Mandelbrot készlet

A matematika , a Mandelbrot-halmaz egy fraktál definiáljuk beállított pontok c a komplex síkban , amelyre a szekvencia a komplex számok által meghatározott indukció szerint:

{z0=0znem+1=znem2+vs.{\ displaystyle {\ begin {eset} z_ {0} = 0 \ z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c \ end {esetek}}}

van kötve .

A Mandelbrot készletet Gaston Julia és Pierre Fatou fedezte fel az első világháború előtt . Meghatározása és jelenlegi neve Adrien Douadynak köszönhető, tiszteletben tartva Benoît Mandelbrot által az 1980-as években tett reprezentációkat . Ez a halmaz lehetővé teszi a Julia halmazok megjelölését  : a komplex sík minden pontján egy másik Julia halmaz felel meg. A Mandelbrot halmaz pontjai pontosan megfelelnek az összekapcsolt Julia halmazoknak , a kívüliek pedig a nem kapcsolódó Julia halmazoknak. Ez a készlet tehát szorosan kapcsolódik Julia készleteihez, ők is hasonlóan összetett formákat hoznak létre.

A Mandelbrot halmaz képeit úgy állítják elő, hogy bejárják a komplex számokat a komplex sík négyzet alakú tartományában, és mindegyiküknél meghatározzák, hogy az eredmény végtelenbe hajlik-e vagy sem, amikor azt matematikai művelettel iterálják . Minden komplex szám valós és képzeletbeli részét koordinátának tekintjük, és minden pixel a divergencia sebességének megfelelően , vagy ha nem tér el egymástól, színes .

A Mandelbrot-készlet képei bonyolult határt mutatnak, amely fokozatosan egyre finomabb rekurzív részleteket tár fel növekvő nagyítással. A határ a készlet alkotja kisebb változatai a fő formája, így a fraktál tulajdonság a önhasonlósággal vonatkozik a teljes készletet (nem csak egyes részei).

A Mandelbrot-készlet népszerűvé vált a matematikán kívül, művészi inspirációként és az egyszerű szabályok alkalmazásából származó összetett szerkezet példaként. A matematikai vizualizáció egyik legismertebb példája.

Történelmi

A Mandelbrot-halmaz eredete a komplex dinamika , a megtisztított terület a francia matematikus Pierre Fatou és Gaston Julia a korai XX th  században.

Ennek a készletnek az első ábrázolása 1978-ban jelenik meg Robert W. Brooks és Peter Matelski cikkében .

Az 1 -jén március 1980 a központtól Thomas J. Watson az IBM Research (a New York-i Állami ), Benoit Mandelbrot kapott először, egy számítógépes látványtervezés az egész. Mandelbrot egy komplex kvadratikus polinomok paraméterterét tanulmányozza egy 1980-ban megjelent tanulmányban.

1984-ben a Mandelbrot-készlet tanulmányozása Adrien Douady és John H. Hubbard munkájával kezdődött , akik megalapozták alapvető tulajdonságait és a díszletet Mandelbrot tiszteletére nevezték el.

1985-ben Heinz-Otto Peitgen  (en) és Peter Richter matematikusok minőségi képekkel népszerűsítik a Mandelbrot készletet, amelyek megdöbbentik az elméjüket.

A Scientific American magazin 1985 augusztusi számában a Mandelbrot-készletet "a valaha felfedezett legösszetettebb matematikai tárgyként" mutatják be a nagyközönségnek, és bemutatja azt az algoritmust, amely lehetővé teszi annak nyomon követését. A kiadvány borítója a Peitgen által készített képet használja.

Douady és Hubbard munkája egybeesett a komplex dinamika iránti jelentős érdeklődéssel, és a Mandelbrot együttes tanulmányozása azóta is ezen a területen van a figyelem középpontjában. A matematikusok közül, akik jelentős mértékben hozzájárultak ennek az együttesnek a tanulmányozásához, meg kell említenünk Tan Leit , Mikhail Lyubichot  (de) , Curtis T. McMullent , John Milnort  , Mitsuhiro Shishikura (en) és Jean-Christophe Yoccoz .

Tulajdonságok

Meghatározás

Az általános elmélet által kidolgozott Pierre Fatou és Gaston Julia a korai XX th  században, társított bármely funkciót (kielégítően szabályos ) f ( Z , c ) (érveket és értékek komplex ) a Julia halmazok J c , definiált (a c fix ) a komplexek halmazának határaként úgy, hogy a z 0 = a és z n +1 = f ( z n , c ) által meghatározott szekvencia korlátozott marad ( modulusban ); az adott függvény F ( z , c ) = Z 2 + c , definiáljuk a Mandelbrot halmaz M , mint a beállított C amelyre J c van csatlakoztatva . Fatou és Julia bebizonyította, hogy ez a meghatározás egyenértékű a bevezetőben megadottal, vagyis hogy c csak akkor tartozik M-hez, ha a z 0 = 0 és z n + 1 = z n 2 + által meghatározott szekvencia ( z n ) c korlátos marad (modulusban); a valós számokban maradva, ezért az ( a , b ) koordináták pontjai olyanok, hogy az ismétlődés által definiált két szekvencia ( x n ) és ( y n ) x 0 = y 0 = 0 és x n +1 = x N 2 - y n 2 + egy  ; y n +1 = 2 x n y n + b korlátozott marad.

Modulus gátja egyenlő 2-vel

Ha a szekvenciája modulusok a Z n szigorúan nagyobb, mint 2 egy bizonyos index, akkor ez a szekvencia növekszik a ez az index, és ez hajlamos a végtelen felé .

Legyen α az α 2 = α + | egyenlet pozitív gyöke c | (ezért α ≥ 1). Az x n = | beállításával z n | - α, megvan:

α + x n +1 ≥ (α + x n ) 2 - | c |,

ezért x n +1 ≥ 2α x n .

Következésképpen, ha egy bizonyos k index esetén | z k | > α, akkor ebből az indexből az ( x n ) szekvencia geometrikusan növekszik .

Ez különösen a | c | > 2, amint k = 1, de | c | ≤ 2, amint egy bizonyos k esetén | z k | > 2.

A ( z n ) szekvencia korlátozásához ezért elegendő , ha nem hajlik a végtelenbe, és 2-vel kell korlátoznia (modulusban). Ez két meghatározást nyújt a Mandelbrot halmazról, amely egyenértékű a bevezetőben megadottal, és azt is bizonyítja, hogy ez a készlet a zárt lemezen található, amelynek középpontja 0 és sugara 2.

Elemi geometria

A Mandelbrot M készlet kompakt , szimmetrikus a valós tengellyel szemben, és tartalmaz egy zárt lemezt, amelynek középpontja 0 és sugara 1/4.

A valós tengellyel való metszéspontja a [–2, 1/4] szakasz .

Jelöljük ( z n ( c )) a c komplexhez társított szekvenciát, és bármely n > 0 egész számra M n a c pontok halmazát, amelyre | z n ( c ) | ≤ 2. A fenti bekezdésből M az M n szekvenciájának metszéspontja (arra is következtethetünk, hogy ez a szekvencia csökken). Most M 1 jelentése egy zárt lemez tehát egy kompakt a sík, és mindegyik M n van zárva , például egy kölcsönös kép a M 1 a polinom függvény C ↦ Z n ( c ). Ebből következik, hogy M kompakt.

A c ↦ z n ( c ) függvények valódi együtthatójú polinomok, és mind az M n, mind az M komplex konjugációval stabilak , ami geometriai értelemben az M n és az M valós tengelyhez viszonyított szimmetriája.

Ha | c | ≤ 1/4, akkor indukcióval | z n ( c ) | ≤ 1/2 minden n-re, így c M-hez tartozik .

Marad a helyzet tisztázása, ha c olyan valós szám, hogy 1/4 <| c | ≤ 2.

• ha -2 ≤ c ≤ 0 (azaz ha c 2 + c ≤ - c ), akkor indukcióval c ≤ z n ( c ) ≤ - c minden n-re , ezért c M-hez tartozik .
• bármely valós c esetén z n +1 ( c ) - z n ( c ) ≥ c - 1/4, tehát ha c > 1/4, akkor c nem tartozik M-hez .

Jegyzet. A c ↦ z n ( c ) polinomok összes gyöke M-ben található . Valójában, ha z r ( c ) = 0, akkor z n ( c ) szekvenciájának r periódusa korlátozott.

A terület a becslések körülbelül 1,506 591 77 ± 0,000 000 08 .

A súlypont becsült valós helyzet -0,286 768 3 ± 0,000 000 1.

A fő figyelemre méltó szerkezet a központi kardioid , a centrum és a poláris egyenlet . Idézhetjük a kört középponttal és sugárral is . NÁL NÉL(14,0){\ displaystyle A \ bal ({\ frac {1} {4}}, 0 \ jobb)}ρ(θ)=12(1-kötözősaláta⁡θ){\ displaystyle \ rho (\ theta) = {\ frac {1} {2}} \ bal (1- \ cos \ theta \ jobb)}B(-1,0){\ displaystyle B (-1,0)}1/4{\ displaystyle 1/4}

Kapcsolódás

Douady és Hubbard 1985-ben megmutatták, hogy az egész összefügg. Ez az eredmény nem derült ki az első Mandelbrot-parcellák megfigyeléséből, amely feltárta a többitől látszólag elszakadt "szigeteket". Ehhez azt bizonyítják, hogy a komplement a Mandelbrot halmaz konformszimmetrikus izomorf a komplement ℂ az egység lemez .

Azt feltételezzük, hogy a Mandelbrot halmaz helyileg kapcsolódik .

Autosimilarity

A Mandelbrot halmaz önhasonló a környezetében a pontok Misiurewicz  (a) . Ezek a pontok az együttes teljes határán sűrűek . Feltételezzük, hogy a határértéknél a Feigenbaum-pontok körül is automatikusan hasonlít (pl .: −1,401 155 vagy −0,152 8 + 1,039 7 i).

A Mandelbrot-készlet kisebb változatai a teljes határ mentén, végtelen nagyításokig, kis különbségekkel jelennek meg.

A Mandelbrot-készlet általában nem szigorúan hasonló.

Egyetemesség

A Mandelbrot M készlet univerzális karakterrel rendelkezik sok holomorf funkcióhoz . Másolatai M láthatók a határait a medencék a vonzás , azaz meghatározza a C , amelyre a iterálja f ( f (... f ( Z )))) felé összetartanak egy bizonyos összetett. Íme néhány példa transzcendens függvényekkel  :

• z↦kötözősaláta⁡(z)+vs.{\ displaystyle z \ mapsto \ cos (z) + c} (koszinusz-függvény)
• z↦e-z2+vs.{\ displaystyle z \ mapsto {\ rm {e}} ^ {- z ^ {2}} + c} (Gauss-függvény)

Azt is láthatjuk, M során az iteráció egy család harmadfokú egyenlet, mint , a Newton-módszer . A pontok halmaza, amely nem konvergál ennek a polinomnak a gyöke felé, M formát ölt . z↦z3+(λ-1)z-λ{\ displaystyle z \ mapsto z ^ {3} + (\ lambda -1) z- \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}

Itt is az ön-hasonlóság nem szigorú.

• A köbfüggvény szempontjából nem konvergáló pontok halmaza Newton módszerével.

• Nem konvergencia pontok az f (z, c) = cos (z) + 1 / c iterátumok esetén [-0,09: -0,07] x [0,345: 0,36] régió.

Hausdorff dimenzió

A Mandelbrot-készlet határának Hausdorff-dimenziója 2. Ezt az eredményt 1990-ben Mitsuhiro Shishikura bizonyította. Nem tudjuk, hogy ennek a határnak van-e pozitív Lebesgue-mértéke (felülete).

Kapcsolat a logisztikai egyenlettel

Az M paraméterei a valós intervallumban [–2, 1/4] egy az egyben megfeleltethetők a logisztikai egyenlet paramétereinek  : a megfelelőséget a következő adja:z↦λz(1-z),λ∈[1,4],{\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z), \ quad \ lambda \ in [1,4],}vs.=λ2(1-λ2).{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {2}} \ bal (1 - {\ frac {\ lambda} {2}} \ jobb).}

Kapcsolat Julia készleteivel

Az Mandelbrot M halmaz definiálható a c komplexek halmazaként, amelyekhez a megfelelő Julia halmaz , J c kapcsolódik. De konkrétan, mi (a határ) közötti azonosság J c és M a közelben c , ahol c tartozik a határon M . Így szoros összefüggés van egy adott ponton a Mandelbrot-halmaz geometriája és az ennek megfelelő Júlia-halmaz szerkezete között. Például egy pont a Mandelbrot halmazban pontosan ott van, ahol a megfelelő Julia halmaz csatlakozik .

Ezt az elvet számos bizonyíték és mély felfedezés kiaknázza a Mandelbrot-halmazon. Például Mitsuhiro Shishikura bebizonyította, hogy a Mandelbrot-halmaz határának Hausdorff-dimenziója 2, és hogy a Julia halmaznak, amely megfelel ennek a határnak a pontjának, 2-es dimenziója is van.

Jean-Christophe Yoccoz bebizonyította, hogy a Julia halmaz egy lokálisan összekapcsolt tér bizonyos paraméterek számára, mielőtt ezt a paramétereknek megfelelő pontokon a Mandelbrot halmaz számára is létrehozta.

Rügyek, antennák és periodikumok

A Mandelbrot-készlet számos rügy alakú szerkezetet mutat be, amely körülveszi a fő kardioid alakú szerkezetet .

• A kardioid a c pontok halmaza, amely egy fix pont felé konvergál (1. periódus). Ezek a formanyomtatványok az egységlemezhez tartozó mindenhez .vs.=μ2(1-μ2){\ displaystyle c = {\ frac {\ mu} {2}} \ bal (1 - {\ frac {\ mu} {2}} \ jobb)}μ{\ displaystyle \ mu}
• A kardioidtól balra levő fő rügy a c = –3/4 pontban kapcsolódik hozzá . Olyan korongról van szó, amelynek középpontja c = –1 és 1/4 sugarú. Arról a pontparaméterekről van szó, amelyek a határértéknél a 2. periódus ciklusa felé konvergálnak.
• A kardioidot érintő többi rügy azok a pontok, amelyek más periodicitásokat ismernek el. Bármely racionális p / q szám esetén, ahol p és q prím között van, a körben szinte kör alakú rügy van, amely a kardioidot érinti . Ezeket a rügyeket „ p / q rügyeknek  ” nevezzük . Ez a paraméterpontok halmaza, amely a q periódus ciklusához konvergál .vs.o/q=e2πéno/q2(1-e2πéno/q2){\ displaystyle c_ {p / q} = {\ frac {e ^ {2 \ pi ip / q}} {2}} \ balra (1 - {\ frac {e ^ {2 \ pi ip / q}} { 2}} \ jobbra)}
• Végül mindegyik rügy magában hordozza a különböző periodicitást képviselő rügyeket, ugyanazon séma szerint. Például a 2. periódus nagy rügyétől balra levő rügy periodicitása a 4. periódus. A közvetlenül balra levő rügy a 8., majd a 16. stb. Periódusú, így követve a bifurkációs diagram periódus megkettőződését a logisztikai egyenlet.

A rügyek tetejét antenna alakú szálak is díszítik. Az antennák száma közvetlenül összefügg a rügy periodicitásával. Így az antennák számának megszámlálása lehetővé teszi a rügy periodicitásának meghatározását.

Rajzold meg a halmazt

Láttuk fent, hogy amint a z n modulusa szigorúan nagyobb, mint 2, a szekvencia a végtelenségig tér el, és ezért c kívül esik a Mandelbrot halmazon. Ez lehetővé teszi számunkra a szigorúan 2-nél nagyobb modulusú pontok kiszámításának leállítását, amelyek ezért kívül esnek a Mandelbrot halmazon. A Mandelbrot halmaz pontjai esetében a számítás soha nem ér véget, ezért azt a program által meghatározott bizonyos számú ismétlés után le kell állítani. Ennek eredményeként a megjelenített kép csak a valós kép közelítése.

Bár matematikailag nem releváns, a legtöbb fraktálokat előállító program különböző színekben jeleníti meg a Mandelbrot halmazon kívüli pontokat . A halmazhoz nem tartozó ponthoz rendelt szín attól az iterációk számától függ, amelyek végén a megfelelő szekvenciát a végtelenség felé divergensnek nyilvánítják (például amikor a modulus szigorúan nagyobb, mint 2). Ez több koncentrikus zónát eredményez, amelyek körülveszik a Mandelbrot halmazt. A legtávolabbi azok a c pontok alkotják, amelyeknél a ( z n ) szekvencia „gyorsabban” hajlik a végtelen felé. Ezek a különböző zónák többé-kevésbé pontosan körülhatárolják a Mandelbrot-készletet.

Az iterációk maximális száma ezért erősen befolyásolja a Mandelbrot-készlet reprezentációját. Valójában, ha a halmaz alap alakja nem változik túlzottan 100 ismétlésnél, akkor ez nem azonos a halmaz összes középpontjával és nagyításával.

Optimalizálás

Kardioid / fő rügy

A számítások korlátozásának egyik módja az, ha előzetesen megkeresjük a kardioidhoz és a fő rügyhez tartozó pontokat, vagyis a középső tárcsát (–1, 0) és az 1/4 sugarat. Ezek a pontok különösen drágák a számításoknál, mivel a Mandelbrot halmazhoz tartoznak, és ezért a maximális ismétlésekre van szükség. Mielőtt az iteratív algoritmusban áthaladna egy koordináta-ponton , ellenőrizni kell: x+ény{\ displaystyle x + iy}

• ha ezzel a pont a kardioidé, tehát a Mandelbrot halmazé;x<o-2o2+14{\ displaystyle x <p-2p ^ {2} + {\ frac {1} {4}}}o=(x-14)2+y2{\ displaystyle p = {\ sqrt {\ balra (x - {\ frac {1} {4}} \ jobbra) ^ {2} + y ^ {2}}}}
• ha a pont a középpontú (–1, 0) és 1/4 sugarú lemezhez tartozik, vagyis a fő rügyhez, tehát a Mandelbrot halmazhoz.(x+1)2+y2<116.{\ displaystyle (x + 1) ^ {2} + y ^ {2} <{\ frac {1} {16}}}

A többi rügynek nincs egyenértékű vizsgálata, mivel nem tökéletesen körkörösek. Ennek ellenére ellenőrizhető, hogy egy pont tartozik-e egy körhöz, amelyről tudjuk, hogy e rügyek egyikébe van beírva, lehetővé téve ez utóbbi pontok többségének az iteratív algoritmus elindítását.

Perturbation algoritmus

Újrafogalmazható a fő egyenlet, hogy a szomszédos ponthoz képest az evolúció különbségét megalapozzuk. Ez a módszer lehetővé teszi ezen különbségek alacsony pontosságra (körülbelül húsz szignifikáns számjegyre) történő csökkentését a számítógép hardveres lebegőpontos számítási egységeinek területén , amelyek sokkal gyorsabbak, mint a többprecíziós aritmetikai könyvtárak, amelyek nem gyorsulnak lényegesen. . Az egészet tehát egy (vagy több) abszolút módon számított referenciapont alapján számítják ki. Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}}

Ha abszolút értelemben gondolkodunk, akkor a készlet kiszámításához felhasznált számok nagy nagyítás esetén elérhetik a több ezer jelentős számot, és a nagyítással többet nőhetnek. Ezzel az algoritmussal a számítási sebesség a nagyítási szinttől függően viszonylag állandó, a számítási sebesség inkább a jelenet összetettségétől függ.

Ez az algoritmus az egyik leggyorsabb számítási program a Mandelbrot-készlet 2017-ben  : Kalles Fraktaler .

Elv:

xnem+1=xnem2+x0{\ displaystyle X_ {n + 1} = X_ {n} ^ {2} + X_ {0}}

Ynem+1=Ynem2+Y0{\ displaystyle Y_ {n + 1} = Y_ {n} ^ {2} + Y_ {0}}

Δnem=Ynem-xnem{\ displaystyle \ Delta _ {n} = Y_ {n} -X_ {n}}

Δnem+1=Ynem+1-xnem+1=(Ynem2+Y0)-(xnem2+x0)=((xnem+Δnem)2+x0+Δ0)-(xnem2+x0)=(xnem2+2xnemΔnem+Δnem2+x0+Δ0)-(xnem2+x0)=2xnemΔnem+Δnem2+Δ0{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta _ {n + 1} = Y_ {n + 1} -X_ {n + 1} & = (Y_ {n} ^ {2} + Y_ {0}) - ( X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = ((X_ {n} + \ Delta _ {n}) ^ {2} + X_ {0} + \ Delta _ {0}) - (X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = (X_ {n} ^ {2} + 2X_ {n} \ Delta _ {n} + \ Delta _ {n} ^ {2} + X_ {0} + \ Delta _ {0}) - (X_ {n} ^ {2} + X_ {0}) \\ & = 2X_ {n} \ Delta _ {n} + \ Delta _ {n} ^ {2} + \ Delta _ {0} \ end {igazítva}}}

Mindegyikük a tárolt referenciák alapján kiszámítva alacsony pontosságú, így a számítógép hardveres lebegőpontos számítási egységei használhatók a legszámosabb és legdrágább műveletekhez. Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}}xnem{\ displaystyle X_ {n}}

A számítás tovább optimalizálható a közelítés használatával történő kifejezéssel : Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}}

Δnem=NÁL NÉLnemΔ0+BnemΔ02+VSnemΔ03+o(Δ04){\ displaystyle \ Delta _ {n} = A_ {n} \ Delta _ {0} + B_ {n} \ Delta _ {0} ^ {2} + C_ {n} \ Delta _ {0} ^ {3} + o (\ Delta _ {0} ^ {4})}

a nem attól függően , de csak a (sorozat a referencia pont, ahonnan a zavarok számítjuk). NÁL NÉLnem,Bnem,VSnem{\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}}xnem{\ displaystyle X_ {n}}

Tehát, ha kiszámítani és megjegyzett minden a referenciapont ( ), akkor közvetlenül is kereshet bármely szomszédos pont (változtatásával ), a dichotóm keresés , az ami a divergencia a sorozat (mivel nincs nincs szükség kiszámításához ), valamint az adott pont kiszámítása történik egy komplexitás időben helyett , hogy a maximális számú ismétléseket. NÁL NÉLnem,Bnem,VSnem{\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}Δ0=0{\ displaystyle \ Delta _ {0} = 0}Δ0{\ displaystyle \ Delta _ {0}}Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}}Δnem-1{\ displaystyle \ Delta _ {n-1}}Δnem{\ displaystyle \ Delta _ {n}} O(napló⁡NEM){\ displaystyle O (\ log {N})}O(NEM){\ displaystyle O (N)}NEM{\ displaystyle N}

Megjegyzett nagyítás

A Mandelbrot készlet népszerűségét nagyrészt annak köszönheti, hogy sokrétűségét és szépségét, valamint részleteinek végtelen mélységét köszönheti, de annak a lehetőségnek is, hogy saját maga fedezze fel a ma elérhető számos szoftver használatával.

Az alábbiakban ismertetett feltárási sorrend mélységes nagyítást mutat a c = –0,743643887037151 + 0,13182590420533i értéke felé, számos jellegzetes mintán keresztül. Az utolsó és az első kép nagyítási aránya körülbelül 60 milliárd (ha az utolsó kép teljes méretű lenne, akkor az első a Föld-Hold távolság tízszeresét jelentené). A teljes sorozat (és annak folytatása kb. 10 30-as nagyításig ) megtekinthető a szemben lévő animáción.

Lépés	Leírás
	A kezdeti Mandelbrot-készlet. Nagyítani fogjuk a kardioid és a fő rügy közötti völgyet.
	Ezt a völgyet "a tengeri lovak völgyének" keresztelték meg.
	Bal oldalon kettős spirálok, jobb oldalon a „tengeri lovak”. Közelítjük az egyiket.
	"Csikóhal", fejjel lefelé. Ez a hippokampusz 25 „antennából” áll, amelyek 2 12 csoportból és a kardioidhoz kapcsolt szálból állnak. Arra a következtetésre jutunk, hogy az a rügy, hogy az ajtó periodicitása 25, ezen antennák találkozási pontja "  Misiurewicz  (in) pontja  ". A hosszabb antennán, amely a hippokampusz „farkához” vezet, felismerjük a Mandelbrot készlet kicsinyített másolatát, más néven „műholdat”. Nagyítunk most a csikóhal farka felé.
	A farok spirálba tekercselt vége szintén Misiurewicz öltés. Nagyítunk a kép tetején.
	A farok egy része. Ez az összetett szerkezet egyetlen útból áll, amely a farok végéig vezet. A Mandelbrot halmaz egyszerűen összekapcsolt halmaz , ami azt jelenti, hogy nincsenek hurkok vagy szigetek. Nagyítsunk a kép közepére.
	A kereszteződés középpontjában egy második „műhold” (vagy „minibrot”) jelenik meg. Példa az ön-hasonlóságra: A Mandelbrot-készlet határa végtelen sok másolatát tartalmazza. Bármelyik helyre is nagyítunk, mindig találunk legalább egyet. A két spirál a koncentrikus gyűrűk sorozatának kezdete, középpontjában a műhold áll. Nagyítunk erre a műholdra.
	E koronák mindegyike hasonló spirálokból áll. Számuk a 2-es hatványokkal növekszik, ami a műholdas környezetre jellemző jelenség. A farok végéig vezető út a kardioid inflexiós pontján keresztül jut be a műholdba, és kilép az antennájának végén.
	A műholdas antenna. Több másodrendű műholdat különböztethetünk meg. Nagyítsunk a kép jobb felső sarkában.
	A műhold „csikóhal-völgye”. Minden korábban felmerült struktúra újra megjelenik.
	Dupla spirálok és csikóhalak. Az első völgytől eltérően ez is könnyű spirális szerkezetű. Az n nagyságrendű műholdon n + 1 típusú különböző struktúra létezik. Ennél az 1. rendű műholdnál ezért két különböző típusú szerkezet létezik. Nagyítunk egy kettős spirálon, a völgy bal oldalán.
	Kettős spirál másodrendű műholdakkal. Közelítjük a kép jobb felső sarkában található egyik fehér, egyenetlen szerkezetet.
	Ezek a fényszerkezetek emlékeztetnek bizonyos Julia halmazokéra. Ez a nagyon megkínzott minta itt is csak egy szálból áll. Közelítjük a kép jobb oldalán látható "kettős horgot".
	Ez a kettős horog ismét felidézi a csikóhal farkának spirális alakját. Nagyítunk a központi motívumra.
	Szigetek jelennek meg, mint Cantor porai . Az általános forma Julia J c . A Julia-készlettel ellentétben ezek a pontok mind összekapcsolódnak, mert még mindig a Mandelbrot-készletben vagyunk. Ennek a halmaznak az általános alakja nem az ehhez a pozícióhoz társított Julia halmazé. Ez az a Julia-készlet, amelyet akkor kaptunk volna, ha feltárásunk kezdetén a csikóhal helyett kettős spirál melletti pontot választunk. Ezek a struktúrák maguk is kapcsolódnak egy központi struktúrához, amelyet felfedezhetnénk, ha még tovább vinnénk a nagyítást. Elméletileg a nagyítás végtelen lehet, és szüntelenül új struktúrákat tárhat fel. Ha többet szeretne megtudni, kattintson a szakasz jobb felső sarkában található animációra.

Általánosítások és változatok

A Mandelbrot halmaz általánosítható a 2-nél nagyobb d hatványokra z ↦ z d + c esetén . Ezeket az általánosításokat néha " multibrot  " -nak nevezik  , de egyes szerzők (például McMullen) esetében a "Mandelbrot set" kifejezésnek is utalnia kell ezekre az általánosításokra.

• Teljesítmény 3

• 4. teljesítmény

• 5. teljesítmény

• 6. teljesítmény

A nyomkövetési módszer módosítása, amelyet Melinda Green javasolt 1993-ban, a " Buddhabrot  " nevű változathoz vezet  . Látjuk a pályák által meglátogatott pontok sűrűségét, amelyek megfelelnek a c értékeknek, amelyek eltérnek, ezért a Mandelbrot halmazon kívül választják meg.

3 dimenzióban nincs olyan testszerkezet, amely összehasonlítható lenne a komplex számokkal, tehát nincs "természetes" kiterjesztés. Megjegyezzük azonban Daniel White kiterjesztését

(2009) „  Mandelbulb . "

4 dimenzióban a kvaternerek mezejének természetes kiterjedését John Holbrook vizsgálta 1987-ben. Egyéb elméleti eredményeket a forma kvadratikus polinommal meghatározott kvaternionos Mandelbrot-halmazra (lásd a videót ) dolgoztunk fel . q2+vs.{\ displaystyle q ^ {2} + c}

2000-ben Dominic Rochon a kétkomplexes számok kommutatív gyűrűjét használva adta meg a Mandelbrot új és harmadik változatát. Munkájából előkerül a „Tetrabrot” .

Ismét lehet általánosítani, és ehelyett tetszőleges iterációkat kell figyelembe venni . znem+1=f(znem,vs.){\ displaystyle z_ {n + 1} = f (z_ {n}, c)}

• F (z, c) = cos (z / c) változata

• f (z, c) = sinh (z) + 1 / c2

• f (z, c) = cos (z) + 1 / c

• f (z, c) = c z-1 e -c (a Gamma függvény integranduma)

• f (z, c) = sinh (z) + 1 / c k (k 0,1 és 10 között változik)

• f (z, c) = z² + sin (c 3 )

• f (z, c) = z² + c 3 -δ, δ≈-1,401155 a Feigenbaum pont

• f (z, c) = z² + (c 3 + 0,7-0,2i) 3 + i (nagyítás 0,36 + 0,7i)

Kulturális referenciák

A Mandelbrot halmaz az egyik legnépszerűbb és legismertebb matematikai tárgy. Különböző művészek említik, különösen könyvekben vagy zenében:

• Jonathan Coulton Mandelbrot Set zenéje tisztelgés maga a Mandelbrot együttes és az apja, Benoît Mandelbrot előtt. A dalszövegek többek között felidézik az egész megismétlődésének meghatározását.
• A második könyv a sorozat üzemmód (font)  (in) a Piers Anthony "Fractal Mode", írja le egy olyan világban, amely tökéletesen 3D modell az egész.
• Arthur C. Clarke " A fantom mélyről " című regénye tartalmaz egy mesterséges tavat, amelyet a Mandelbrot-halmaz alakjának megismétlésére hoztak létre.
• A heavy metal dél-koreai Norazo  (in) énekese készített egy Ni za pal is (a sorsod) című videoklipet, amely a Mandelbrot készlet hipnotikus videójával kezdődik.
• Az amerikai rockegyüttes, a Heart Jupiter Darling albumának borítóján Mandelbrot együttes szerepel. Az egészet úgy forgatják, hogy a kardioid fel legyen, és az alak szívhez hasonlítson.

Fractal generátor szoftver

• ChaosPro - (tulajdonos - Windows rendszerhez)
• FractaNep (ingyenes - Windows)
• Fractile Plus (ingyenes iOS-hez)
• Fractint (tulajdonos - sok platformra áthelyezve)
• Gecif
• Gnofract 4D - (hatékony és gyors - Linux, FreeBSD vagy Mac OS X rendszerhez)
• Kalles Fraktaler (ingyenes - Windows)
• Mandelbulb 3D (sok platformon ingyenes, megvalósítási példa: Video )
• XaoS ( ingyenes szoftver - GPL licenc , Windows , Mac OS X , Linux és Unix-szerű rendszerekhez )

Megjegyzések és hivatkozások

1. Lásd erről a témáról: Jean-Pierre Louvet fraktálok a futura-tudomány helyén; valójában az egész első pontos leírása Brooksnak és Matelskinek köszönhető (lásd a történelmi részt ).
2. (in) Robert Brooks és Peter Matelski, A PSL 2 generátoros alcsoportjainak dinamikája (2, C) , in "  Riemann Surfaces and Related Topics  ", szerk. Kra és Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71 ( ISBN  0-691-08264-2 ) .
3. (a) RP Taylor és JC Sprott , "  Biophilic Fraktálok és vizuális utazás Szerves képernyővédő  " , nemlineáris dinamika, Pszichológiai, és a Life Sciences , Society for Chaos Theory Pszichológia & Life Sciences, Vol.  12, n o  1,2008( online olvasás ).
4. (in) Benoît Mandelbrot "  fraktál szempontból a iteráció komplexz↦λz(1-z){\ displaystyle z \ mapsto \ lambda z (1-z)}λ,z{\ displaystyle \ lambda, z}  " , Annals NY Acad. Sci. , vol.  357,1980, P.  249/259.
5. Adrien Douady és John H. Hubbard, A komplex polinomok dinamikus vizsgálata , Orsay 2/4 matematikai preprintjei (1984/1985).
6. (in) Heinz-Otto Peitgen , A Beauty fraktálok , Heidelberg, Springer-Verlag,1986( ISBN  0-387-15851-0 ).
7. (in) Káosz határai, HO Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, Prüfer úr, D.Saupe a Goethe-Institut kiállítása .
8. (in) James Gleick , káosz: Making a New Science , London, Cardinal,1987, P.  229.
9. (in) AK Dewdney  (be) , "  Számítógépes kikapcsolódás: A számítógépes mikroszkóp nagyítással közelít a matematika legbonyolultabb tárgyához  " , Scientific American ,1985, P.  16–24 ( online olvasás ).
10. Fraktálok: A káosz mintái . John Briggs. 1992. o. 80.
11. Vö. (In) A. Douady és J. Hubbard : „  A polinomszerű leképezések dinamikájáról  ” , ASENS , vol.  18,1985, P.  287–343 ( online olvasás )és (en) Paul Blanchard , „  Komplex analitikai dinamika a Riemann-szférában  ” , Bull. Keserű. Math. Soc. (NS) , vol.  11, n o  1,1984, P.  1-246 ( online olvasás ).
12. Mrob.com .
13. Douady és Hubbard 1985 .
14. http://smf4.emath.fr/en/InfoDiverses/Carnet/Douady/DepecheAFP.html
15. http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf
16. "  Jean-Christophe Yoccoz önéletrajza  " , a Tudományos Akadémián .
17. (in) J. Milnor: " Ön-hasonlóság és szőrösség a Mandelbrot- készletben ", Computers in Geometry and Topology , Mr. Tangora (szerkesztő), Dekker, New York, p. 211-257.
18. (in) Curtis T. McMullen, "  A Mandelbrot-készlet univerzális  ", 1998, absztrakt .
19. (in) Mitsuhiro Shishikura „  A halmaz a határ a Mandelbrot-halmaz és Julia halmazok  ” Ann. of Math. , repülés. 147., 1998, p. 225-267 (eredeti Stony Brook IMS Preprint , 1991-es kiadvány , arXiv : math.DS / 9201282 ).
20. (in) Tan Lei "  Lei.pdf hasonlóság entre les Mandelbrot-halmaz és Julia halmazok  " Comm. Math. Phys. , repülés. 134, 1990, p. 587-617.
21. (in) Mitsuhiro Shishikura, A Mandelbrot és Julia halmazok határának Hausdorff dimenziója , "  math.DS / 9201282  " , az arXiv oldalon szabadon elérhető szöveg .
22. (in) JH Hubbard Julia halmazok és kétágú lókuszok helyi összekapcsolhatósága: AD Yoccoz három tétele .
23. „  Superfractalthings Maths  ” .
24. "  Kalles Fraktaler 2  " .
25. [1]
26. (en) Buddhabrot fraktál módszer .
27. Változatok 3D-ben .
28. (in) JAR Holbrook "  Quaternionic Fatou-Julia halmazok  " Ann. Sc. Math. Quebec , vol. 1, 1987, p.  79-94 .
29. S. Bedding és K. Briggs, "Kvaternion térképeinek iterációja", Int. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Eng., 5: 877–881, 1995. DOI : 10.1142 / S0218127495000661
30. J. Gomatam, J. Doyle, B. Steves és I. McFarlane, "A Mandelbrot-készlet általánosítása: Quaternionic Quadratic Maps", Chaos, Solitons & Fractals, 5: 971–985, 1995. DOI : 10.1142 / S0218127495000661
31. Dominic Rochon , "  Általánosított Mandelbrot készlet kétkomplex számokhoz  ", Fractals , vol.  8, n o  4,2000. december, P.  355–368 ( DOI  10.1142 / S0218348X0000041X )
32. É. Martineau és D. Rochon, "A kétkomplex távolságmérésről a Tetrabrot számára", International Journal of Bifurcation and Chaos, 15 (6): 501–521, 2005. DOI : 10.1142 / S0218127405013873
33. (in) "  Soha Trend Vendég: Jonathan Coulton van Benoit Mandelbrot  " on www.wired.com .
34. (in) "  Mandelbrot-halmaz / Lyrics - JoCopedia, a Jonathan Coulton wiki  " on www.jonathancoulton.com .
35. (in) Arthur Archibald Wonderfluff XIII , "  Jonathan Coulton - Mandelbrot Set  " a www.youtube.com oldalon ,2012. április 9.
36. (in) Piers Anthony, Fractal mód , HarperCollins,1992, 302  p. ( ISBN  978-0-246-13902-3 , online olvasás ).
37. (in) Arthur C. Clarke, a szellem a Grand Banks , Orion,2011. szeptember 29, 274  p. ( ISBN  978-0-575-12179-9 , online olvasás ).
38. Videó: https://www.youtube.com/watch?v=s0UjELAUMjE .

Lásd is

• A fraktálok listája Hausdorff dimenzió szerint
• Mandelbox
• Mandelbulb
• Newton fraktálja

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">