A matematika , a indokolása indukciós (vagy indukciós vagy teljes indukció) egyfajta érvelés , hogy igazolják a tulajdonság minden a természetes számok . Az indukcióval történő érvelés a következő pontok bemutatásából áll:
Ha ez megállapításra került, arra a következtetésre jutunk, hogy ez a tulajdonság minden n 0- nál nagyobb vagy azzal egyenlő természetes számra igaz .
Az indukcióval történő érvelés a természetes egész számok fontos tulajdonságát állapítja meg: azt, hogy n 0 egész számból építjük fel az utód utódjának iterálásával. A természetes számok axiomatikus bemutatásakor közvetlenül egy axióma formalizálja. A természetes egész számok bizonyos tulajdonságai mellett ez egyenértékű más tulajdonságokkal, különös tekintettel arra, hogy létezik egy minimum bármely nem üres halmazhoz ( jó sorrend ), ami lehetővé teszi ezen tulajdonság alapján egy alternatív axiomatizálást.
Ennek az érvelésnek bizonyos formái ráadásul természetesen általánosak minden jó végtelen sorrendre (nemcsak a természetes egész számokra vonatkozókra), akkor transzfinit megismétlődésről vagy rendes megismétlődésről beszélünk (minden jó sorrend izomorf egy sorszámhoz képest ); az indukció kifejezést ebben a kontextusban is gyakran használják. Az indukcióval történő gondolkodás végül általánosítható a megalapozott kapcsolatokra . Bizonyos helyzetekben, a matematikai logika , vagy a számítógép-tudomány , a struktúrák egy fa-szerű természete vagy ezzel kapcsolatos feltételei szerint hivatalos nyelvén beszélünk kiújulás vagy strukturális indukció .
Általában a megismétlődésről beszélünk egy kapcsolódó, de eltérő kontextusban, a definíciókról úgy , hogy szekvenciák (vagy műveletek) egész argumentumokkal ismétlődnek . Ha az ilyen lakosztályok egyediségét egyértelműen bizonyítja a megismétlődés, létezésük, amelyet legtöbbször hallgatólagosan beismernek a középiskolában, vagy akár az egyetem első éveiben, más elven alapszik.
Az indukció útján indokolt gondolkodás kezdeteinek története értelmezhető lehet, attól függően, hogy az ember mit fogad el azonosítani. Ha meglehetősen távolról tekintünk a dolgokra, akkor azt mondhatjuk, mint Jean Itard 1961-ben az Euklidesz elemei kapcsán : "Soha nem fogjuk a modern vezérmotívumot kissé pedánsnak találni:" 2-ben igazoltuk a tulajdonságot, megmutatta, hogy ha egy számra igaz, akkor a következőre is igaz, ezért általános ”, és azok, akik a teljes indukciót csak a refrén kíséretében látják, jogukban állíthatják, hogy ez nem található meg. . Számunkra a kellékekben látjuk. 3., 27. és 36., VII., 2., 4. és 13. VIII., 8. és 9. IX. " Ezt a nézetet azonban nem feltétlenül osztják más történészek.
Találunk a Szerződés számtani háromszög a Blaise Pascal írt 1654-ben, de megjelent 1665-ben, amit általában tekinthető az első teljesen explicit használata érvelés indukcióval. Még akkor is, ha Pascal néha kevésbé teljes formákat használ az értekezésében, ezt írja:
„Annak ellenére, hogy ennek a tételnek végtelen esete van, nagyon rövid igazolást fogok adni róla, két lemmát feltételezve.
Az első, ami magától értetődik, hogy ez az arány a második alapban található meg; mert jól látható, hogy φ σ-n van, mint 1 1-nél.
A második, hogy ha ez az arány bármely alapban megtalálható, akkor szükségszerűen megtalálható a következő alapban.
Onnan látható, hogy szükségszerűen az összes alapban van: mert az első lemma által a második alapban van; ezért a másodikra a harmadik bázisban van, tehát a negyedikben és a végtelenségig. "
Szintén a XVII . Században meg kell említenünk Pierre de Fermatot és Jacques Bernoulli-t, akik kritizálják John Wallis "indukciós módszerét" , amelyet hiányos indukciónak hívnak, ami nagyjából megfelel az első egész szám demonstrációjának és így tovább. A Fermat emellett elősegíti a végtelen süllyedés módszerét , amely maga is a visszatéréshez kapcsolódik (lásd alább). Ő azonosítja és nevezi meg elsőként, de ezt már minden kétértelműség nélkül használja az Euklidész . Bernoulli azt javasolja, hogy demonstrálja az n- től n + 1- ig terjedő átmenetet , vagyis pontosan indukciós érvelést.
A XVIII . És XIX . Század folyamán az ismétlődő gondolkodásmód egyre inkább felhasználható formalizálásához és axiomatizálásához, először részben Grassmann 1861-ben, majd Richard Dedekind 1888-ban és függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben. a valósok számolásának befejezése, az 1872-ben megjelent vágási módszer kidolgozását lehetővé tevő formális keretrendszer biztosításával. Peano számára ezek a nagyon ambiciózus projektek helyszínei a valóságok formalizálására. matematika (lásd a matematika formáját ). Mindkét esetben a megismétlődés már nem egyszerűen az intuíción alapuló bizonyítási elv, hanem a természetes számok tulajdonságát formalizáló axióma.
Függetlenül attól, hogy Pascal volt-e az indukciós gondolkodás feltalálója, nem hagyhatjuk figyelmen kívül számos elődjét.
A dolgokat bonyolítja a modern algebrai nyelv hiánya. Bizonyos eredmények néha nem is állíthatók meg minden általánosságban, ezért adott egész számokra vonatkoznak, míg az általános eredmény ( n- től n + 1- ig terjedő) bizonyításához elengedhetetlen ötletek jelen vannak.
Florian Cajori (1918) a II . Bhaskara chakravala-módszerében és Euklidész prímszámok végtelen létezésének bemutatásában fedezi fel .
Az 1970-es évek óta az ismétlődő gondolkodás számos formáját fedezték fel az arab-iszlám világ matematikájában, lásd Rashed (1972). Így 1000 év körül a perzsa Al-Karaji (953-1029) megállapította Newton binomiális képletét (valójában nem rendelkeztek olyan jelölésekkel, amelyek lehetővé tennék, hogy ezt általános esetben megfogalmazhassa, de a módszerek tetszőleges egész szám esetén működnek. ). Kiszámítja az első n természetes egész kockájának összegét is , al-Samaw'al folytatja munkáját. Ezek az eredmények valóban „archaikus” definíció- és érvelési formákat használnak indukció útján (mint a regresszió, egy önkényesen kiválasztott egész számból indulunk ki, és egy nyilvánvalóan általános folyamat által, n- ről n-re 1- re haladva visszatérünk a kezdeti eset). Körülbelül ugyanebben az időben Ibn al-Haytham (953-1039) indukciós érveléssel számította ki az első n természetes egész kockák összegét, majd a negyedik hatványt . Bár nem is említi a 4. hatalom túllépésének lehetőségét, az iteratív módszere ezt megengedné.
Az európai középkor folyamán a langedókiai zsidó filozófus és matematikus, Levi ben Gershom (1288-1344), Gersonide néven ismert , szisztematikusan a regressziót használta a kombinatorikus eredmények (kockák összege, permutációk száma stb.) Megállapításához.
Pascalt vagy Bernoullit már a XIX . Században a matematikai indukció atyjainak tekintették, de ekkor sokat idéznek a XX . Század első felében Francesco Maurolico (1494-1575) olasz matematikus és Arithmeticorum libri duo című munkája (1575), ez Giovanni Vacca 1909-es cikkét követően , amely befolyásolta Moritz Cantort, és amelyet 1911-ben más nyelvekre is lefordítottak, például franciául. Annak bizonyítására, hogy az első n páratlan egész összege tökéletes négyzet, Maurolico felvetés, amely az n esetről az n + 1 esetre való átmenet (de ezt az előző állításra való tekintettel nem állítjuk le mint lemma). Másrészt Pascal levelezéséből kiderül, hogy Maurolicót olvasta. Hans Freudenthal (1953) cikke azonban azt mutatja, hogy Maurolico könyvében (bármilyen formában) nagyon kevés visszatérési típusú gondolkodást alkalmaz, másrészt Al-Karaji, ben Gershom és mások korábbi munkájának megállapításai határozottan relativizálja hozzájárulását, ez olyan mértékben, hogy a matematikatörténet általános művei már nem említik.
Valamennyi természetes számra vonatkozó tulajdonság bizonyítására, például Newton binomiális képletére , használhatunk indukciós érvelést. Jelöljük a kérdéses tulajdonságot P ( n ), hogy jelezzük az n egész számtól való függést . Ezután bármelyik n egész számra megszerezhetjük a két állítás bizonyításával:
Ezután azt mondjuk, hogy a P tulajdonságot bármely n egész szám indukciójával vezetjük le . Néha meghatározzuk az „egyszerű megismétlődést”, amikor meg kell különböztetni ezt az érvelést a megismétlődés más formáitól (lásd alább).
Az ismétlődő érvelés egyszerű megjelenítésének módja az, ha hasonlítunk a zuhanó dominó játékra. Végtelen sor dominót veszünk figyelembe, amelyek mindegyikének van egy száma (0,1,2,3, ...), és egyszerű feltételeket keresünk, hogy az összes dominó leessen. Aki már játszotta ezt a játékot, meg fogja érteni, hogy az összes dominó eséséhez elegendő, ha az első dominó (a 0-s számmal jelölt) leesik, és hogy az n dominó esése az n + 1 dominó esését okozza . Ha ezután P ( n ) -vel jelöljük a "dominó n esik" tulajdonságot, akkor a 0 dominó esése megfelel a fent említett inicializálásnak, és annak a ténynek, hogy az n dominó esése okozza az n + 1 dominó esését megfelel a fenti öröklődésnek.
Az indukcióval történő gondolkodás a természetes számok alapvető tulajdonsága, és ez Peano axiómáinak legfőbb tulajdonsága . Az axiomatikus bizonyos értelemben implicit definíció, jelen esetben a természetes számok implicit definíciója. Bizonyos összefüggésekben, mint a halmazelméletben , közvetlenül levezetjük a természetes egészek halmazának ezúttal kifejezett definíciójának megismétlődését.
Az ismétlődés meghatározott módon is kifejezhető: ez csak a halmaz definíciójának variációja a megértésben . Mi társítani egy ingatlan P készlet E természetes egész számok kielégítő, és egy sor természetes egész számok E társult tagság tulajdon. Ezután az ismétlődést ekvivalens módon, az alábbiak szerint állítják vissza:
Legyen E N részhalmaza , ha:
Ezután az E = N .
Természetesen az inicializálás tetszőleges k egész számtól kezdődhet, és ebben az esetben a tulajdonság csak k rangból igazolható :
Igen :
Ekkor bármely n értéke nagyobb vagy egyenlő, mint k , P ( n ).
Ez az ismételt a k közvetlen következménye a kiújulás a 0: elegendő bizonyítani „ n < k vagy P ( n )”, vagy akár „ P ( n + k )”, ha az egyik van l „Ezenkívül szerinti indukcióval n ; e tulajdonságok mindegyike akkor érvényes bármely n egész számra, ha a P tulajdonság igaz bármely k- nél nagyobb vagy azzal egyenlő egész számra .
Hasonló módon más indukcióink is lesznek indukcióval, anélkül, hogy minden egyes alkalommal új alapelvet kellene feltennünk, például páros egész számok megismétlődését (vegyük P (2 n )) stb.
A páratlan egészek a 2 n + 1 formájú egész számok (az első, amelyet n = 0 esetén kapunk , 1). Mi levezetni egy jól ismert méltó identitás , hogy a 2 n + 1 hozzá a tér N ad a tér a következő szám: n 2 + 2 n + 1 = ( n + 1) 2 Indukcióval tehát megmutatjuk, hogy az első n páratlan egész számának összege megegyezik n négyzetével : 1 + 3 +… + (2 n - 1) = n 2 . Bár az előző írás azt sugallhatja, hogy 2 n - 1> 3, nem feltételezzük. Az összeg üres, ezért nulla, ha n = 0, 1-re csökken, ha n = 1, egyenlő 1 + 3, ha n = 2, stb.
Ha például a szekvenciát vesszük, megfigyelhetjük, hogy ez a szekvencia n = 2 char-ról növekszik . Ha ezt megpróbáljuk mindenre megmutatni : az inicializálást könnyű bizonyítani, mert ; öröklődés azért is, mert a szekvencia növekszik, ha majd . Ez az egyenlőtlenség azonban csak n = 1-re igaz . Az öröklődés a valóságban csak n nagyobb, mint 2-nél nagyobb vagy egyenlő, és n- nél nagyobb vagy egyenlő, mint 1.
A megismétlődés több formája, amely nyilvánvalóan általánosabb, mint a hétköznapi, megismétlődik.
Előfordulhat, hogy az öröklődés érdekében, amikor a P ( n + 1) bizonyítására van szükség, akkor a két előző rangban lévő tulajdont kell átvennünk, vagyis nemcsak n , hanem n - 1 esetében is. a következő indukciós elv használatához vezetett:
Legyen P ( n ) az N- n meghatározott tulajdonság , ha:
akkor P ( n ) minden n ∈ N esetén .
Ez a tulajdonság látszólag erősebb, mint az egyszerű megismétlődés, mivel további hipotézis áll a rendelkezésünkre, de valójában ezzel egyenértékű, mivel ez annyit jelent, hogy [ P ( n ) és P ( n + 1)] egyszerű megismétlődéssel bizonyítunk. A megismétlődés elvének alkalmazására példákat találhatunk például a Fibonacci-szekvencia cikkben .
Az előző ismétlődés több hipotézisre, 3., 4. stb. Általánosítható. De mindezek az elvek a következő megismétlődés elvének különleges eseteként jelennek meg , amelyet néha erős megismétlésnek neveznek , amely lehetővé teszi, hogy a következő rangban lévő tulajdon igazolása érdekében azt feltételezzük, hogy ez igaz minden alacsonyabb rangra (emiatt ez a megismétlődés formáját kumulatív kiújulásnak is nevezzük ). Van egy erősebb változatosságunk az öröklődésről:
Legyen P ( n ) az N- n meghatározott tulajdonság , ha:
akkor P ( n ) bármely n ∈ N egész számra .
Az inicializálás ugyanaz marad, de az öröklés módosul. Az n + 1 rangú tulajdonság bizonyításához feltételezhetjük, hogy a tulajdonság nemcsak n-re, hanem az összes n- nél kisebb egész számra is igaz .
Ez a tulajdonság, nyilvánvalóan erősebb, mint az egyszerű megismétlődés, valójában egyenértékű vele. Valójában ez azt jelenti, hogy egyszerű indukcióval igazoljuk a „∀ k ≤ n P ( k )” tulajdonságot, vagyis a P tulajdonságot minden n kisebb vagy egyenlő egész számra . Az egyenértékűséghez azokat a tulajdonságokat használjuk, amelyek az N rendjét jellemzik , nevezetesen az összes természetes k számra : k ≤ n + 1 ⇔ ( k ≤ n vagy k = n + 1) k ≤ 0 ⇔ k = 0. Ez az ismétlődés is eltolódhat egy bizonyos rangtól, csakúgy, mint az egyszerű ismétlődés.
Példa felhasználásraAnnak demonstrálása, hogy bármely 2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő természetes számnak van egy fő osztója (ezért megismétlődik a 2. rangtól).
vagy n + 1 elsődleges, akkor van egy fő osztója, amely maga vagy különben n + 1 áll, és létezik olyan d egész szám, amely nagyobb vagy egyenlő 2-vel, és kisebb vagy egyenlő n-vel, amely osztja n + 1-et. Ezután indukciós hipotézissel d- nek van egy elsődleges osztója, amely szintén osztója n + 1. Az n + 1 esetében kifejtett érvelés ugyanolyan jól működik 2 esetében: a példából látjuk, hogy valójában nem szükséges külön kezelni az inicializálást, vagyis hogy ezt a demonstrációt elegánsabban végzik megalapozott megismétlődés, ill. a jó rend elvének alkalmazásával (lásd alább).
A megismétlődés, különösen az erős megismétlődés alternatívájaként a következő elvet használhatjuk: Minden nem üres részhalmaza az N egy legkisebb eleme ( N van jól rendezettek ). Például, ha az előző bekezdésben kezelt példát vesszük figyelembe, hogy tetszőleges számú prímosztó létezik, akkor közvetlenül p választjuk az adott n számtól 1-nél kisebb legkisebb osztót , amely nagyobb vagy egyenlő 2-vel, amely a legkisebb Az n nem 1 osztóinak halmaza . Ezután abszurd módon megmutatjuk, hogy p elsődleges: ha p osztója szigorúan kisebb, mint p, és eltér az 1-től, akkor osztaná az n-t is , és p nem lenne az n legkisebb osztója .
Ez a tulajdonság az N rendezési relációjának tulajdonsága . Az ilyen rendet jó rendnek nevezzük , és azt mondjuk, hogy N rendezett.
A megismétlődési tulajdonság a jó sorrendből következik, és abból a tényből, hogy bármelyik egész szám 0 vagy utódja ( n + 1 alakú ).
Valójában egy P ( P ( n ) ⇒ P ( n + 1)) örökletes tulajdonság esetében, amelyet 0-nál igazoltunk, elegendő figyelembe venni az egész számok azon minimumát, amely nem felel meg ennek. Amint ez a készlet nem üres, létezik. Az inicializálásnak köszönhetően tudjuk, hogy ez a minimum nem 0. Az öröklés révén tudjuk, hogy ez a minimum nem egy n egész szám utódja n + 1 , ami igazolná a P tulajdonságot . Ezért a P-t nem kielégítő egész számok halmazának nincs minimumja, tehát üres: egész igazolja P-t .
Kölcsönösen, a jó rend tulajdonságát a megismétlődés tulajdonságából (és a rend tulajdonságaiból) vezetjük le . A jó rend tulajdonságának összeütközése valójában közvetlenül az erős ismétlődésből következik (az N-n lévő sorrendet jellemző tulajdonságok felhasználásával ). Feltételezzük, hogy az n egész számok E halmazának nincs legkisebb eleme, és be kell mutatnunk, hogy E üres, vagyis az összes n , n ∉ E egész számra :
Miután a természetes egész számok bizonyos tulajdonságait felismertük (különösen azt, hogy bármelyik szám 0 vagy egy másik egész szám utódja), ekvivalenciánk van a megismétlődés elvének és a jó rend tulajdonságának.
A megismétlődéshez, különösen az erős ismétlődéshez közeli másik elv a végtelen süllyedés elve, amelyet Pierre de Fermat illusztrál : nincs olyan, hogy a természetes számok szigorúan csökkenő végtelen sorozata. Fermat tehát abszurd módon mutatja be bizonyos Diophantine-egyenletek megoldásainak nem létezésének eredményeit , egy feltételezett megoldásból egy másik szigorúan kisebb megoldást építve.
A jó rend tulajdonságának közvetlen következménye , ha létezne ilyen szekvencia, akkor az értékeinek nem üres halmazának nem lenne minimumja. A végtelen leszármazás elve közvetlenül kapcsolódik a megalapozott kapcsolat fogalmához , amelyet a következő bekezdés közelít meg, amelynek jellemzését nyújtja.
Az erős ismétlődést az egyetlen rend relációval állíthatjuk vissza, és a két ismétlődés hipotézis ezután egyesülhet egybe.
Legyen P ( n ) az N- n definiált tulajdonság , ha [∀ k < n P ( k )] ⇒ P ( n ) (minden n ∈ N esetében ) akkor P ( n ) minden n ∈ N esetén .
Abban az esetben, ha n = 0, a hipotézis a k < 0 halmazának ürességével igaz , tehát a kvantálás igaz, és az állítás visszatér P ( 0 ) értékre . Tehát amikor az egész számokra vesszük a természetes sorrendet, megkülönböztetünk aszerint, hogy n = 0 vagy n „utód”, vagyis n értéke m + 1 alakú , pontosan az erős ismétlődés tulajdonságát találjuk meg .
Az indukcióval folytatott érvelésnek ez a formája már nem vonatkozik a 0 állandóra és az egész számok utólagos működésére. Közvetlenül általánosít minden megalapozott rendet, amely nem feltétlenül teljes (sőt bármely megalapozott viszonyra ).
Sőt, azt mondani, hogy a szigorú rend vonatkozásában a N megalapozott azt jelenti, hogy N minden nem üres részének van egy minimális eleme (ezért itt minimális , mivel az N-re vonatkozó sorrend teljes), de könnyen kimutatható ( vö. részletes cikk), hogy ez a tulajdonság egyenértékű a megalapozott megismétlődéssel. A bizonyítás valójában lényegében az, amit a fentiekben megadtunk a megismétlődés és az erős visszatérésen alapuló jó rend között. De mivel léteznek olyan jó sorrendek, amelyek nem izomorfak az N szokásos sorrendjével , szükségszerűen egész számok egy adott tulajdonságának átadásakor használtuk, ebben az esetben azt a tényt, hogy bármely nulla nélküli egész szám egy másik egész utódja. Ez utóbbi tulajdonság ráadásul az egyszerű megismétlődési tulajdonság következménye (az a nagyon egyedi eset, amikor az ember nem használja a megismétlődés hipotézisét). Nem feltétlenül igaz a jól rendezett készleteknél.
Az ő füzet gamma függvény , Emil Artin felhasználása, hogy meghosszabbítja a konvexitás egyenlőtlenség a média minden isobarycenters , amely elv az indukció, amely jól alkalmazkodik az esetben, ha az ingatlan könnyen demonstrálható a hatáskörét 2. Ez az elv már Cauchy a számtani-geometriai egyenlőtlenség bemutatására használta . Állítása a következő:
Legyen P ( n ) az N- n definiált tulajdonság :
Ezután, minden egész szám n ∈ N , P ( n ).
Ennek a módszernek az eredetisége a visszafelé indukció elvén alapszik : már nem bizonyítunk egy n- től n + 1- ig terjedő tulajdonságot, hanem n + 1-től n-ig , csak akkor adunk hozzá, ha a tulajdonság igaz egész számra, akkor ez igaz egy másik szigorúan nagyobb egész szám, amely igazolja az összes „cikk-cakk” egész tulajdonjogát.
Az indukcióval folytatott érvelés a megalapozott megismétlődési bekezdésben jelzett megalapozott megismétlődés formájában természetesen általánosítja azokat a halmazokat, amelyeken jó rendet határozhatunk meg , sorszámmal izomorf vagy egyszerűen megalapozott viszonyt határozhatunk meg .
A szöveg szerint Blaise Pascal fent hivatkozott az első szöveg, amely érvelés szerint kiújulás jelenik elég egyértelműen, ad egy nagyon természetes intuitív indoka is: az a tény, hogy ez lehetővé teszi, hogy állítson össze egy közvetlen kimutatása bármely, amit egy egész indoklását is ma használt. Ez az igazolás azonban nem jelentheti a megismétlődés elvének érvényességét. Bármely n egész számra P ( n ) igazolásához meg kell írnunk P (0) -ból az összes implikációt P ( n ) és P ( n + 1) között, és ehhez végtelen implikációra lenne szükség. Mivel a bizonyítás véges, ezért ez a bizonyítás csak egy előre rögzített n egész számra érvényes . Az indukció elvének két hipotézise elméletileg lehetővé teszi számunkra, hogy "mechanikusan" bizonyítékot írjunk egy tetszőlegesen nagy egészre, de nem minden egészre.
A megismétlődés elve tehát a természetes egészek tulajdonsága, amelyet axiómaként ismerünk el (Dedekind 1888), vagy más erősebb elméletek, például a halmazelmélet keretein belül mutatják be . Ezután lehetővé teszi, hogy egyetlen véges demonstráció formájában „összegyűjtsük” ezt a végtelen demonstrációt, minden egyes számhoz egyet.
Az axiomatizálás azonban teljesen megragadta-e az intuíciót? Gödel (1931) befejezetlenségi tételéből nagyon közvetlenül arra következtetünk, hogy nem. Valójában minden ésszerű axiomatizáláshoz , például a ZFC halmazok elméletéhez, ez a két tétel az egész számok P tulajdonságát biztosítja, amelyet az elmélet nyelvén fejezünk ki, és amely bizonyítható minden előre rögzített egész számra, de mégis (elméletileg formalizálva) az állítást "minden természetes P ( n ) egész számra" nem tudja bizonyítani indukcióval vagy bármilyen más, axiomatizálással elérhető eszközzel.
Így a P (0) és a P örökletes hipotézisek : ∀ n [ P ( n ) ⇒ P ( n + 1)] lehetővé teszik annak megmutatását, hogy bármely adott n egész számra van (ahol a szimbólum azt jelzi, hogy van egy a megfogalmazott javaslat bemutatása). De ezek a feltételezések önmagukban nem teszik lehetővé a megerősítést , ami sokkal erősebb. A megismétlődés elve teszi lehetővé.
Valójában rendelkezhetünk koherens T elmélettel , például:
Anélkül azonban, hogy:
Ezt könnyen meg lehet érteni egy példával: Jelenleg nem ismert, hogy a Goldbach-sejtés , miszerint bármelyik> 2-es egész szám 2 prímszám összege, állítás:
Ebben az esetben, ha P ( n ) -re vesszük a „2 n + 4 a 2 prímszám összege” értéket, akkor bármelyik n egész számra :
De nem :
Akár egy koherens T elméletünk is lehet , például:
Egy ilyen elméletről azt mondják, hogy egyszerűen koherens és ω-inkoherens (olvasható omega-inkoherens ).
Ez mindig könnyen érthető a fenti példa segítségével:
és helyett az előző bekezdésben T által , mi van a várt eredményt.
Így nem elegendő annak bizonyítása, hogy minden n , P ( n ) [azaz P (0), P (1), P (2), ...] esetében bizonyítani kell ∀ n P ( n ), ahogy megtörténik a megismétlődés elve.
Egy elmélet, amelyben minden predikátum P , minden n esetében azt jelenti állítólag ω-konzisztens.
Számos speciális történeti cikk (Acerbi, Rashed…) általánosabb áttekintéssel kezdődik.