Newton fraktálja

A Newton fraktál egy határhalmazban meghatározott komplex síkon alkalmazása jellemzi a Newton-módszer egy polinom ${\ displaystyle \ textstyle {p (z), z \ in \ mathbb {C}.}}$

Meghatározás

Newton fraktálja Julia meromorf funkciójának halmaza , amelyet Newton módszere ad meg. Ha nincsenek vonzó ciklusok, akkor a komplex síkot $G$ $k$ régiókra osztja , amelyek mindegyike ennek a polinomnak minden gyökéhez kapcsolódik. ${\ displaystyle z \ mapsto z - {\ tfrac {p (z)} {p '(z)}}}$

A klasszikus newtoni fraktál tehát a $z 3 -1$ polinommal van összekapcsolva, és három síkra osztja a síkot, amelyek a három gyökérhez kapcsolódnak: és . ${\ displaystyle {1, - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle {- {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}}}$

Építkezés

A bonyolult sík számos pontja az egyes gyökerekhez kapcsolódik a következőképpen:

A komplex sík $z 0$ pontját választjuk kiindulópontnak. Newton iteratív módszerét alkalmazzuk:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}.}

Különösen a klasszikus Newton-fraktálot kapjuk az alábbiak iterálásával:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {z_ {n} ^ {3} -1} {3z_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {2z_ {n} ^ {3} +1} {3z_ {n} ^ {2}}}.}

Ez a szabály vezet sorozata pontok $z 1$ , $z 2$ , stb Ha a szekvencia konvergál a gyökér $R k$ a polinom, akkor $Z 0$ tartozik a régió $G k$ . Ezt a régiót nevezik „az $R k$ gyök $vonzásmedencéjének$ ” is.

Bármely, legalább 2-vel egyenlő fokú polinom esetén léteznek olyan pontok, amelyeknél a Newton-szekvencia nem konvergál, ez az egyes gyökerek vonzásmedencéinek határának esete.

Fraktálszerkezet

Newton fraktáljának, mint minden fraktálnak , az egyszerű leírás ellenére összetett megjelenése van, és minden skálán látható önhasonlóságok vannak (lásd alább az egymást követő nagyítást).

Newton $z 3 -1$ .
1 st zoom.
2 e nagyítás.

Azt is sugallja, hogy Newton módszere nagyon érzékeny lehet a kezdeti feltételekre, és hogy két végtelenül szoros kezdőpont összefoghat különböző gyökereken.

Végül megmutatja, hogy Newton fraktáljának minden pontja többszörös határpont, elválasztva a vonzás n medencéjét. Ha két végtelenül közeli pont két különálló gyökeré konvergál, akkor van egy harmadik, szintén végtelenül közeli pont, amely konvergál a harmadik gyökhöz. Lásd a Wada tavakról szóló cikket .

Általánosítás

Newton iterációjának általánosítása a következő:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} -a {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}

ahol $a$ komplex szám. Az $a = 1$ speciális eset a klasszikus Newton-fraktálnak felel meg.

Ennek az átalakulásnak a rögzített pontjai akkor stabilak, ha $a$ a az 1 sugarú középpontú lemezhez tartozik. Ezen a lemezen kívül a rögzített pontok lokálisan instabilak, azonban az átalakulás fraktálszerkezetet mutat a Julia halmaz értelmében . Ha $p$ jelentése a polinom foka $N$ , akkor a szekvenciát $Z n$ korlátos mindaddig, amíg $egy$ marad a lemez sugarú $n$ középpontú $n$ .

Egyéb módszerek

A numerikus elemzés során számos egyenletmegoldási módszer létezik.

A társított fraktálok közös jellemzőkkel rendelkeznek Newton fraktáljával: a hármas határ, az összes hasonlóságú önhasonlóság és három egymással nem összefüggő vonzerő (színes). A választott kezdeti feltételeknek megfelelően a secant módszer nem konvergencia zónákat hoz létre.

Lásd az alábbi példákat, amelyek a $z 3 -1$ polinom függvényre vonatkoznak :

Módszer	Képlet	Konvergencia	Rajz	Megjegyzések
Secant módszer	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {z_ {n} -z_ {n-1}} {p (z_ {n}) - p (z_ {n-1}) }} p (z_ {n}).}}$	1.618	$Secant fractal.jpg$	A szelőmódszer lehetővé teszi, hogy megszabaduljon a számítás a származékos közelítésével a származtatott által . ${\ displaystyle p '(z_ {n})}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {p (z_ {n}) - p (z_ {n-1})} {z_ {n} -z_ {n-1}}}}$ Az ábrán, amelyet közel állítottunk hozzá . ${\ displaystyle z _ {- 1}}$ $z_0$
Newton módszere	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}}$	négyzetes	$Newton-módszer fractal.jpg$
Háztartási módszer	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}} \ szor (1 + h_ {n})} }$ val vel ${\ displaystyle {h_ {n} = {\ frac {p (z_ {n}) p '' (z_ {n})} {2p '(z_ {n}) ^ {2}}}}}$	kocka alakú	$Householder módszer fractal.jpg$	A háztulajdonos módszerei Newton és Halley módszereit általánosítják.
Halley módszer	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {2p (z_ {n}) p '(z_ {n})} {2 {[p' (z_ {n})]} ^ {2} -p (z_ {n}) p '' (z_ {n})}}}}$	kocka alakú

Newton fraktáljai
Newton fraktálja a $p ( z ) = z 3 -1$ polinomra , a konvergencia iterációinak száma szerint színezve.
Newton fraktálja a $p ( z ) = z 3 -1$ polinomra , az érintett gyök színével.
Newton fraktálja a $p ( z ) = z 5 -1$ polinomra , amelyet az érintett gyök színez.
Newton fraktálja $p ( z ) = z 3 - 2 z + 2 esetén$ . A piros pontok egyetlen gyökeret sem érnek el.
Newton fraktálja $p ( z ) = z 5 - 3i z 3 - (5 + 2i) z 2 + 3 z + 1 esetén$ , az érintett gyök színével.
Newton fraktálja $p ( z ) = z 3 - 2 z + 2 esetén$ . A piros pontok egyetlen gyökeret sem érnek el.
Newton fraktál egy 7 -én fokú polinom , színezett gyökér elérte árnyalta szerint az iterációk számát a konvergencia.
Egy másik newtoni fraktál a $bűnért ( x )$ .
${\ displaystyle p (z) = z ^ {6} + z ^ {3} -1}$ .
${\ displaystyle p (z) = \ sin (z) -1}$ .
${\ displaystyle p (z) = \ cosh (z) -1}$ .

Lásd is

Hivatkozások

(a) Simon Tatham, " Fractals származó Newton-Raphson iterációs " .

Hogyan lehet megtalálni a komplex polinomok összes gyökerét Newton módszerével , JH Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland,Inventiones Mathematicaevol. 146 (2001) - Newton fraktálainak globális szerkezetének megvitatásával.
Dierk Schleicher a Newton-módszer ismétléseinek számáról2000. július 21
Newton módszere mint dinamikus rendszer , Johannes Rueckert
Newton módszere és fraktál A didaktikai megközelítése, Tan Lei (CNRS).