A matematika történetében a matematika arab kifejezés a muszlim világ matematikusai által a XV . Század közepéig .
Az arab tudomány és az előtérben, a matematika , fejleszteni a kalifátus székhelye a Közel-Keleten , a közép-ázsiai , az észak-afrikai , spanyol és VIII th században , a Dél-Franciaországban. A szövegek arab nyelven íródtak , amely abban az időben a tudomány és a kultúra egyik nyelve volt, ezért az "arab tudományok" és az "arab matematika" kifejezések használata, a tudósok anyanyelvének figyelembevétele nélkül, és ettől függetlenül etnikai származásuk vagy vallásuk.
Az arab matematika a görög matematika , valamint az indiai matematika asszimilációjával alakult ki . A kínai és babiloni matematika is befolyásolta őket, mielőtt megtapasztalták saját fejlődésüket. Főleg arab nyelvű fordításaik és észrevételeik révén tudta meg Európa az indiai matematikusok munkáit. A legújabb kutatások kimutatták, hogy sok olyan gondolat, amelyről azt hittük, hogy a XVI . , XVII . Vagy XVIII . Századi Európában született , már jelen volt a görög matematikában, vagy arab matematikusok fejlesztették ki őket, de némelyiknek nem volt utókövetése.
Az iszlám születésétől a VII . Századig gyors fejlődésnek tudható be. Egy évszázad alatt muszlim területek Spanyolországtól Perzsiáig terjedtek. A Bizánci Birodalom elleni területek meghódítása Damaszkusz elfoglalásához, a mezopotámiai völgy behatolásához és Alexandria elfoglalásához vezetett 641-ben. Ezekkel a hódításokkal a muszlim birodalom tudatában volt a görög és az indiai tudásnak.
Ezután egy évszázadon át belső harcok vezettek a nyolcadik század vége felé az omjadzsák bukása után , három különböző politikai entitás létrehozására: Abbasids keletről, Idrissids Marokkóban és Umayyads Cordobáról . Ez a szakadás elsősorban az úgynevezett arab számok többféle írásmódjának magyarázatát magyarázza: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9: Fezben és Cordobában, valamint ٠,١,٢, ٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩: Bagdadban használják .
Fezben, Marokkó kulturális és szellemi fővárosában található Quaraouiyine , az oktatási intézmény, amelyet ma a világ legrégebbi működésének tekintenek.
Bagdadban , a város által alapított kalifák abbaszid szolgál fővárosban a birodalom, hamar egy kulturális központ létrehozását House of Wisdom uralkodása kalifa al-Mamun (kezdve a IX th század ). Jelentős fordítási programra került sor ott, először perzsa-arab, majd szanszkrit vagy görög-arab nyelvre. Az arabok kapcsolatokat létesít a bizánci rómaiak Konstantinápoly , és az arab kalifák vásárolni a görög kéziratok különösen Elements of Euklidész (amelyet fordította Al-Hajjaj ), valamint a nagy matematikai készítmény a Ptolemaiosz néven Almagest amely okot ad több az Al- Hadzsaj és a Thabit ibn Qurra fordításai . Is elérhetővé válnak, és lefordították arab működik, mint a Conics az Apollonius , A gömb és a henger az Arkhimédész , a Arithmetica a Diophantosz (fordította Qusta ibn Luqa ), az Értekezés a tükrök a Diocles , a Works a mechanika a Az alexandriai Pappus, valamint az alexandriai Heron értekezései . Arab matematikusok is lefordítani szanszkrit szövegeket indiai csillagászat és a matematika, mint a Surya Sziddhánta és Brahma Sphuta Siddhanta (fordította Muhammad al-Fazari ) Khandakhayaka a Brahmagupta és Aryabhatiya a Árjabhata .
A Bölcsesség Házának tagjai között van Al-Khwarizmi perzsa matematikus . A szerződések közül kettő jelentős hatással volt az XII . Századi európai matematikára . Az első, amelyből csak a latin fordítást sikerült megőrizni, a tizedes számozást továbbítja. A második értekezés, a Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Könyv a helyreállításról és a konfrontációról) az egyenletek manipulációjával foglalkozik. Az algebra, a matematika új tudományága, továbbra is virágozni fog az iszlám civilizációval. Idézhetjük a Banu Musa és Thābit ibn Qurra testvéreket is (algebra, nicukeai fordítás és az Euklidész- elemek felülvizsgálata, a terület, csillagászat, trigonometria, számelmélet végtelen kis számítási módszereinek megvalósítása).
Arab matematika különösen virágzó során a X -én , és a XI th évszázadok, amelynek során sok matematikus elmélyítése a különböző ágak matematika: Abu l-Wafa (fordító, algebra, aritmetikai, trigonometriai, geometria), Abu Nasr Mansur (trigonometriai), Abu Kamil (algebra), al-Battani (trigonometria), al-Karaji (algebra), Ibn al-Hayttam néven Alhazen (algebra, geometria, optika), Omar Khayyam (algebra, geometria), Sharaf al -Dīn al-Tūsī (algebra) )
Az arab tudomány első hanyatlása a XII . Században kezdődik a muszlim világot megosztó konfliktusok eredményeként, de vannak ezen az időszakon túl is elismert matematikusok, akik között szerepel Nasir al-Din al-Tusi és XII . Század (geometria) és al-Kashi – XV . század (számtan, algebra, numerikus elemzés). Ez utóbbi matematikus után elhanyagolhatóvá válik az arab matematikusok hozzájárulása a középkori matematikához. Algazel e hanyatlásra gyakorolt hatását Neil deGrasse Tyson az iszlám aranykorról tartott előadásában döntőnek mutatta be .
A középkori arab világban több számrendszer is létezett.
Valóban létezik egy multiplico-additív decimális számozási rendszer, ahol a 9 egységet, a 9 tízet, a 9 százat és az ezret az arab ábécé egy bizonyos sorrendben vett 28 betűje, a jummal azonosítja. Ezután egy olyan számot írnak, mint a 3854, öt betű segítségével, például háromszor 1000 plusz 800 plusz 50 plusz 4. Úgy tűnik, hogy ez a számozási rendszer rendelkezik szíriai forrásokkal, elméletileg lehetővé teszi az összes szám megírását, de úgy tűnik, hogy nem használták nagy számok esetén amelyeknél a szexagesimális írás előnyben részesítése . Ez a számozási rendszer a digitális számításnak nevezett mentális számítási rendszerhez kapcsolódik. Ebben a számozási rendszerben csak 8 típusú frakció létezik: 1/2, 1/3, ..., 1/9, a többieket ilyen típusú szorzat vagy termékösszegek fejezik ki. Azokat a frakciókat, amelyek nevezőjének főtényezője nem 2, 3, 5, 7, siket frakciónak nevezünk, vagyis kifejezhetetlen frakciónak, amelyet megpróbálunk hozzávetőlegesen adni.
Főleg csillagászati írásokban is megtaláljuk a babiloniak szexagesimális számrendszerét, amely úgy tűnik, hogy szíriai vagy perzsa úton jut el az arab világba.
A végleges rendszer fokozatosan felváltja az előző kettőt. Ez az indiai eredetű helyzeti tizedesrendszer, amely kilenc számjegyből és nullából áll. Az egyik első arab írásokat leírja ez a könyv indiai fogkő által al-Khwarizmi, a melyek csak hiányos latin változat marad. Ez a könyv bemutatja a törtek jelölési rendszerét (az indiai frakciók a b ⁄ c , tizedesjegyek és szexagesimálisok), valamint a működési technikákat (összeadás, kivonás, duplikáció, kettővel osztás, szorzás, osztás, négyzetgyök ). Al-Uqlidisi egy későbbi munkája szintén ezt a számtant írja le, és összehasonlító tanulmányt készít a három számtanról (indiai, szexagesimális, digitális). Ő is tökéletesítette a tizedes tört használatát, elválasztó segítségével megkülönböztette az egész részt a tizedestől. Az indiai kalkulus ezután elterjedt az arab világban, különböző betűkkel Nyugaton és Keleten.
A digitális számítástechnika a Bizánci Birodalomban és az Arab Birodalomban található mentális számítási rendszer, amely valószínűleg a kereskedelmi világból származik. Az ujjak ízületeit használja a köztes értékek tárolására, és csomós aritmetikának (vagy hisāb al-'uqūd) is nevezik. A módszerek egyszerűek az összeadáshoz és a kivonáshoz, de bonyolultak más műveletekhez. Olyan írások tárgyát képezték, amelyek közül a legrégebbi arabul Abu al Wafa al-Buzjanié, de az indiai kalkulus fejlődésével fokozatosan eltűnik.
Az indiai számítás jelentős javulást hoz, különösen a négyzetgyök szorzása, összeadása és kivonása tekintetében. Az indiai hagyomány szerint a számításokat egy homoktáblán végezték, ahol a köztes számításokat menet közben törölték. Az arab matematikusok ösztönzése alatt ezt a rendszert fokozatosan, de lassan felváltják a tintával és papírral végzett számítások, amelyek lehetővé teszik a köztes eredmények megőrzését és ellenőrzését. Így a házak módszere (vagy a féltékenységekkel való szorzás ) már jelen van al-Uqlidisi munkájában . A XI . Századtól kifejlesztett numerikus elemzés módszerei a gyökerek (négyzet, kocka , stb.) Kiszámításához közelítő értékek pontosabb megtalálásához is szolgáltak . Al-Kashi perzsa csillagász és matematikus az Archimédesz által kiszámított 3 tizedesjegy pontossággal a π 16 tizedesjegyes számításával egy lépést tett a rekordok egymásutánjában .
A számtani könyvek olyan számítási technikákat is bemutatnak , amelyek négyzetek , kockák vagy négy főösszeg négyzetének számát ( sokszögszám , piramis számok ), számtani sorokat és geometriai ábrázolást tartalmazzák . Van egy része indiai vagy görög forrásokról szóló munkának, de Ibn Tahir , az andalúz al-Umawi (in) ( XV . Század ) és al-Kashi e számítások kezelése eredetinek tűnik, és lehetővé teszi munkájuk koherens és kiaknázható egész.
Ha felhívjuk a számot arra az objektumra, amelyre a számítást végzik, akkor az évszázadok során megjegyezhetjük a szám állapotának alakulását.
Az al-Khwarizmi-ben, mint az indiai szerzőkben , a nullára vonatkozó működési szabályokat találunk, de csak a tizedes számozás szimbólumaként.
A negatív szám a polinomok együtthatóiban is jelen van. Ez al-Samaw'al-hoz vezet az indiai matematikában meglévőkkel megegyező előjelek szabályainak kifejtésére, de a számítás eredménye vagy az egyenlet megoldása a pozitív számok tartományában marad.
A legfontosabb változás a kezelés irracionális mennyiségek a X edik században is nevezik, számot ( „ Adad »), a racionális szám« al-al-Adad muntica ” irracionális " al- Adad al-summa ”. A geometriai mennyiségek aritmetizálásának vagyunk tanúi. A működési szabályokat a másodfokú irracionálisokra ( a ± √ b, ahol a és b racionális, és ahol b nem a racionális négyzete) és a biokvadratikusra (a másodfokú irracionálisok négyzetgyökére) vonatkoznak. Így Abu Kamil a következő működési szabályt adja meg két másodfokú irracionalitás összegére: Ezek az irracionálisok, valamint a negatív számok, az egyenletekben az egész számok vagy a racionális számokhoz hasonlóan együtthatóként lépnek be Abu Kamilban. A köbgyökerekből vagy az n- edik gyökerekből származó irracionális értékeket hozzávetőlegesen számolják, és ezeket a közelítéseket más számításokban használják trigonometrikus táblázatok felépítésére vagy π közelítésére. A számok jellegével és különösen a két, összehasonlíthatatlan nagyság hányadosának adandó státusszal kapcsolatos kérdést a XI . Század matematikusai , al-Khayyam és Ibn Mu'adh teszik fel, akik megadják a státusz számát. .
813 és 830 között al-Khwarizmi megírta a Kitab al-jabr wa al-muqabala ( a számítás rövidítése helyreállítással és összehasonlítással rövidítéssel) értekezését , amelyben az első és a második fokozatú egyenletek megoldásának technikáit mutatta be. Tanulmánya tárgyainak meghatározásával kezdi: számokat, az ismeretlent ( al-shay , a dolog), annak négyzetét ( al-māl , a kincs vagy a jó), az ismeretlent a jó gyökerének is nevezik ( jidhr ). Ezután bemutatja azt a hat kanonikus helyzetet, amelybe visszatérhetünk. Al-Khwarizmi beszéde teljesen retorikus, és nem igényel semmilyen szimbolikus írást, de hat helyzete a modern nyelvben összefoglalható ebben a 6 egyenletben: a, b, c pozitív egész számokkal vagy racionális számokkal.
Mindegyikükhöz bemutat egy felbontási módszert, amelynek geometriai érveléssel igazolja az érvényességét téglalapok, négyzetek és gnomonok területeivel . A megoldásokat csak pozitív számokban keresik. Tanulmányozza az 5. típusú (4ac kevesebb, mint b²) egyenlet megoldásának létfeltételeit, és bemutatja ennek az egyenletnek a két megoldását, ha léteznek.
Ez azt is megmutatja, hogyan lehet visszatérni ehhez a hat kanonikus helyzethez a helyreállítás technikájával (ugyanazt a mennyiséget hozzáadva az egyenlőség két tagjának, hogy kitöltsük a hiányt ) és az összehasonlítást (eltávolítva az egyenlet két tagjában lévő azonos mennyiséget) . Meghatároz néhány elemi számítási szabályt az ismeretlen tényezőt tartalmazó kifejezésekre, például az (a + bx) (c + dx) kiterjesztése. Ezután kövesse a kereskedelem, a földmérés vagy az öröklés számos gyakorlati problémáját.
A téma nem új. Vannak első és másodfokú problémamegoldó eljárások babiloni és az indiai matematika . A nagyon szempontjából al-Jabr és al-muqabala már rövidítés technikák számítási. Még az Al-Khwârizmî két kortársát is idézhetjük párhuzamosan ugyanarról a témáról ( Ibn Turk és Abu Bakr). A görög matematika már másodfokú feladatokat oldott meg geometriai manipulációkkal. Végül Diophantosz , akinek számtani nem volt ismert, hogy az Al-Khwarizmi , tanulmányok sok probléma, amely több ismeretlen és négyzet vagy kocka, és hoz létre egy szinkópás írásban összekeverjük a retorika és az embrió szimbolikus írás. Al-Khwarizmi érdeme, hogy tudta, hogyan lehet az egészet összefüggő és kimerítő egészben bemutatni, kombinálva a technikát és a demonstrációt. A névvel, tárgyakkal, eszközökkel, igazolásokkal és alkalmazásokkal való egyenletek elméletének bemutatása önálló tudományággá teszi. Az algebra szülőhelye ellentmondásos téma, de al-Khwarizmi munkája hozzájárul ahhoz, hogy saját kiaknázható tudományággá tegye, elősegítve fejlődését.
A munka al-Khwarizmi által kifejlesztett utódai: Szábit ibn Kurra működik a geometriai fordítását az egyenletek, Abu Kamil növeli a mértékét, és veszi a koefficiensek az irracionális számok. Amikor Qusta ibn Luqa 870-ben lefordította a Diophantus aritmetikáját , al-Khwarizmi által létrehozott szókincset használta.
Az új eszközt használnak, hogy megoldja a problémákat, a klasszikus ókor, mint a párhuzamos a kocka , a harmad a szög , az építőiparban a rendszeres heptagon és a vágás a gömb szerint meghatározott arányában. Ezek a problémák három fokos egyenletig forrnak. Az arab matematikusok általános módszereket keresnek a radikálisok megoldására, de ez kudarc.
Egy másik módszert is feltárnak, gyümölcsözőbbé: az egyenletek megközelítő megoldása, például két kúp metszéspontjaként. A módszert már alkalmazzák az egyes egyenletek Apollonius az ő Conics . Ezt az utat sok arab matematikus tanulmányozza, köztük al-Khazin , al-Quhi , Abu al-Jud Ibn al-Laith, al-Shanni, al-Biruni stb. A döntő hozzájárulás az al-Khayyam részéről , aki szisztematikus tanulmányt készít róla, az egyenleteket együtthatóik jele szerint osztályozza, pozitív megoldást mutat, ha létezik, két kúp metszéspontjaként, és közelítő értéket keres arra -ez. Munkáját elmélyíti Sharaf al-Dīn al-Tūsī , aki bemutatja, hogy a megoldások két parabola, egyenlő oldalú hiperbola és kör köré vett metszéspontként érhetők el. Al-Tusi kiszabadul a homogenitás korlátai alól, a pozitív megoldások száma is érdekli, az egyenletet f ( x ) = c alakúra redukálja , és a függvény által felvett maximum értéke szerint tárgyalja a megoldások számát. . A maximum meghatározásához az f polinom formális deriváltját használja, anélkül azonban, hogy elmagyarázná, mi vezetett a származék feltalálásához. Ezt a formális deriváltat és az affin változók változását is felhasználja a megoldás hozzávetőleges értékének kiszámításához.
Másfél évszázaddal al-Khwarizmi után al-Karaji vállalta, hogy a tizedesrendszer kiszámításának technikáját alkalmazza a polinomokra, pontosabban azokra a kifejezésekre, amelyeket ma formában írnak: tizedesjegyek írásával analóg módon: Utódja, al-Samaw'al szerint a binomiál képletét a 12 -es erejéig bebizonyította volna, és jelezte, hogy a képlet korlátlanul meghosszabbítható az együtthatók felépítésének szabályával, amely ma a képlet nevét viseli . a Pascal háromszöge . Ez az egyik első demonstrációs példa, amely egyfajta véges típusú indukciót használ.
Munkáját folytatja és elmélyíti al-Samaw'al, aki megadja a monomálisokra vonatkozó számítási szabályokat, az egyik polinom másikra oszthatóságának szabályait, és bemutatja két polinom hányadosának vagy egy polinom négyzetgyökének közelítésének technikáit. negatív kitevők. Ezenkívül bemutatja a polinomokat egy szintetikus táblázat formájában, amely tartalmazza a monomálok együtthatóit csökkenő teljesítményük szerint elrendezve. Tükrözi a tört kitevőket és bemutatja a számítási szabályokat.
Arab Nyugat, elveszett kéziratok nem határozza meg pontosan a bevitt mindenki, de tudjuk, hogy ez az ágazat az algebra tanították andalúz egyetemen például még mindig a XIV th században . Az arab nyugaton található, konkrétan a Maghreb, amely a XIV . Századtól ( Ibn Qunfudh , al-Qalasadi és Ibn Ghazi al-Miknasi (in) ), sőt a XII . Századtól is megtalálható egy algebrai szimbolika, amely megható csakúgy, mint a polinomok és az egyenletek, a szimbolika, amely ebben a formában jelenik meg, úgy tűnik, először dolgozott ki, és e régió matematikájának eredetisége lenne.
Az algebrát határozatlan racionális elemzésre is használják, amelyet racionális Diophantine analízisnek is neveznek. Ez abból áll, hogy megtalálják a probléma racionális megoldásait, amelyek több ismeretlent, mint egyenletet tartalmaznak. Az ilyen típusú problémák tanulmányozása nagyon korán zajlik az arab matematikában: Abu Kamil előtt, aki úgy tűnik, hogy az első különbséget tesz a meghatározott és a határozatlan probléma között, és mielőtt a Diophant aritmetikáját lefordítaná Qusta Ibn Luqa. Abu Kamilt elsősorban a másodfokú problémák és a lineáris rendszerek érdeklik. Például megoldja az ax - x² + b = y² egyenletet az affin változó racionális együtthatókkal történő megváltoztatásával, és meghatározza annak létfeltételeit. Az egyenletrendszerek összefüggésében a helyettesítéssel történő elimináció elvét használja. Diophantus értekezésének fordítása erős lendületet ad az ilyen típusú kutatásnak, amely az al-istriqa nevet viseli . Al-Karaji traktátust szentel ennek a témának, amely mára elveszett, de megtalálható két másik al-Badi és al-Fakhri értekezésében . Az Abu Kamil, valamint az Aritmetika II., III. És IV. Könyve által felvetett problémákat szisztematikusan tanulmányozza és elmélyíti . Munkáját az utódai al-Samaw'al , al-Zanjani, Ibn al-Khawwam és Kamāl al-Dīn al-Fārisī folytatják, és a határozatlan elemzés az algebra minden traktátumának integrált fejezetévé válik.
Az egyenletek numerikus megoldására az arab matematikusok olyan módszereket állítottak fel, amelyek némelyike a görög vagy az indiai matematikából származik, például a négyzetgyök vagy a köbgyök kinyerése. Az elv abból áll, hogy egy megoldás számjegyét egymás után határozzuk meg a következő tulajdonság felhasználásával: ha X az f (x) = N egyenlet megoldásának hozzávetőleges értéke, és ha x = X + y és g (y) = f (X + y) - f (X), akkor x akkor f (x) = N oldata, ha y értéke g (y) = N - f (X).
Így az f (x) = N egyenlet pozitív megoldásának megtalálásához, ahol f (x) = x 3 + 6x és N = 5 178 755, megkeressük a legnagyobb a egész számot, amelyre f (100a) ≤ N, akkor keressen egy a = 1 értéket, amely megadja a megoldás százainak számát. Ezután g (y) = f (100 + y) - f (100) és N 1 = N - f (100) értékeket állítunk be a g (y) = N 1 egyenlet megoldásához . Megkeressük a legnagyobb b egész számot úgy, hogy g (10b) ≤ N 1 , megkapjuk b = 7-et, amely a megoldás tízes számjegye. Végül, mi meg H (z) = g (70 + Z) - g (70) és N 2 = N 1 - g (70), hogy megoldja az egyenlet H (z) = N 2 . Megkeressük a legnagyobb c egész számot úgy, hogy h (c) ≤ N 2 , megkapjuk c = 3, amely a megoldás egységjegye. Mivel h (3) = N 2 , tudjuk, hogy a 173 az egyenlet pontos megoldása.
Ezt a módszert alkalmazzák a X th században által Kushyar Ibn Labban (a) és a Ibn al-Hayttam kivonásához négyzetgyökével és köbgyökét, és a XII th században , hogy a gyökér N edik. A g (y) kiszámításához az arab matematikusok rendelkezésére állt a binomiális képlet, de a Ruffini-Horner módszerhez hasonló technikák is alkalmazhatók , csakúgy, mint Sharaf al-Din al-Tusi az egyenlet numerikus felbontásában. fokozat 3.
Ha a gyökér nem teljes, akkor a hagyományos közelítést adjuk meg, de a tizedes törtek elméletének fejlesztése al-Karaji és al-Samaw'al által a XII . Században azt eredményezi, hogy a tizedes közelítések olyan vékonyak, amennyire csak akarjuk az irracionális gyöket .
Egy másik módszer az ingatlan vonzó fix pont használják késő XV th században az al-Kashi és XVIII th század által Mirza al-Isfahani. Ha az egyenletet x = f (x) formába vesszük, akkor a megoldás egymást követő közelítései a következő sorrend elemei: x 0 egy első közelítés és x n + 1 = f (x n ).
A trigonometrikus táblázatok pontosságának javítására irányuló vágy arra készteti az arab matematikusokat, hogy finomítsák az interpolációs módszereket . Az affin interpoláció már ismert volt, hogy a görögök és a fordítást a Brahmagupta a Khandakhadyaka megismerte őket másodfokú interpolációs. A reflexió során meghatározzuk a legjobban alkalmazható interpolációt, kihasználva a súlyozott átlagokat és a különbségek variációs sebességét, és esetleg az első és a második fokozatú funkcióktól eltérő funkciókat hívva meg.
Van egy aggodalomra elég korán felsorolni szervezett módon bizonyos konfigurációk, mint például a kifejezés a képlet a szelő ábra által Thabit ibn Qurra vagy algebra problémák. Az esetek száma ekkor nem igényli a képletek felállítását. Counting kérdések merülnek fel ténylegesen a területen a nyelvészet, hogy a felmerülő, a VIII -én században a Khalil ibn Ahmad , kérdésekre, mint „Hány 5-betűs szavak alkotsz? Ezek a tanulmányok hasznosak a lexikográfusok és a kriptográfusok számára.
A XIII . Századi képletekben Nasir ad-Din Tusi és Ahmad Ibn Mun'im dolgoznak, akik al-Fiqh Hisab (A számítás tudománya) című cikkében a következő képleteket állapítják meg: Száma permutációinak a n elemek :; Szavak száma n betű, amelynek ismételt k száma: ; Száma szó N betű, az i edik megismételjük k i -szer: .Tanulmányozzuk a kombinációk számát , ami újból megjelenik Pascal háromszögében, amely már nem a binomiális képlettel, hanem a számlálással társul . Ez a munka a XIII . Század végén és a XIV . Század elején folytatódott . Kamāl al-Dīn al-Fārisī Pascal háromszögével számítja ki a képletet alkotó számszerű számokat : n . számozott r sorrend : Ibn al-Banna létrehozza az egyenlőséget: Az n elemből vett p elemek kombinációinak száma : A kombinatorikus elemzés a matematikai munkák fejezetévé válik, mint al-Kashiban, vagy későn késik, független értekezések tárgya, mint például Ibrahim al-Halabi.
Hosszú hagyománya van az arab matematika számelméletének tanulmányozásában, Euklidész , Diophantus és Gerasius Nicomachus írásai ihlették .
A tökéletes szám , Ibn al-Tahir Baghdadi kimondja alternatív eljárást, amellyel az euklideszi tökéletes számok segítségével egy számtani sorozat. Megemlítik a páratlan tökéletes számok esetét, és megkezdik a kölcsönös keresését. Ibn al-Haytham tehát részleges reciprokot javasol a 2 p (2 q -1) alakú számokra . Arab matematikusok érdekelt forgalmazás, megy a 7 -én szám tökéletes, miközben továbbra is bevezetésével paraziták és számok érvényteleníti az állítását Nikomakhosz képzelni, hogy egy minden 10 power.
A tanulmány a barátságos számok végigfut a történelem arab matematika és vezet a tudás a bomlás törzstényezős és a összege osztók száma és osztók funkciókat. Thabit ibn Qurra igazolja tételét: ha A (= 3,2 n - 1), B (= 3,2 n - 1 - 1) és C (= 9,2 2n - 1 - 1) elsődleges, akkor 2 n AB és 2 n C barátságos . A páron (220, 284) kívül arab matematikusok mutatják be a párokat (17 296, 18 416) és (9 363 584, 9 437 056).
Ibn al-Haytham a kínai fennmaradó problémával foglalkozó munkája arra késztette, hogy kimondja Wilson tételét a prímszámok jellemzéséről.
Egész számtalan elemzés során a Pitagorasz -féle triplákat tanulmányozzuk és általánosítjuk magasabb dimenziókra: al-Sijzi bebizonyítja, hogy n-re vonatkoztatva n négyzet összegű négyzete létezik . Az x² ± a = y² formájú egyenleteket is tanulmányozzuk. A Fermat probléma , abban az esetben n = 3 vagy n = 4, az arab matematikusok érvényesíteni nemlétezése oldatok anélkül azonban siker biztosítása egy sikeres bizonyíték.
Befolyásolta a görög ( Elements of Euclid , Conics az Apollonius , Spherics a Theodosius és Menelaus ) és az indiai írások , arab geometria kifejlesztett több irányba (fordítások és kommentárok, a csillagászat és a trigonometria, optika, elméleti és gyakorlati problémák) új eszközök alkalmazása (algebra , numerikus elemzés, végtelen kis módszerek).
A görögök és az indiánok által ismert területek (lemez, Heron-képlet , szabályos sokszögek körbe beírva, kúp) és kötetekre (gömb, kúp) vonatkozó képletek nagyon korán láthatóak ( al-Khwarizmi , Banu Musa testvérek ). Számításaik a számszerű elemzési technikáknak köszönhetően finomodnak. Nagyon korán ( al-Birunitól ) a matematikusok meg voltak győződve a π irracionalitásáról . Más formulákat fejlesztenek ki, például a kúpok és a csonka piramisok térfogatát.
Egyik eredeti arab munka fejlődésének végtelenül alapuló technikák kimerültség módszerrel valósítják meg a gyakorlatban Archimedes a gömb és a henger és a mérés a kör . Ezt a mozgalmat a Banu Musa testvérek kezdeményezik, akik megértik Archimédész módszerének általános alkalmazási körét és felhasználják a gömb felszínén. A Szerződésben a mérési sík és gömb alakú számok , lesz egy alapvető szöveg egyaránt az arab világ és a latin Nyugat, miután a fordítást a XII th század által Gerard Cremona . Tanítványuk és utódjuk, Thābit ibn Qurra ugyanúgy folytatta, és kiszámította a parabola területét a Riemann-összegekhez hasonló trapézokba vágva . Kiszámítja a paraboloidok térfogatát és az ellipszis területét is. Utána idézhetjük Ibrahim ibn Sinan , al-Quhi , Ibn al-Haytham . Ez utóbbival megtaláljuk az integrou számítás összes elemét Darboux-összegekkel (keretezés, játék vágásokon, olyan kicsi hiba, amennyit csak akarunk). Az arab matematikusok azonban korlátozzák ezeket a technikákat olyan területekre és mennyiségekre, amelyek kifejezhetők az ismert területek és mennyiségek formájában.
Szintén érdeklik őket a körrészek területeinek kiszámítása. A Thābit ibn Qurra kiszámítja a kör azon részének területét, amelyet az egyenlő oldalú háromszög oldala határol, és a körbe beírt szabályos hatszög területét. Ibn al-Haytham érdeklődik a lunulák iránt, és bemutatja a területük és a trigonometria kapcsolatát.
Az izoperiméterek problémáját (állandó kerületen, melyik számnak van a legnagyobb területe?) Zénodorus és sok görög matematikus már tanulmányozta az arab matematikusok ( al Khazin , Ibn al-Haytham). Az izepifánok térével és problémájával (állandó felületen, mi a maximális térfogat szilárd része?) Nem tudnak szigorú következtetést levonni, de tanulmányaik a szilárd szög elméletének kidolgozásához vezetnek (Ibn al-Haytham).
Az arab matematikusokat az építési problémák is érdeklik, amelyek közül néhány a görög matematika klasszikus problémája: arányos dupla felépítése, a szög háromszöge, a szabályos sokszögek pontos vagy hozzávetőleges felépítése, négyzet rövidítése több négyzetből, felépítés az állandó távolságtartás szabályával és iránytűjével, csillagászati eszközök geometriai konstrukcióival .
A harmadik fokozat egyenleteinek felbontása, valamint az optika arra készteti őket, hogy érdeklődjenek a kúpok iránt, amelyeknek fókusztulajdonságait tanulmányozzák ( ibn Sahl ), és amelyekhez folyamatos építési mechanizmusokat képzelnek el: az al-Quhi tökéletes iránytűje , szabályokkal, kötéllel és tárcsával ellátott mechanizmusok az Ibn Sahl-tól. Ezen értekezések közül idézhetjük a Thābit ibn Qurra elemzését az ellipszisekről és az al-Sijzi dolgozatát a hiperbolákról. Más matematikusok tanúsága szerint ma léteznének olyan traktátumok, amelyek elvesznek a bal görbék vetületeiként kapott görbéken .
Az arab matematikusok kevésbé vonakodnak, mint néhány görög matematikus, mint például Euklidész, hogy a geometriában mozgást és transzformációkat alkalmazzanak. A homotétát nagyon korán használják ( Ibrahim ibn Sinan , al-Farabi és Abu l-Wafa ). Konfigurációkra vonatkozó tulajdonságait (a körök körökké történő átalakulását) Ibn-Sinan és al-Quhi bizonyítják . Ezeket követve Ibn al-Haytham tanulmányozza a közvetlen hasonlóságokat és bebizonyítja, hogy a vonalakat vonalakká, a köröket pedig körökké alakítják. A Thābit ibn Qurra és Ibrahim ibn Sinan affinitásokat használ a kör tulajdonságainak az ellipszishez vagy a hiperbola egyenlő oldalú hiperbolához való továbbításához bármelyikhez, és bizonyítja, hogy az affin transzformáció megtartja a terület arányát. Al-Biruniban és Ibn Sinanban még a projektív transzformációknak köszönhetően kúpokká alakult körökkel is találkozunk .
A csillagászatnak különösen az asztroláblák megépítéséhez vagy a qibla meghatározásához van szüksége , arra ösztönözve az arab matematikusokat, hogy tanulmányozzák a gömb vetületeit a síkon ( ortogonális vetület , sztereográfiai vetületek pólusa és különböző síkjai, hengeres vetületek , vetítések lehúzással). Al-Farghani demonstrálja, hogy a sztereográfiai vetület a póluson áthaladó köröket vonallá, más köröket pedig körökké alakítja. Al-Quhi és ibn Sahl kiterjesztik munkáját , de egyik sem utal semmiféle megfordulásra . A sztereográfiai vetítés megfelelőségét (szögek megőrzését) al-Biruni és 'Abd al-Jabbar al-Kharaqi († 1158) ismerik és használják, és a sztereográfiai vetületet újból befektetik a térképészetbe.
Az arab matematikusok az Euklidész Elemeinek kommentálásával az elmélet megreformálására is törekednek, például azt állítva, hogy hozzá kell adni a pontok, vonalak és síkok létezéséről szóló posztulátumot. Az V. posztulátum természetén is csodálkoznak, mondja a párhuzamok posztulátuma : "Ha két egyenes metszi ugyanazt a vonalat két egyenesnél kisebb belső szög létrehozásával, akkor ezek a vonalak szekundánsak", és megpróbálják bemutatni vagy egyszerűsíteni , ekképpen mutatva ki vele egyenértékű tulajdonságait ( al-Jawhari , Thābit ibn Qurra , ibn al-Haytham , al-Biruni , Omar al-Khayyam , Nasir al-Din al-Tusi és iskolája, valamint Muhyi al-Dīn al-Maghribī ).
Az Al-Jawhari tehát azon az elgondoláson alapszik, hogy egy szöget záró belső ponttal olyan vonal húzható, amely találkozik annak két oldalával. Thabit ibn Qurra azt a hipotézist használja, hogy két egyenes, amely az egyik irányba távolodik, szükségszerűen a másikhoz közelít, és fordítva. Egy másik demonstrációban javasol egy egyszerű mozgást is: azt a helyet, amelyet az [AB] szakasz A végével áthalad a B-re merőleges (d), amikor a B pont áthalad (d) a (d) -vel párhuzamos egyenes. Ibn al-Haytham négyszöget használ három derékszöggel ( Lambert négyszöge ). Al-Khayyam, majd al-Tusi tanulmányozza az ABCD négyszöget úgy, hogy az AB és a CD oldal egyenlő legyen, és a C és D csúcsok szöge megfelelő legyen ( Saccheri négyszöge ).
Ezeknek a matematikusoknak a munkája fektette le az alapjait annak, ami a XIX . Századból lesz a nem euklideszi geometriák , a hiperbolikus és az elliptikus elmélet .
A trigonometria a csillagászat céljaira létrehozott tudományág. Visszatér legalább Hipparchushoz, aki elkészítette az első húrasztalt. A görög csillagászatban és az arab csillagászat első napjaiban használt fő eredmény a Menelaus-tétel . Az indiai matematika bevezette a szinuszot és a szinuszszemet, és néhány képletet is létrehozott a gömb alakú derékszögű háromszögre. Ezeket a műveket az arab matematikusok gazdagítják és kiegészítik. Ők teszik külön tudományág eredményező konkrét szerződések, mint például a 3 E szerződés Canon Masud az al-Biruni , a Szerződés Ibn al-Mu'adh Jayyānī és a szerződés a négyszög a Nasir al-Din al-Tusi .
Új funkciókat vezetnek be, a szekánt (R / sin) és a koszekánt (a kiegészítő szög R / szinusa). Habash al-Hasib hozzáteszi az R.tannak megfelelő árnyék fogalmát, amelyet meg kell különböztetni a gnomon árnyékától. Segédfunkcióként használja a numerikus táblázatokban és a fülön. Néhány trigonometrikus képlet is létrejön (kapcsolat a különböző függvények között, a kettős szög szinusa, egy összeg szinusa ...).
Ezek a funkciók megtalálják hasznukat a gömb trigonometriában, ahol új összefüggéseket mutatnak be. A szinuszszabály több írásban is megjelenik ( al-Khujandi , Abu l-Wafa , Abu Nars ), a gömb alakú derékszögű háromszög érintő szabálya (Abu l-Wafa) és a koszinusz szabály a gömb alakú derékszögben ( Abu Nars ). Fokozatosan kialakulnak a gömb alakú derékszögű háromszög megoldásának képletei, részben pedig a háromszög megoldására szolgáló képletek a sarki háromszög bevezetésével ( al Khazin , Abu Nars, Ibn Muʿādh al-Jayyānī, Nasir al-Din al-Tusi).
A trigonometria használata síkproblémákban továbbra is alkalmi jellegű, al-Kashi kivételével, aki tetszőleges síkháromszögek felbontására fenntartott táblázatot készít, és amelynek tiszteletére a koszinusz törvényét átnevezték .
A keresés a nagyobb pontosság az orrmelléküregek táblák betoldások és jobb segítségével algebra, matematikusok és csillagászok Arab foglal főleg a végén a X edik században ( Ibn Yunus , Abu l- Wafa, al-Biruni, al-Kashi) .
Az arab geometriai optika a görög perspektíva közvetlen leszármazottja. Ebben a tudományágban a nagy nevek Qusta ibn Luqa , al-Kindi , Ibn Sahl és Ibn al-Haytham . Kezdetben a Optics of Euclid fordítják, mint valamint más görög művek objektív, vagy katoptrika ( Diocles , Anthemius de Tralles ). Qusta ibn Luqa megjegyzést fűz az Euklidészhez, és meg akarja indokolni a fény egyenes vonalú terjedésével és a visszaverődés törvényeivel kapcsolatos görög állításokat. A tanulmány a tükrök ( sík , gömb alakú , parabola vagy tüzes ) a elmélyültek és befejeződött. Al-Kindi megkérdőjelezi azt a legendát, miszerint Arkhimédész tükör segítségével gyújtotta fel a római flottát, és tisztázza a parabolikus tükör elvét. A dioptriában Ibn Sahl meghatározza a törésmutatót és felállítja Snellius törvényét . Különösen a hiperbolikus bikonvex lencsét tanulmányozza. Ibn al-Haytham, a fiziológiai, fizikai és geometriai optika nagy megújítója átfogó tanulmányt készít a reflexiók problémáiról, és megoldja a nevét viselő problémát : "Ha két különböző A és B pontot találunk, keressük meg a reflexió pontját. konkáv vagy domború gömbtükör, amelynek sugara A-ból származik és B-be érkezik ”, visszahozza a problémát egy kör és egy hiperbola metszéspontjába. Dioptriában a dioptrát és a gömb alakú lencsét tanulmányozza, elemezve a gömbös aberráció jelenségét . Hatalmas értekezés Optics , fordította latinra a XII th század óta tárgya sok észrevételeit a XVII th században .
Az arab-muszlim tudás átadása többféle módon valósul meg: az andalúz civilizációval való közvetlen kapcsolat révén, a középkori héber tudomány révén, az arab művek latinra fordításával, majd később a bizánci tudósok kivándorlásával Konstantinápoly elfoglalása után. . Az átadás részleges, egyes szövegek nem ismertek, egyes témák nem keltik fel a nyugati tudósok érdeklődését, más munkákat eleinte túl nehéz lefordítani. A fordítások gyakran hibridek, keverik a görög és az arab forrásokat.
A középkori Nyugat korán megtanulta a tizedesírást és az indiai számítási rendszert. Az első kapcsolatfelvétel a latin Nyugat a tizedes rendszer úgy tűnik, a mai napig X th század idején Gerbert Aurillac . Az első fordításai indiai kiszámítása az al-Khwarizmi ( Dixit algorizmi , Liber Ysagogarum alchorismi ...) nyúlnak vissza a XII th században , és hibridek, amely magában foglalja szövegek Nikomakhosz és Boethiusz . A szerző neve közönséges névvé válik, "algoritmus", amely meghatározza a számítás technikáját, míg azokat, akik gyakorolják, algoritmusoknak nevezik. A számítási táblázat porát XIII . Században kezelték, és a redőnyökkel történő szaporítás módját beépítették a középkori Európába.
Számos többé-kevésbé hű fordításai Szerződés al-Khwarizmi al-Jabr w'al muqabala jelennek XII th században ( John of Toledo , Robert of Chester , Gerard Cremona ). Az al-jabr kifejezés egy algebrai tudományág nevévé válik. De az a munka, amely valóban behozza ezt a fegyelmet a latin világba, az a Liber abaci de onard de Pisa - mondja Fibonnaci . Ez a matematikus bemutatta Diophantus munkáját a Latin Nyugat számára, de arab forrásokból ( al-Khwarizmi , Abu Kamil , al-Karaji ) kapott kölcsönök sokak. Bemutatja a Fibonnacci-szekvenciát és a nyugati arab számozást is, amelyhez keleten tett utazása során, különösen az algériai Béjaïa (Bougie) városában kezdték meg (a méhészek és a parasztok számítási módszerei ihlették). hogy a város megfogalmazza a folytatását). Úgy tűnik azonban, hogy a latin Nyugat csak azt asszimilálja, ami az arab matematikusok első lépéseit jelenti az algebra területén, és az olyan írások, mint Omar Khayyam vagy Sharaf al-Dīn al-Tūsī, felismerhetetlennek látszanak. A XVI . Századtól a Nyugat tiszta módon indul a német iskolával ( Christoph Rudolff ), az olasz iskolával ( Luca Pacioli , Tartaglia , Cardan , Bombelli ) és a Symbolistal ( Vieta , Descartes ).
A geometriában a latin nyugat csak nagyon részleges ismeretekkel rendelkezett Euklidész elemeiről . Fordítások arab Euclid által Adélard Bath , a Gerard Cremona , aki egyben a fordító megjegyzései Al-Nayrizi és a megjegyzés a Campanus Novara ugyanezen a munka a kiindulási pont a megújulás a geometria a Nyugat. Ugyanígy van Archimédész műveivel is . De ezek a görög szövegek a matematikusok arab hozzájárulásaival gazdagodva jutnak el Gérard de Cremona ( Banu Musa testvér , Thabit ibn Qurra , ibn al Hayttham ) fordításával, akik hatással lesznek olyan matematikusokra, mint Witelo vagy Regiomontanus . A sztereográfiai vetület az asztroláblán található traktátusok fordításakor kerül átadásra. Néhány fejezetet azonban figyelmen kívül hagynak, vagy későn fedeznek fel; olyan párhuzamok axiómáján dolgozik, amelyek hatása csak XIII . században jelenik meg Witelo vagy Levi Ben Gerson műveiben . Ugyanígy figyelmen kívül hagyják al-Biruni , al-Farabi és Abu l-Wafa munkáit , valamint a Thabit ibn Qura és Ibrahim ibn Sinan affin transzformációival kapcsolatos tanulmányokat .
A trigonometria Nyugaton a csillagászattal egyidejűleg terjed, amelynek gyakran külön fejezetét alkotja. A XIV . Században külön tudományággá válik , de mérhetjük az arab trigonometria hatását egy olyan műben, mint a From Triangulis Regiomontanus, amely nagyon közel áll a Nasir al-Din Tusi szerződés négyszögéhez .
A görög szövegek egy részének és az arab matematikai ismeretek továbbításának köszönhetően az európai matematika döntő lendületet kapott fejlődésükhöz.