A számtan alaptétele

A matematika és különösen elemi számtani , a a számelmélet alaptétele , vagy a termék elsődleges tényező bomlás tétel a következőképpen szól: olyan szigorúan pozitív egész szám felírható a termék a prímszámok egyedülálló módon, hogy annak érdekében, közel a tényezők .

Például, tudjuk írni, hogy: 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 , vagy akár 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 , és nincs más faktorizációja a 6936 vagy 1200 mint termékei számok elsődleges, kivéve átrendezésével a fenti tényezők .

Az 1-es szám nulla prímszám szorzata (lásd az üres szorzatot ), így a tétel 1-re is igaz.

Ez az eredmény általánosítható egyéb készletek: faktoriális gyűrűk , mint hogy a polinomok együtthatók valós vagy komplex számok (vö: „  számtani polinomok  ”).

Történelem

A könyv VII az ő elemei , Euclid kijelenti, hogy a gyengébb állítás, amely elegendő bizonyos alkalmazások: bármely nem prím szám osztható egy prímszám. De az ő korától fogva ismert és általánosan használt egy szám elsődleges tényezőkre bontása. Ha a tétel nincs teljes egészében megfogalmazva, az lényegében azért van, mert a kor formalizmusa, többek között a hatalmaktól megfosztva, nem tette lehetővé annak egyszerű kifejezését.

A 1801 című könyvében Aritmetikai , Carl Friedrich Gauss kifejlesztett aritmetikai más struktúrákon . A megléte faktorizáció kiterjed képest egész számok , hogy polinomok a együtthatók egy kommutatív területen , valamint egy új gyűrűt a algebrai egészek , Gauss-egészek . Ezután kibővítik a prímszám fogalmát. Ugyanez vonatkozik a redukálhatatlan polinomokra vagy a Gauss-féle prímszámokra . Mindezekben az esetekben a bontást egy invertálható elemnek megfelelő tényező egészíti ki  : relatív egész számok esetén a tényező egyenlő +1, ha a szám pozitív, és –1, ha negatív.

Az elsődleges faktorizálás a gyűrűk nagyobb osztályára általánosít: a faktorgyűrűkre .

Demonstráció

A bemutató két részből áll. Meg kell mutatnunk:

• ( létezés ), hogy minden szám valóban írható prímszámok szorzataként;
• ( egyediség ), hogy ugyanazon szám két ábrázolása lényegében megegyezik.

Létezés

A következő bizonyíték a megismétlődés elvén alapszik . A változatok a végtelen leszármazási módszert alkalmazzák .

• Az 1 egy véges prímszám- család terméke : az üres család .
• Tegyük fel, hogy bármely n > 1 egész számnál szigorúan kisebb egész szám a prímszámok szorzata. Legyen p a legkisebb egész szám, amely szigorúan nagyobb, mint 1 osztó n . Ekkor p prímszám (bármely természetes egész szám, amely osztja a p-t, osztja n-t , tehát egyenlő p-vel vagy 1-vel p minimális értékével ). Ezután írjuk n = pnem/o val vel nem/o< n . Az indukciós hipotézis azt sugallja, hogy az egész számnem/oprímszámok szorzataként íródik, amely az n bomlását adja prímszámok szorzatává.
• Az indukció elvének alkalmazásával minden természetes szám felírható prímszám szorzataként.

A fenti "kisebb p  " választásának köszönhetően (ehelyett, ha n nem elsődleges, bármely n = ab bomlás 1 < a , b < n ), ez a bizonyíték egy algoritmust (azonban nem túl hatékony) a természetes szám prímszámok szorzatává.

Egyediség

Az egyediség bizonyítéka Euklidész lemmájából szerezhető be , amely szerint, ha egy p prímszám osztja az ab szorzatot , akkor osztja a-t vagy b-t . Vegyünk két egyenlő prímszám szorzatot. Vegyük minden prímszám p az első termék. Osztja az első terméket, és így a másodikat is. A fentiek alapján p- nek ezután el kell osztania legalább egy tényezőt a második szorzatban. De a tényezők mind maguk a prímszámok, tehát p- nek meg kell egyeznie a második szorzat egyik tényezőjével. Ezért p-vel egyszerűsíthetjük a két terméket. Így folytatva azt látjuk, hogy a két termék elsődleges tényezői pontosan egybeesnek.

Alkalmazások

Az aritmetika alaptétele összefügg azzal a ténnyel, hogy a 2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő bármely természetes szám elsődleges tényezőt fogad el (lásd az elsődleges faktorizáció létezésének bizonyítékát). Euklidész ezt az eredményt használta annak kimutatására, hogy a prímszámok kimeríthetetlen mennyiségben vannak: a p 1 , p 2 ,…, p n prímszámok véges családja esetében a legkisebb osztó az 1 + p 1 p 2 egész számának 2- nél nagyobb vagy azzal egyenlő . … P n egy prímszám, amely nem szerepel a kezdeti családban. Következésképpen egyetlen véges család sem tartalmazza az összes prímszámot (vö. „  Euklidész tétele a prímszámokról  ”).

Az alaptétel kifejezetten beavatkozik az additív és multiplikatív funkciók tanulmányozásába . Különösen a teljesen multiplikatív függvényeket egyedileg határozzák meg a fő egész számokból vett értékek.

Megjegyzések és hivatkozások

1. A VII. Könyv 31. javaslata .
2. N. Bourbaki , Algebra , p. VII.70. Jegyzet, előnézet a Google Könyvekben .
3. GH Hardy és EM Wright (  angolból fordította : François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Bevezetés a számok elméletébe [„  Bevezetés a számok elméletébe  ”] [ a kiadás részlete ], 12. fejezet, 5. szakasz.
4. Egy kevésbé formális írás, lásd (in) GH Hardy és EM Wright , Bevezetés a Theory of Numbers ( 1 st  szerk. 1938) [ Retail Editions ], 4 -én ed., P.  2 .
5. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one matematika a licenchez - L1 szint , Dunod ,2013, 2 nd  ed. ( online olvasható ) , p.  84..
6. Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ a kiadások részlete ], 16. §, [ olvasható a Wikiforrásban ].

Kapcsolódó cikk

Egyediség tételek