Négyzetgyök

A matematika , a kocka gyökér egy valós szám az egyetlen valós szám , amelynek kocka (vagyis a hatalom 3 rd ) ér ; más szóval . Megjegyezzük a köbös gyökerét . $y$ $x$ $y$ $y = x ^ {3} = x \ x-szer x \ x-szer x$ $y$ ${\ sqrt [{3}] {y}}$

Beszélhetünk egy komplex szám köbös gyökeiről is .

Meghatározás

Általában egy szám kocka gyökerét (valós vagy komplex) az egyenlet tetszőleges számmegoldásának hívjuk : $y$ $x$

$x ^ {3} = y.$

Ha igazi, ez az egyenlet a K egyedülálló megoldás, az úgynevezett a köbgyökét az igazi : . $y$ $y$ $x = {\ sqrt [{3}] {y}}$

A C , ez az egyenlet három különböző megoldásokat, amelyek a kocka gyökerei a komplex . Ha ez a komplexum egy igazi, három megoldás közül , és ahol van a valódi köbgyök és $1$ , $j$ és $j$ az a három kocka egységgyök a C . $y$ $y$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {j}} {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ rm {j}}} {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}$ $y$

Valós szám köbgyöke

Példák

A 8-as kocka gyökere 2, mert 2 × 2 × 2 = 8. A kocka gyökere a kocka nevét veszi fel : a kocka gyökere annak a kocka szélének a hossza, amelynek térfogata megadható . Térfogatunk 8, éle 2; mi írunk :

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}

A –27 köbgyöke –3, mert (–3) × (–3) × (–3) = –27.

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {- 27}} = - 3}

Köbgyökfüggvény

Az R , a harmadfokú gyökér funkció jelölt , az egyetlen, amely összekapcsolja az egyedülálló igazi kocka gyökér egy valós szám. ${\ sqrt [{3}] {~}}$

A szigorúan pozitív realok halmazán a köbgyökfüggvény megegyezik az egyharmad hatványfüggvénnyel:

{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad {\ sqrt [{3}] {y}} = y ^ {1 \ 3}} felett

Tulajdonságok

A köbgyök asszociatív az exponensekkel, eloszlik szorzással és osztással, de nem összeadással és / vagy kivonással.
Szerint a Wantzel tétel , a köbös root egy racionális szám nem szerkeszthető egy vonalzó és egy iránytű , kivéve természetesen, ha ez ésszerű. Ezért nincs megoldás a kocka másolásának problémájára .

Egy komplex szám köbgyökerei

Bármely nem nulla komplex számnak három különálló komplex köbös gyöke van , nulla összeggel . Ha Z az egyik, a másik kettő $j$ Z és $j 2$ Z , ahol

$1, \ quad {{\ rm {j}}} = {\ frac {-1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2} = {{\ rm {e}}} ^ { {{{\ rm {i}}} {\ frac {2 \ pi} 3}}} \ quad {{\ rm {és}}} \ quad {{\ rm {j}}} ^ {2} = \ overline {{\ rm {j}}} = {\ frac {-1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2} = {{\ rm {e}}} ^ {{- { {\ rm {i}}} {\ frac {2 \ pi} 3}}}$

az egység három köbös gyökere .

Unicode szimbólum

U + 221B ∛ köbgyökét ( HTML : ∛)

jegyzet

Mint minden teljesítmény függvényt meghatározni, mint egy valós függvény, a hálózati funkció 1/3 meghatározása csak a K + *: bármely valós y > 0, y 1/3 a bázis exponenciális y valós 1/3.

Lásd is