabályos görbe dimenziója 1. Amint az origó és az irány rögzül, a görbe minden pontját meghatározhatja egy szám, amely meghatározza az origó és a pont távolságát. Ez a szám negatív, ha a rajtnál választottal ellentétes irányba kell haladni.
Egy egyszerű ábra dimenziója a síkban 2. Miután meghatároztunk egy koordinátarendszert, az ábra minden pontját két szám határozhatja meg. Az egyszerű test dimenziója a térben 3.
Az olyan alak, mint a fraktál, nem egyszerű. Dimenzióját már nem olyan könnyű meghatározni, és már nem feltétlenül teljes. A bonyolultabb fraktál dimenziót Hausdorff dimenzióval fejezzük ki .
Amikor a fraktál kisebb kisebb másolatokból áll, annak fraktálmérete a következőképpen számítható:
ahol a kiindulási fraktál n példányból áll, amelyek méretét h tényezővel csökkentették (a homotetika szempontjából ).
Néhány példa :
Sokkal hosszabb lista található: Fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint .
Geometriai szerkezetekből álló készlet, amely a Koch hópehely felé hajlik .
A Sierpiński háromszög építésének első öt szakasza .
A Sierpiński szőnyeg építésének alakulása .
A durva fraktálalakok könnyen láthatók a természetben . Ezeknek az objektumoknak önmagukhoz hasonló szerkezete van kiterjesztett, de véges skálán: felhők , hópelyhek , hegyek , folyórendszerek , karfiol vagy brokkoli és az erek .
A fák és a páfrányok fraktál jellegűek, és számítógéppel modellezhetők rekurzív algoritmusok, például L-Systems segítségével . A rekurzív természet nyilvánvaló ezekben a példákban; egy fa ága vagy páfránylevele miniatűr mása a halmaznak: nem azonos, de hasonló alakú.
A hegy felszíne fraktál segítségével számítógépen modellezhető : vegyünk egy háromszöget egy háromdimenziós térbe, amelynek középpontjait mindkét oldalon szegmensekkel kötjük össze, ez négy háromszöget eredményez. Ezután a középpontokat véletlenszerűen felfelé vagy lefelé mozgatják, egy meghatározott sugárban. Az eljárást megismételjük, minden egyes iterációval felére csökkentve a sugárt. Az algoritmus rekurzív jellege biztosítja, hogy minden statisztikailag hasonló legyen minden részlethez.
Végül néhány asztrofizikus hasonlóságot észlelt az anyag univerzumában hat különböző skálán. A csillagközi felhők egymást követő összeomlása a gravitáció következtében ennek a (részben) fraktálszerkezetnek az eredete lenne. Ez a nézet hozta létre a fraktál univerzum modellt , amely fraktálokon alapuló univerzumot ír le.
A fraktálok alkalmazási területe nagyon sok, idézhetünk különösen:
Mindezek a területek - és még sokan mások - profitálhatnak a kapcsolódó jelenségek fraktál jellegű leírásából és modellezéséből.
A modell kezdete Különösen a pénzügy terén fejlõdik ki, ahol a Mandelbrot-féle fraktál-megközelítés ingatag piacok felé hajlik. Egyes vállalatok matematikai ismétléseket azonosító modellt használnak bizonyos rövid távú ármozgások előrejelzésére. Ez a szisztematikus megközelítés az értékpapír-kereskedelem ingadozásán és gyorsulásán alapul a trendek érvényesítése érdekében. A változások előrejelzését tehát azonnal regisztrálják a modellen: ha a variáció kellő nagyságrendű, akkor lehetővé teszi például egy rövid pozíció („rövid” pozíció, azaz rövid eladás , spekuláció a hátrányra. piac.
Blaine fajlagos felülete : a az őrlési finomság egy cementet van kifejezve fajlagos felülete (cm² / g), és mérjük a Blaine módszerrel , ismert, mint a levegő permeabilitás , segítségével Darcy-törvény , és a törvény által KOZENY-Carman ki állapítja hogy a szemcsék ágyának folyadék általi áthaladását befolyásolja a szemcsék sajátos felülete.
Így annak az időnek a kiszámításával, amely alatt egy nyomás alatt lévő gáz átjut egy adott térfogatú granulátumon, abból következtethetünk a szemcsék felületére. Minél finomabb az őrlés, annál nagyobb a kiszámított felület.
Mivel ez a tapasztalat meghatározott térfogatban fordul elő, elképzelhető, hogy a cement egyre finomabb őrlésével végtelen fejlett felületet lehet elérni. Ez egy fraktál matematikával magyarázható modell ipari felhasználása ( véges mértékű dimenzió objektuma, dimenzióhatárral határolt, a végtelenbe hajló mérték).
Folyamatos animáció a Julia halmazok a másodfokú függvény .
Fraktál illusztráció a Sterling2 generátorral készült.
Julia Quaternion, ahol x = -0,75 és y = -0,14.
Fraktál minta.
Kör alakú fraktál alak.
A Menger szivacs .
Körkörös fraktál kép, amelyet JavaScript kód generál .
Fraktálfát egy Sierpiński-háromszög generálhat .
Fraktál által generált véges felosztást szabály (en) egy alternatív csomópontra (en) .
Nagyítsa a Mandelbrot készletet.
„Igaz, hogy [a 77. és a 82. szövegem] nem volt hajlandó javaslatot tenni a fraktál fogalmára„ látni való definícióra ”vagy„ taktikai meghatározásra ”. A legfőbb hibái, amelyek gyorsan megjelentek, arra késztetett, hogy vonjam vissza a [82-es szöveg] második kiadásából. De kitart amellett, hogy idézik és aggódnak. Tehát azt mondtam, hogy az E halmaz fraktál, ha […] . "