A másodfokú irracionális egy irracionális szám oldatával másodfokú egyenlet a racionális együtthatók , más szóval, egy algebrai valós szám mértéke 2 . Ezért generál valós kvadratikus test ℚ ( √ d ), ahol d jelentése egy pozitív egész szám nélkül egy négyzet tényező .
A másodfokú irracionálisokat a periodicitás fejlõdésük egy bizonyos rangjától kezdõdõen, folyamatos frakcióban jellemzi ( Lagrange-tétel ).
A legegyszerűbb példa kvadratikus irracionálisnak a négyzetgyökvonás a nem négyzet természetes egész szám (a legismertebb a √ 2 ). Valóban bebizonyítjuk, hogy ha egy egész szám nem egy egész szám négyzete, akkor nem is egy racionális négyzete, vagy ismét - összevetéssel -, hogy ha egy d egész szám racionális négyzete, akkor √ d egész szám. Meg lehet következtetni Proposition 8 könyv VIII az Elements of Euclid . A szokásos bizonyítékok Gauss lemmájához vagy akár a számtan alaptételéhez is vonzódnak, mások azonban okosabbak, mint Richard Dedekindé vagy a következők, lényegében Theodor Estermann miatt :
Legyen d legyen egy természetes egész szám, amelynek négyzetgyöke egy racionális, amely írunk formájában p / q a q a lehető legkisebb (azaz q jelentése a legkisebb egész szám> 0, amelynek a terméke által √ d jelentése egész szám), és hagyja, hogy n legyen a egész részét a √ d . Ekkor az r : = p - nq egész szám kielégíti: 0 ≤ r < q és r √ d egész szám. A minimalitása q , r = 0, ezért √ d = n .
Általánosságban elmondható, hogy bármely nem egész algebrai egész szám irracionális.