A számtani , két szám ( szigorúan pozitív egész szám ) azt állítják, hogy barátságos vagy kedves vagy kedves , ha azok külön, és ha a két szám egyenlő az összeg a szigorú osztója a másiknak.
Ha mi jelöljük s ( n ) az összege szigorú osztója N és σ ( n ) = s ( n ) + n összege minden annak osztója , két különböző szám m és n ezért barátságos, ha, és csak akkor, ha
vagy, amely egyenértékű:
Ez azt jelenti, hogy ha a két szám közül az egyik bőséges , akkor a másik hiányos .
A 220 és 284 egész szám barátságos, mert:
vagy:
A 13 olyan barátságos számpár , amelyek közül az első kevesebb, mint 6 jegyű:
A barátságos számok hosszú múltra tekintenek vissza a mágiában és az asztrológiában . Például néhány zsidó kommentátor a Genezisről úgy vélte, hogy Jákob kétszáz kecskét és húsz hím kecskét , valamint annyi juhot és kosot adott öccsének, Ézsaunak, amikor félni kezdett attól, hogy utóbbi megöli (1Móz 32:14) hogy a 220 egy barátságos szám.
Jamblique filozófus (kb. 250 - 330 ) írja hogy "a pitagoreaiak ismerjék ezeket a számokat, amelyeket barátságosnak neveznek, és bizonyos társadalmi tulajdonságokkal társítják őket (például 220 és 284), és Pitagorasz egy olyan barátról beszélt volna, aki" egy másik ő volt ", akárcsak a 220 és a 284".
Ami Ibn Khaldoun történészt illeti , biztosítja, hogy a 220-as és 284-es barátságos számokat a talizmánok művészetében használják barátságok és szakszervezetek előmozdítására.
A barátságos számok meghatározására nincs ismert képlet vagy módszer, de az évek során felfedeztek néhány speciális típust. Thābit ibn Qurra ( kb. 850 ) megjegyzi, hogy:
Ha n > 1 és ha a három szám p = 3 × 2 n −1 - 1, q = 3 × 2 n - 1 és r = 9 × 2 2 n −1 - 1 prím , akkor 2 n pq és 2 n r barátságosak.
Ennek a képletnek azonban évszázadokba telik, mire a barátságos szám második és harmadik párját előállítja. A páros {17 296, 18 416} ( n = 4) a beszámolók szerint a XIV e század függetlenül matematikusok Ibn Banna és Al-Farisi és újra felfedezte Fermat amelyek hirdetést írni, hogy Mersenne a 1636 . A {9363584, 9437056} párot ( n = 7) Muhammad Baqir Yazdi (a) a XVII . Században és Descartes fedezte fel , 1638-ban Mersenne-nek írva, hogy jelentse.
A {6,232, 6,368} pár barátságos, de ebből a képletből nem vezethető le.
Euler 61 új barátságos számpárral egészítette ki, de két hibát vétett, amelyeket 1909-ben és 1914- ben fedeztek fel . A 1866 egy fiatal fiú tizenhat, egy bizonyos B. Nicolò I. Paganini (nincs kapcsolatban a hegedűs ), felfedezte a pár {1184, 1210}, addig ismeretlen.
A számítógépes keresések során megtalálták az összes barátságos számpárot, amely 12 számjegy alatt van, és még néhányat is, hogy 2003-ban összesen 2 185 621 párhoz jussanak. Nem ismert, hogy van-e végtelen. Ilyen párok, és nem is prímszámok közöttük . Ha létezik ilyen pár, akkor a két szám mindegyikének több mint 15 számjegyből kell állnia, és szorzatuknak legalább 22 prímszámmal oszthatónak kell lennie.