A hamis pozíció vagy a regula falsi módszer, vagy a többlet és hiány módszer kezdetben aritmetikai módszer.
Újabban, úgynevezett numerikus elemzésben , egy gyökér-kereső algoritmus , amely egyesíti a felezési és a szekundált módszer képességeit .
Az ókortól a XVII . Századig hatékonysága régóta segít megoldani a lineáris problémákat algebra nélkül. Két változat létezik: egyszerű és kettős, amelyek egy (vagy 2.) feltételezett megoldás (ok) által bemutatott hiba kihasználásával állapítják meg a keresett megoldást.
Ezt a módszert különösen Fibonacciban , Luca Pacioliban , Nicolas Chuquet-ben , Robert Recorde-ban és korábban Kínában találjuk A matematikai művészet kilenc fejezetében .
A lineáris problémákat egy ismeretlenig szabályozza. Ehhez egy feltételezett megoldásból indulunk ki, és értékeljük annak eredményét. Ha az arányosságot feltételezzük, egy három szabály adja meg az igazi megoldást.
Használható, ha nem magyarázható az egyiptomi , babiloni és késő ókori görög , akkor majd megállapította Indiában és az arab világban , majd a Nyugat .
Példa
Az A, B és C emberek megosztottak egy bizonyos összeget. A kapott harmadot, B negyedet és C 1760 ECU-t. Mi volt az összeg?
Hamis helyzetfeloldásHa a megosztandó összeg 12 ECU volt - a 12 választása tetszőleges, akkor ennek a számnak az az előnye, hogy könnyen el lehet venni annak egynegyedét és egyharmadát - az A személy a 12 ECU harmadát, azaz 4 ECU-t kapott volna , B személy 12 ECU vagy 3 ECU negyedét kapta volna, C személy pedig a maradékot, azaz 12 - 4 - 3 = 5 ECU-t. Ugyanakkor 1760-at kapott . A 12-ből három szabály alkalmazásával meg lehet találni a megosztandó összeget, hogy a C személy ne 5 ECU-t, hanem 1760-at kapjon.
Ha S-nek nevezzük a teljes összeget, A-t, B-t és C-t pedig az A, B és C emberek megfelelő részarányának:
A = S / 3, B = S / 4, C = 1760és tudjuk, hogy:
A + B + C = Samely megadja az egyenletet:
S / 3 + S / 4 + 1760 = Sami valóban lineáris egyenlet S-ben, mivel ez írva van:
5 / 12⋅S - 1760 = 0A hamis pozíció módszer lehetővé teszi az egyenlőség elkerülését, de csak egy arányos törvényt magában foglaló probléma esetén működik : itt a C részesedése arányos a megosztandó összeggel.
Két ismeretlennel szabályozza a lineáris problémákat. Ehhez két feltételezett, különálló megoldásból indulunk ki, amelyek eltéréseit összehasonlítjuk az objektívvel. A többletek vagy hiányok összehasonlítása a megoldáshoz a 2 feltételezett megoldás nulla különbségének súlyozott összegeként vezet.
A kínai algoritmus, ha az oldat már hiányhoz vezetett a , és az oldatot b vezetett többletet e a jobb megoldás .
A módszert bármely algebrai eltérésre általánosítjuk: ha az x 1 első érték δ 1 eltéréshez , a második x 2 pedig δ 2 eltéréshez vezet, akkor a cél elérését lehetővé tevő érték az .
Ez a tulajdonság könnyen kimutatható azzal, hogy megjegyezzük, hogy bármely affin funkcióban a képek közötti különbségek arányosak az előzmények közötti különbségekkel. Melyek adják:
A legrégebbi, erre a módszerre vonatkozó dokumentumok a Kr. E. Kr. U. És 100. , például a Matematikai művészet kilenc fejezete (Jiǔzhāng Suànshù) és a Számokról és számításokról szóló könyv (Suàn shù shū) című kínai szöveg . A módszer ott kifejezett, és a demonstráció elvét használja, amely analóg az azonos nevezőre történő redukcióval, a többlet-hiány egyfajta homogenizálásával. Ha az érték még vezetett, a deficit a d tekintetében a érték X , az érték ae vezet a hiány de tekintettel a érték eX . Ugyanezen okok miatt, az érték bd vezet felesleg de az ár-érték dX . Tehát az ae + bd értéke megegyezik az eX + dX értékével - mivel a hiányt és a többletet kompenzálják -, és az érték az X értéke . Az azonos nevezőre történő redukció olyan erős, hogy az eljárás során a és b osztaléknak, míg d és e osztónak nevezzük. Ezt a módszert régóta csak Kínában használták, majd az arab világban, majd nyugaton is alkalmazták.
Példák Közös hozzájárulásrólEz a példa a matematikai művészet kilenc fejezetéből származik :
Közös vásárlás esetén, ha mindenki fizet 8-at, akkor 3 többlet van, és ha mindegyik fizet 7-et, akkor 4 hiány van. Mennyit kell fizetniük mindegyiknek? Mennyi a résztvevők száma? Mennyi a vásárlás összege?Ez egy lineáris probléma, a meredekség az emberek száma, az x- ek mindenki kvótái, az y-ek pedig a megadott összeg.
Hamis helyzetfeloldásA felvetett probléma már a két hamis helyzetet jelzi: b = 8 esetén a többlet e = 3 , a = 7 esetében a hiány d = 4
Az ismeretlenek: N a résztvevők száma és S a vásárlás összege. Az adatok az egyenletrendszerhez vezetnek
Két egyenlet rendszerén két ismeretlenEz a kereskedő 120 sálat vett, egyeseket 2 ECU-n, mások 5 ECU-n, 468 ECU összegért. Hány sálat vásárolt minden fajtából?
Hamis helyzetfeloldásA hamis pozíciók a sálak számára vonatkoznak 2 ECU-nél.
Itt két hiányról van szó, szükség van az általánosított képletre: a sálak pontos száma 2 ECU-nél így van . Ezért vásárolt 44 sálat 2 ECU-n (azaz 88 ECU-n) és 120 - 44 = 76 sálat 5 ECU-n (azaz 380 ECU-n).
Modern felbontásA módszer lehetővé teszi két lineáris egyenlet rendszerének megoldását két ismeretlennel. Valójában, ha n 2-nek hívjuk a sálak számát 2 ECU-nak és n 5-nek a sálak számát 5 ECU-nek, akkor a probléma azt mondja nekünk, hogy:
Lineáris interpoláció nemlineáris feladatbanEz a példa a Számok és számítások könyvéből (Suàn shù shū) származik.
Vegyünk egy mǔ mezőt (a kínai metrológiában egy mǔ 240 négyzetméternek felel meg, vagyis kb. 600 m²): hány bù négyzet?
Ez a probléma nem lineáris probléma, de lokálisan megközelíthetjük a megfelelő parabolát egy vonalszakasszal
Hamis helyzetfeloldásA többlet- és hiányfolyamat négyzetet ad bù oldalával.
Megoldás négyzetgyök-kivonással
Ezt a lineáris interpolációs rendszert megtaláljuk a matematikai művészet kilenc fejezetében (Jiǔzhāng Suànshù) a VII. Fejezet többletről és hiányról szóló három problémájában is ( 11-18-20) anélkül, hogy a szövegben egyértelmű lenne, hogy ez csak közelítés. Ez a felhasználás az iteráció nélkül előrevetíti az elemzés során kifejlesztett téves pozíció módszerét.
Ez egy iteratív módszer a folytonos függvény nullájának megtalálásához, amelynek minden egyes lépése az eredeti hamis kettős helyzethez kapcsolódik.
Adva az a és b értékeket , megalkotjuk az ( a , f ( a )) és ( b , f ( b )) pontokon áthaladó egyeneset , mint a szemközti ábrán. Vegye figyelembe, hogy ez a vonal az f függvény grafikonjának szekutánsa vagy húrja . A meredekség és a pont felhasználásával a vonal egyenlete felírható:
Most meghatározzuk c-t , ennek a vonalnak az abszcisstengellyel való metszéspontjának abszcisszáját (a szekáns nulla), amelyet a következő ad meg:
Az előző egyenlet megoldása c :
A dichotómiás módszerhez hasonlóan a hamis helyzet-módszer is két a 1 és b 1 ponttal kezdődik úgy, hogy f ( a 1 ) és f ( b 1 ) ellentétes előjelűek legyenek, ami a tétel szerint azt jelenti, hogy a folyamatos függvény f értéke legalább egy nulla az [ a 1 , b 1 ] intervallumban . A módszer abból áll, hogy az intervallumok csökkenő sorozatát állítják elő [ a k , b k ], amelyek mindegyike nulla f értéket tartalmaz . A k lépésben a szám:
kiszámításra kerül. Amint azt fentebb kifejtettük, c k az ( a k , f ( a k )) és ( b k , f ( b k )) és az abcissa tengellyel áthaladó egyenes metszéspontjának abszcisszája, amelyet a nulla egyszerűsítésére hívunk meg a szekáns . Ha f ( a k ) és f ( c k ) azonos előjelű, akkor beállítunk egy k +1 = c k és b k +1 = b k értéket , különben beállítunk egy k +1 = a k és b k + 1 = c k . Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg a nulla kellő mértékben közelít, azaz a c k +1 és c k közötti különbség kisebb, mint az elfogadható ε különbség.
A fenti képletet a secant módszerben is alkalmazzák , de ez utóbbi szisztematikusan megtartja az utolsó két számított pontot, míg a hamis helyzet módszer két olyan pontot tart meg, amelyek minden bizonnyal körülvesznek egy nullát. Másrészt a hamis helyzet és a dichotómiás módszer közötti egyetlen különbség a c k = ( a k + b k ) / 2 összefüggés utóbbiban való alkalmazása .
Ha az a 0 és b 0 kezdeti értékeket úgy vesszük, hogy f ( a 0 ) és f ( b 0 ) ellentétes előjelekkel rendelkezzenek, akkor a hamis pozíció módszer f nullára konvergál . A konvergencia sebessége általában szuperlineáris , tehát gyorsabb, mint a dichotómiás módszer, de lassabb, mint Newton módszere. Ne feledje azonban, hogy Newton módszere eltérhet, akárcsak a szekund módszer.