Az aritmetikai , egy alikvot szekvencia olyan szekvencia, egész számok, amelyben minden szám összege megfelelő osztója (vagy szigorú osztója ) elődje. Amikor a szekvencia eléri az 1-et, leáll, mert az 1-nek nincs saját osztója.
Tehát a 10-től kezdődő szekvencia a következőképpen viselkedik:
a 10 megfelelő osztója 1, 2 és 5. a 8 helyes osztója 1, 2 és 4 A 7-nek csak egy megfelelő osztója van 1Az alikvotumok tanulmányozása a következő speciális eseteket emeli ki
A sorrendet a következő ismétlődési összefüggés határozza meg: bármely n egész számra, ha eltér 1-től
ahol f az alábbiak szerint definiálható: ha N jelentése 1-től eltérő egész szám, amelynek elsődleges tényezője
Megjegyezzük, hogy f-et a
ahol σ az összege osztója N
Az összes alikvot részt, amelynek első tagszáma 275-nél kisebb vagy egyenlő, tanulmányozták és 1-nél álltak le, kivéve a tökéletes 6. és 28. számmal kezdődő állandó szekvenciákat, valamint a 2. periódus 220-tól kezdődő periódusát. ezután az első kifejezésre 138-at kapunk.
Egy fontos sejtés a katalánból fakadóan azt állítja, hogy az alikvot szekvencia 1-nél végződik, vagy egy tökéletes szám fölött állandó , vagy periodikusan társas számok családja .
Ez a sejtés nem egyhangú. Valójában azok közül a szekvenciák közül, amelyek első tagjának száma kisebb vagy egyenlő, mint 1000, 5 szekvenciát még mindig nem lehetett felfedezni a végükig. Ezek a 276, 552, 564, 660 és 966 kezdetű szekvenciák. Ezeket a számokat „ Lehmer ötnek ” hívják . 1000 és 2000 között van 12 olyan szám is ( Godwin tizenkettője ), amelyek esetében a kapcsolódó alikvoták nem ismertek.
Vannak olyan aliquotok, amelyek csillagászati kifejezéseket érnek el, például a 3630-tól kezdődő szekvencia eléri a 100 számjegyből álló számot, amely később 1-re ér véget. Hendrik Lenstra bebizonyította, hogy n egymást követő kifejezésen mindig találhatunk növekvő aliquot szekvenciát, függetlenül az n értékétől.
A kutatók és amatőrök aktív csoportja azon lakosztályok bővítésén dolgozik, amelyek első ciklusa kevesebb, mint 1 000 000. 2013. október 20, a meghatározatlan státusú lakosztályok száma a következőképpen oszlik meg:
Az első kifejezés kevesebb, mint | Szekvenciák száma | Hozzászólások |
---|---|---|
1000 | 5. | öt Lehmer |
2000 | 17. | öt Lehmerből + tizenkettő Godwinból |
10 000 | 81. | |
100 000 | 898 | |
1 000 000 | 9209 |
Mindezen szekvenciák esetében az utolsó tag egy egész szám, legalább 115 számjeggyel, legalább 402 iteráció után.