Secant módszer

A numerikus analízis során a szekáns módszer egy algoritmus az f függvény nulla megtalálásához .

A módszer, a metódus

A secant módszer Newton módszeréhez hasonlítható , ahol a következőre cseréljük : Megkapjuk az ismétlődés relációt  : f′(xnem){\ displaystyle f '(x_ {n}) \,}f(xnem)-f(xnem-1)xnem-xnem-1.{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {n}) - f (x_ {n-1})} {x_ {n} -x_ {n-1}}}.}

xnem+1=xnem-xnem-xnem-1f(xnem)-f(xnem-1)f(xnem).{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} -x_ {n-1}} {f (x_ {n}) - f (x_ {n-1})} } f (x_ {n}).}

Az inicializáláshoz két x 0 és x 1 pontra van szükség, ha lehetséges, zárja be a keresett megoldást. Nem szükséges, hogy x 0 és x 1 csatolja az f gyökerét . A szekáns módszer a hamis pozíció módszer általánosításaként is felfogható , ahol a számításokat iterálják.

Demonstráció

Mivel egy és b , konstruáljuk a vonal áthaladó ( a , f ( a )) és ( b , f ( b )) . Egyenlete :

y-f(b)=f(b)-f(nál nél)b-nál nél(x-b).{\ displaystyle yf (b) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xb).}

Mi választjuk c egyenlő a abszcissza az ordináta pont y = 0 E vonal:

f(b)+f(b)-f(nál nél)b-nál nél(vs.-b)=0.{\ displaystyle f (b) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (cb) = 0.}

Ha ebből az egyenletből kivonjuk a c- t, akkor megtaláljuk a fent idézett megismétlődés relációt:

vs.=b-b-nál nélf(b)-f(nál nél)f(b),{\ displaystyle c = b - {\ frac {ba} {f (b) -f (a)}} f (b),}

val vel

vs.=xnem+1,b=xnem,nál nél=xnem-1.{\ displaystyle c = x_ {n + 1}, \, b = x_ {n}, \, a = x_ {n-1}.}

Konvergencia

Ha a kezdeti értékek x 0 és x 1 elég közel vannak a megoldást, az eljárás lesz sorrendben a konvergencia a

φ=1+5.2≃1,618{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1,618}

Ezt az eredményt abból a feltevésből tudjuk bemutatni, hogy az f függvény kétszer folyamatosan differenciálható, és a megoldás az f egyszerű gyöke .

Ez a két feltétel azonban nem szükséges sem a módszer alkalmazásához, sem annak konvergenciájának biztosításához. A módszer biztosan nem alkalmazható, ha a függvény nem mutat jelváltozást x 0 és x 1 között ( pl .: f ( x ) = x 2 -1 és 1 között). Bármely olyan folyamatos függvény esetében, amely előjelváltozást mutat és egyetlen gyököt enged be a figyelembe vett intervallumba, a módszer alkalmazható és legalább lineárisan konvergál. Nem szükséges, hogy az f megkülönböztethető legyen: a módszer alkalmazható olyan folytonos függvényekre, amelyek sehol sem differenciálhatók , például a Weierstrass függvény .

Lásd is

• Newton módszere
• Hamis pozíció módszer
• Lineáris interpoláció

Értékelés és referencia

1. Tüntetés Nyikolaj Bahvalovban, Numerikus módszerek , Moszkva, Mir Editions ,1976, P.  402-403.

Bibliográfia

Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ a kiadások részlete ], fej. II